Autor Tema: Interferencia destructiva de ondas armónicas.

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19 Junio, 2022, 12:09 am
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G

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Tenemos dos ondas armónicas:
\[ y(x,t)=Asen(kx-\omega t) \]
\[ y(x,t)=Asen(kx-\omega t+\varphi) \]
¿Para que valores de \( \varphi \) interfieren de forma totalmente destructiva?

19 Junio, 2022, 04:44 am
Respuesta #1

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
la interferencia destructiva se obtiene cuando la ondas tiene en todo momento las amplitudes iguales en modulo pero  con signo contrario, cuando una tiene un máximo la otra tiene un mínimo, cuando una pasa por cero la otra tambien eso sucede cuando el desfase es \( \pm (n+1/2)\pi \) con n natural

si la primer ecuación tiene como argumento el angulo \( \alpha \)

\( y_1=\sin\alpha \)

matemáticamente por suma de ángulos sabes que

\( \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha \)

cuando el desfase de los ángulos es Pi

\( y_2=\sin(\alpha+\pi)=\sin\alpha\overbrace{\cos\pi}^{-1}+\cancelto{\sin\beta}{0}\cos\alpha=-\sin\alpha=-y_1 \)

así resultando ser la primer ecuación con signo inverso ...

si en vez de trabajar con el la función seno trabajas con una función coseno

\( y_3=\cos\alpha \)

por suma de ángulos tienes

\( \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\beta\sin\alpha \)

y  si el desfase en\( \pi \)



\( y_4=\cos(\alpha \pm \pi)=\cos\alpha\overbrace{\cos\pi}^{-1}\mp \cancelto{\sin\pi}{0}\sin\alpha=-\cos\alpha=-y_3 \)

ves que sea la función que utilices si el desfase de la segunda función es pi la funcion resultan es la primera pero de siuno cambiada , y su suma es nula.


\( y_1+y_2=\sin\alpha-\sin\alpha=0 \)

\( y_3+y_4=\cos\alpha-\cos\alpha=0 \)

en general la interferencia tiene la función, por suma de de ondas

\( Y_t=2A\overbrace{\cos(\frac{k(x_1-x_2)+\phi}{2})}^{independiente\,del\,tiempo}\sin(\omega t-\frac{k(x_1+x_2)+\phi}{2}) \)

si el desfase \( \boxed{\phi=(2n-1)\pi} \) entonces para la misma posición\( x_1=x_2 \)

y sabiendo que por definición \( k =\dfrac{2\pi}{\lambda} \)

la primer parte de la ecuación que es independiente del tiempo reemplazando valores resulta en

\( \cos(\dfrac{k(x_1-x_2)+(2n-1)\pi}{2})=\cos(\dfrac{0+(2n-1)\pi}{2})=\cos(n\pi-\dfrac{\pi}{2})=0\quad \forall n\in \mathbb N \)

por lo tan \( y_T=0 \)   anulándose la onda
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)