Como estan compañeros de clase:
realice algunas integrales y me encantaría que me diran sus comentarios de las soluciones, probablemente me suelo complicar y escojer el camino más dificil para resolverlas tal vez ud me ayuden a optimizar mi rendimiento para asi volverme una flecha veloz....
igual son las mas básicas y les van a parece faciles.
1. \( \displaystyle\int \frac{arctan(x)}{1+x^2}dx= \)
Como
\( \displaystyle\int f(x)^{n}f'(x)dx= \)
\( f(x)^{n} f(x)-\displaystyle\int f(x) nf(x)^{n-1}f'(x)dx= \)
\( f(x)^{n} f(x)-n\displaystyle\int (f(x) f(x)^{n-1})f'(x)dx= \)
\( f(x)^{n+1}-n\displaystyle\int (f(x)^{n})f'(x)dx \)
entonces
\( \displaystyle\int f(x)^nf'(x)+ n \displaystyle\int f(x)^nf'(x)=f(x)^{n+1} \)
\( (n+1)\displaystyle\int f(x)^nf'(x)=f(x)^{n+1} \)
\( \displaystyle\int f(x)^nf'(x)=\frac {f(x)^{n+1}}{n+1} \)
utilizamos esta formula y solucionamos la integral muy fácilmente:
\( \displaystyle\int \frac{arctan(x)}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}arctan(x)^2 \)
2. \( \displaystyle\int \frac{x+1}{x^2+2x}dx= \)
Si \( u=x^2+2x \) \( du=2x+2dx \) \( du=2(x+1)dx \) \( \frac{du}{2(x+1)}=dx \)
\( \displaystyle\int \frac{x+1}{u}\frac{du}{2(x+1)}=\displaystyle\int\frac{u}{2}du=2ln|u|+C= \textcolor{red}{\frac{1}{2}} ln|x^2+2x|+C \)
Jabato me propuso otra solución
\( \displaystyle\int \frac{arctan(x)}{x^2+1}dx= \) Si \( arctanx=u\rightarrow{\frac {du}{dx}}=\frac {1}{1+x^2} \) luego \( dx=1+x^2du \)
\( \displaystyle\int \frac{arctan(x)}{x^2+1}dx=\displaystyle\int u du=\frac {1}{2}u^2+C=\frac {1}{2}arctan^2(x)+C \)