Buenas a todos,
Quiero probar el siguiente resultado:
Sea \( (X,\tau) \) un E.V.T localmente convexo, entonces:
- (a) Si \( Y \) es un \( \mathbb{R} \)-s.e.v de \( X \) entonces \( \overline{Y} = \bigcap \{\ker \varphi : \varphi \in X'_{\mathbb{R}} \text{ y } Y\subseteq \ker \varphi \}=: \widetilde{Y} \).
- (b) Si \( Z \) es un \( \mathbb{C} \)-s.e.v de \( X \) entonces \( \overline{Z} = \bigcap \{\ker \varphi : \varphi \in X' \text{ y } Z\subseteq \ker \varphi \}=: \widetilde{Z} \).
Intente lo siguiente:
(a) Como \( Y\subseteq \widetilde{Y} \) y este ultimo conjunto es cerrado (pues es intersección de cerrados) tenemos que \( \overline{Y} \subseteq \widetilde{Y} \).
Por otro lado, si \( d\not\in \overline{Y} \) por el teorema de separación de Hahn-Banach (que podemos aplicar pues \( \{d\} \) es convexo y compacto y \( \overline{Y} \) es convexo y cerrado y estos son disjuntos) tenemos que existe \( \varphi \in X'_\mathbb{R} \) y \( \gamma_1,\gamma_2\in \mathbb{R} \) de forma tal que \( \varphi(d)<\gamma_1<\gamma_2<\varphi(y) \) para todo \( y\in \overline{Y} \), pero luego tenemos que \( \varphi(\overline{Y}) \) es un \( \mathbb{R} \)-s.e.v de \( \mathbb{R} \) que no contiene a \( \varphi(d) \) y por lo tanto \( \varphi(\overline{Y})=\{0\} \).
Concluimos que \( \overline{Y}\subseteq \ker \varphi \) (lo que implica \( Y \subseteq \ker \varphi \)) y además \( d\not\in \ker\varphi \) por lo que \( d\not\in \widetilde{Y} \) lo que finalmente implica \( \overline{Y}=\widetilde{Y} \).
(b) Nuevamente como \( Z\subseteq \widetilde{Z} \) y este ultimo conjunto es cerrado (pues es intersección de cerrados) tenemos que \( \overline{Z} \subseteq \widetilde{Z} \).
Por otro lado, si \( d\not\in \overline{Z} \) por la misma razón que antes existe \( \varphi \in X'_\mathbb{R} \) y \( \gamma_1,\gamma_2\in \mathbb{R} \) de forma tal que \( \varphi(d)<\gamma_1<\gamma_2<\varphi(z) \) para todo \( z\in Z \), sea \( \psi\in X' \) tal que \( \text{Re}(\psi) = \varphi \). Razonando de forma análoga a la parte
(a) obtenemos que \( \varphi|_Y = 0 \) lo que implica \( \psi|_Y=0 \), pero tenemos que \( \psi(d)\neq 0 \) pues \( \varphi(d)\neq 0 \).
Luego \( d\not\in \widetilde{Z} \), así que concluimos que \( \overline{Z}=\widetilde{Z} \).
¿Es correcta la prueba?
Saludos,
Franco.
