Buenas a todos,
El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( p\in (0,1) \). Mostar que existe un subconjunto compacto \( K \) de \( \ell^p \) cuya envolvente convexa no es acotada.
Sugerencia: Considerar \( x_n \in \ell^p \) definida por \( x_n(n)=n^{p-1} \) y \( x_n(m)=0 \) si \( m\neq n \). Sea \( K:=\{0,x_1,x_2,...\} \); si \( y_n := \frac{x_1+\cdots+x_n}{n} \) demostrar que la sucesión \( (y_n) \) no esta acotada en \( \ell^p \)
Intente lo siguiente:
Lo primero que quise ver es que \( x_n \) converge a \( 0 \) en \( \ell^p \), recordemos que \( d_{\ell^p}(x,y):= d(x,y) :=\displaystyle\sum_{j=1}^\infty |x(j)-y(j)|^p \), luego tenemos que:
\( \displaystyle d(x_n,0)=\sum_{j=1}^\infty |x_n(j)|^p = |n^{p-1}|^p=n^{p(p-1)} \)
de aquí es claro que \( d(x_n,0)\to 0 \) cuando \( n\to \infty \). Luego concluimos que \( K \) es compacto pues es una sucesión convergente \( (x_n) \) unión su limite.
Ahora veamos que \( (y_n) \) no esta acotada, para eso calculamos primero (observar que \( x_n = n^{p-1} e_n \)):
\( \displaystyle y_n= \frac{x_1+\cdots+x_n}{n} = \frac{e_1+ \cdots+ n^{p-1} e_n}{n} = \frac{1}{n}(1,2^{p-1},...,n^{p-1},0,0,...):=\frac{1}{n} \widetilde{y}_n \)
Luego tenemos que:
\( \displaystyle d(y_n,0)=\frac{1}{n^p} d(\widetilde{y}_n,0)=\frac{1}{n^p} \displaystyle\sum_{j=1}^n j^{p(p-1)} \)
Y aquí no se como ver que esta sucesión diverge, ¿voy bien? ¿alguna idea?
Saludos,
Franco.
