[matías]

En la escuela (8 polimodal) me dicen que la conmutatividad del producto, ab=ba , es un axioma, y que no se puede demostrar. Pero yo pregunto si al que se le ocurrio eso no tenía alguna idea en la cabeza, porque es raro que alguien se le ocurran las cosas porquesí.

[mario]

Matías: La conmutatividad del producto tiene una motivación clara cuando pensás en el área de un rectángulo de lados a y b . Si te resulta natural pensar que el área es el producto de esos dos lados contiguos, entonces no importa en qué orden tomes los lados, de modo que el área de ese rectángulo es tanto ab como ba, y así se tiene la idea de que resulta natural la igualdad ab=ba.  

Saludos, Mario

[mario]

Matías: te quiero aclarar que esa "visión geométrica" de la conmutatividad, solamente te sirve para el caso en que los números a y b son positivos, ya que a y b tienen que serlo, porque estás midiendo las longitudes de los lados de un rectángulo. Pero no te preocupes, el tema puede ser algo mas delicado, pero en general las visualizaciones siempre te van a ayudar en la vida.
Sabés cómo escribir la fórmula del volumen de una caja de zapatos?
Por supuesto hablamos de una caja común, con el mismo formato (aunque hueca) de un ladrillo común.
Bien, si a los lados les ponés a, b y c,  hacé un esfuerzo por ver de cuántas formas podés organizar esas letras para expresar el volumen de la caja.
Una vez que lo hayas hecho, pensá qué tiene eso que ver con la asociatividad de la multiplicación.  

Nos vemos

[matías]

 ???tengo que corregir: es 8 egb, no polimodal

[Amalia Bañuelos]

Supongo que la multiplicación comenzó para hacer cuentas más rápido y no les habrá sido difícil avivarse de que 2*3 era igual a 3*2.  La abstracción a*b = b*a vino mucho después. Y ni te cuento cuánto se tardó en plantear y resolver cuáles eran las "propiedades básicas" que no podían ser "demostradas" a partir de las otras.  Para convencerte, vas a tener que esperar a aprender sobre matrices...

[teeteto]

En mi opinión, el hecho de que en origen se diera por supuesto que daba igual en qué orden sumar (di igual en que orden cuentas los ingresos de una caja) o multiplicar es normal...la verdadera abstracción; dejando a un lado el hecho de que aparezcan ejemplos: matrices, cuaterniones...es el considerar la no conmutatividad como posible.

[juanle]

En realidad la conmutatividad es una propiedad no un axioma, se convierte en tal por ej al introducirla en una estructutura, pidiendo que se cumpla. Es asi que surge la idea de "utilidad", o sea pedir que un conjunto de cosas cumpla cierta propiedad exigible como AXIOMA para trabajar en el mismo.
Saludos.