[JVC]

Hola, mi duda es la siguiente:
[Contexto, estoy cursando 1º del grado en matemáticas]
Si la aplicación identidad \( 1_{X} \) viene definida por \( 1_{X}:X \to X, x \mapsto x \) y la aplicación inclusión \( i_{X}:X \to Y, x \mapsto x \) siendo \( X \subset Y \).
¿Qué diferencia hay entre ambas? ¿La definición no es la misma?
Un saludo y gracias.

PD: Perdonad si este no es lugar del foro pero es mi primer post y no estaba muy seguro de dónde preguntarlo.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, mi duda es la siguiente:
[Contexto, estoy cursando 1º del grado en matemáticas]
Si la aplicación identidad \( 1_{X} \) viene definida por \( 1_{X}:X \to X, x \mapsto x \) y la aplicación inclusión \( i_{X}:X \to Y, x \mapsto x \) siendo \( X \subset Y \).
¿Qué diferencia hay entre ambas? ¿La definición no es la misma?
Un saludo y gracias.

Si \( X\neq Y \) la inclusió tiene propiedades distintas a la identidad:

- Tiene distinto conjunto final.
- No es sobreyectiva.
- No es inversible.

Por ejemplo piensa en \( i_{(0,1)}:(0,1)\to \Bbb R \). ¿Tiene inversa \( i_{(0,1)}^{-1}:\Bbb R\to (0,1) \)? ¿Cuánto valdría \( i_{(0,1)}^{-1}(10) \).

Por el contrario la identidad siempre es biyectiva e inversible.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Si \( X\neq Y \) la inclusió tiene propiedades distintas a la identidad:

- Tiene distinto conjunto final.
- No es sobreyectiva.
- No es inversible.

Por ejemplo piensa en \( i_{(0,1)}:(0,1)\to \Bbb R \). ¿Tiene inversa \( i_{(0,1)}^{-1}:\Bbb R\to (0,1) \)? ¿Cuánto valdría \( i_{(0,1)}^{-1}(10) \).

Por el contrario la identidad siempre es biyectiva e inversible.

Sí, todo eso es cierto, pero hay ciertas sutilezas que, cuanto menos, habría que mencionar.

De acuerdo con la definición conjuntista estándar, una aplicación \( f: A\longrightarrow B \) no es más que un subconjunto \( f\subset A\times B \) tal que para cada \( a\in A \) existe un único \( b\in B \) tal que \( (a, b)\in f \).

Si aplicamos esto a la identidad en un conjunto \( X \) y a la inclusión en un conjunto \( Y \), como plantea JVC, lo cierto es que son lo mismo, pues ambas son el conjunto:

\( 1_X=\{(x, x)\mid x\in X\} \).

Las diferencias que planteas son análogas al hecho de que, por ejemplo, considerando \( \mathbb N\subset \mathbb Z \) (definiendo \( \mathbb N \) como un subconjunto de \( \mathbb Z \), sin "abusos de lenguaje"), podemos decir que \( 2 \) tiene simétrico en \( \mathbb Z \), pero no lo tiene en \( \mathbb N \), y eso no hace que el \( 2 \) natural sea distinto del \( 2 \) entero.

Es cierto que en ciertos contextos relacionados con la teoría de categorías se requiere que una aplicación determine su espacio inicial y su espacio final, para lo cual, si uno trabaja en el marco de la teoría de conjuntos, se puede modificar la definición de aplicación parra que \( f: A\longrightarrow B \) sea una terna \( (g, A, B) \), con \( g\subset A\times B \). Pero no es lo más habitual.

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, todo eso es cierto, pero hay ciertas sutilezas que, cuanto menos, habría que mencionar.

De acuerdo con la definición conjuntista estándar, una aplicación \( f: A\longrightarrow B \) no es más que un subconjunto \( f\subset A\times B \) tal que para cada \( a\in A \) existe un único \( b\in B \) tal que \( (a, b)\in f \).

Si aplicamos esto a la identidad en un conjunto \( X \) y a la inclusión en un conjunto \( Y \), como plantea JVC, lo cierto es que son lo mismo, pues ambas son el conjunto:

\( 1_X=\{(x, x)\mid x\in X\} \).

Las diferencias que planteas son análogas al hecho de que, por ejemplo, considerando \( \mathbb N\subset \mathbb Z \) (definiendo \( \mathbb N \) como un subconjunto de \( \mathbb Z \), sin "abusos de lenguaje"), podemos decir que \( 2 \) tiene simétrico en \( \mathbb Z \), pero no lo tiene en \( \mathbb N \), y eso no hace que el \( 2 \) natural sea distinto del \( 2 \) entero.

Es cierto que en ciertos contextos relacionados con la teoría de categorías se requiere que una aplicación determine su espacio inicial y su espacio final, para lo cual, si uno trabaja en el marco de la teoría de conjuntos, se puede modificar la definición de aplicación parra que \( f: A\longrightarrow B \) sea una terna \( (g, A, B) \), con \( g\subset A\times B \). Pero no es lo más habitual.

Entiendo los matices que apuntas, pero no estoy seguro si de ellos se debiera de extraerse alguna conclusión sobre que contestar (sin contexto) y en pocas palabras a la cuestión de si \( id:X\to X \) y \( i_X:X\to Y \) son o no la misma función.

Yo contestaría que NO, como respuesta de punto de partida.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Yo contestaría que NO, como respuesta de punto de partida.

Je, je. Pues yo, de partida, diría: "En sentido estricto, SÍ, pero..."  En cualquier caso, sólo decía que es un hecho me parecía oportuno mencionarle a un estudiante de primero de matemáticas, independientemente de que uno responda con un "Sí, pero..." o con un "No, pero..."

Por poner un ejemplo más descarado: Si un estudiante de matemáticas me pregunta: ¿es el número 3 un conjunto? Yo le diría: En sentido estricto, sí, pero eso es algo que conviene olvidar en la práctica (lo cual no quita para que la respuesta sea "sí" y no "no").

[ani_pascual]

Hola:
Pero a su vez, si \( X\subseteq Y \) y se considera \( 1_X\subseteq X\times X\subseteq X\times Y\subseteq X\times Y^2\subseteq \cdots\subseteq X\times Y^n\subseteq \cdots \subseteq X\times Y^Y \) se equipararía \( 1_x:X\longrightarrow{} X \) con \( 1_x:X\longrightarrow{} Y^Y \) con lo que \( \forall\,x\in X \) se tendría que \( x=1_X(x)\in Y^Y\Longrightarrow x:Y\longrightarrow Y \), luego \( x\subseteq Y\times Y \), etc ¿no es así? 
Saludos

[Carlos Ivorra]

Hola:
Pero a su vez, si \( X\subseteq Y \) y se considera \( 1_X\subseteq X\times X\subseteq X\times Y\subseteq X\times Y^2\subseteq \cdots\subseteq X\times Y^n\subseteq \cdots \subseteq X\times Y^Y \) se equipararía \( 1_x:X\longrightarrow{} X \) con \( 1_x:X\longrightarrow{} Y^Y \) con lo que \( \forall\,x\in X \) se tendría que \( x=1_X(x)\in Y^Y\Longrightarrow x:Y\longrightarrow Y \), luego \( x\subseteq Y\times Y \), etc ¿no es así? 

No, no es así. Pareces creer que \( Y\subset Y^2\subset \cdots \subset Y^n\subset \cdots \), pero esas inclusiones son falsas salvo si \( Y = \emptyset \). Esos conjuntos son disjuntos dos a dos.

[Fernando Revilla]

Si aplicamos esto a la identidad en un conjunto \( X \) y a la inclusión en un conjunto \( Y \), como plantea JVC, lo cierto es que son lo mismo, pues ambas son el conjunto: \( 1_X=\{(x, x)\mid x\in X\} \).

Me parece una falta de respeto el paisaje que acoge a \( 1_X \)  .

Yo contestaría que NO, como respuesta de punto de partida.

Yo también.

Pero a su vez, si \( X\subseteq Y \) y se considera \( 1_X\subseteq X\times X\subseteq X\times Y\subseteq X\times Y^2\subseteq \cdots\subseteq X\times Y^n\subseteq \cdots \subseteq X\times Y^Y \) se equipararía \( 1_x:X\longrightarrow{} X \) con \( 1_x:X\longrightarrow{} Y^Y \) con lo que \( \forall\,x\in X \) se tendría que \( x=1_X(x)\in Y^Y\Longrightarrow x:Y\longrightarrow Y \), luego \( x\subseteq Y\times Y \), etc ¿no es así? 

¿Por qué \( X\times Y\subseteq X\times Y^2 \)?

[Carlos Ivorra]

Yo contestaría que NO, como respuesta de punto de partida.

Yo también.

Todo dependerá que las definiciones que consideres. Yo entiendo que la identidad \( 1_X: X\longrightarrow X \) es, por definición, el conjunto \( 1_X = \{(x, x)\mid x\in X\} \), y que la inclusión \( i_{XY}: X\longrightarrow Y \) es, por definición, el conjunto \( i_{X,Y} = \{(x, x)\mid x\in X\} \), y con esas definiciones, es incuestionable que son lo mismo.

Ya señalé que es posible dar una definición más sofisticada de aplicación de modo que una aplicación determine su conjunto inicial y su conjunto final, pero no creo que sea algo estándar, ya que eso complica la definición y sólo es realmente necesario en contextos muy concretos, como en algunas formulaciones de la teoría de categorías (y no en todas).

Si decís que non son lo mismo, la pregunta obligada es cómo definís \( f: A\longrightarrow B \). Si vuestra definición es distinta de la usual en teoría de conjuntos, pues las dos cosas serán lo mismo o no lo serán según lo que me digáis, pero con la definición usual, no hay vuelta de hoja.

Otra cosa es que hay convenios que es mejor olvidar. Por ejemplo, resulta natural pensar que una función \( f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R \) es algo distinto de su gráfica:

\( G_f = \{(x, f(x))\mid x\in \mathbb R\}\subset \mathbb R^2 \),

pero lo cierto es que, con la definición usual de aplicación, una función y su gráfica son el mismo conjunto. No está reñido pensar en ambas cosas como cosas distintas con reconocer que, técnicamente, son la misma cosa por un convenio que funciona bien como está y no merece la pena complicar para dejar constancia de una distinción psicológica que no ganamos nada en introducir en la teoría.

La formulación conjuntista de la matemática está llena de convenios que es mejor olvidar una vez se establecen y funcionan, como que un número real sea un subconjunto de \( \mathbb Q \), o un conjunto de sucesiones de números racionales, etc., pero una cosa es olvidarlos y otra negarlos.

[Fernando Revilla]

Yo entiendo que la identidad \( 1_X: X\longrightarrow X \) es, por definición, el conjunto \( 1_X = \{(x, x)\mid x\in X\} \), y que la inclusión \( i_{XY}: X\longrightarrow Y \) es, por definición, el conjunto \( i_{X,Y} = \{(x, x)\mid x\in X\} \), y con esas definiciones, es incuestionable que son lo mismo.

Rigurosamente cierto pero si te olvidas del "ambiente" que contiene a \( 1_X = \{(x, x)\mid x\in X\}=i_{X,Y} \) es tan cierto como considerar a Gérard Dupont igual como ciudadano francés que como europeo.

Si decís que non son lo mismo, la pregunta obligada es cómo definís \( f: A\longrightarrow B \). Si vuestra definición es distinta de la usual en teoría de conjuntos, pues las dos cosas serán lo mismo o no lo serán según lo que me digáis, pero con la definición usual, no hay vuelta de hoja.

Dando un criterio de igualdad: Dos conjuntos \( f_{AB}\subset A\times B \) y \( g_{CD}\subset C\times D \) son iguales como aplicaciones si y sólo si \( A=C \wedge B=D\wedge f_{AB}=f_{CD} \)