[xhantt]

1) Consideremos los rectángulos de 1/k por 1/(k+1) con k>0, ¿se puede ubicar de tal forma que ocupen un cuadrado de 1 por 1 sin superponerse?


2) Si n es un entero mayor que 1 ¿existen enteros x, y, z tal que 4/n = 1/x + 1/y + 1/z?


3) ¿Existen enteros positivos a, b, c, d tal que a5+b5=c5+d5?
Se conocen las siguientes identidades 13+123=93+103 y 1334+1344=594+1584, pero ninguna para n=5.


4) ¿Existe un triángulo con lados, mediana y area entera?

5) ¿Existe algún n además de 1, 2 y 4 tal que nn + 1 es primo?

[cga191]

Determinar cuántos enteros positivos menores a 10000 son suma de dos cuadrados mayores a 1 y suma de dos cubos mayores a 1 a la vez. Es decir, encontrar todos los n enteros positivos tal que a^2 + b^2 + c^3 + d^3 = n, con a, b, c, d enteros positivos mayores a 1.
 
Espero que a alguien le salga así me deja de dar vueltas en la cabeza.

[cga191]

Dar 3  ejemplos de un anillo que no posea ningun ideal maximal.

[xhantt]

Tiene que ser anillos no unitarios.

[teeteto]

Bueno, no necesariamente xhantt...puede ser unitario siempre que sea simple...por ejemplo en anillo de matrices sobre un cuerpo tiene unidad pero al ser simple (carece de ideales) es evidente que también carece de ideales maximales.

[xhantt]

Umm, si R es una anillo (0) es un ideal y si R = (0) entonces ese anillo no tiene unidades.

Si (0) esta incluido estrictamente en R, y R tiene unidades aplicando Zorn existe un ideal maximal contenido en R

[teeteto]

¿Y si los únicos ideales que posee R son (0) y R?

Entonces no puedes aplicar Zorn porque no encuentras ninguna cadena de ideales que contengan a (0) salvo la trivial (0)<R que evidentemente no te da información.

De todos modos te animo a que busques un ideal maximal de M2x2(R) que como sabes posee unidad.

Un saludo.

[carsecor]

¿Y si los únicos ideales que posee R son (0) y R?
-------------

Entonces R sería cuerpo , luego R/(0) sería cuerpo (por isomorfía) y por lo tanto (0) sería maximal en R.

Es decir, que R no sea unitario es condición necesaria para que no existan ideales maximales, como señalaba Xhantt.

[teeteto]

Por alguna extraña razón ne me metió en la cabeza que el (0) no podía ser maximal...asíq ue os doy la razón.

Por cierto que un anillo sólo posea como ideales el (0) y R no implica que sea un cuerpo salvo que R sea conmutativo.

Saludos

[carsecor]

Por cierto que un anillo sólo posea como ideales el (0) y R no implica que sea un cuerpo salvo que R sea conmutativo.
----

Cierto, cierto ... 
Si es que claro, en los libros de Álgebra conmutativa se enuncia siempre "A anillo", pero por supuesto, siempre se suele dar por entendido que es unitario y conmutativo.