[Restituto]

Genial, ya voy atando cabos en relación con la holomorfidad. Esta permite elegir en cada punto el mapa \( \mathbb{C} \)-lineal y no el \( \mathbb{C} \)-antilineal de manera consistente. Y esto implicaba diferenciabilidad real porque la suma directa de los mapas complejos lineales y antilineales del que la holomorfidad selecciona sólo el subespacio \( \mathbb{C} \)-lineal  se construye en el espacio de todos los mapas \( \mathbb{R} \)-lineales \( \mathbb{C}\rightarrow{\mathbb{C}} \) y a partir de sus elementos, \( 1 \)-formas, se construyen mediante el producto wedge las \( 2 \)-formas que admiten las cartas en \( \mathbb{C} \). Las \( 4 \)-formas no aparecen por ningún lado sino que la conexión con el espacio ambiente se da por la estructura cuasi-compleja bidimensional compatible de grafo y subespacio ambiente.

[geómetracat]

Sí, básicamente es eso.

[Restituto]

Gracias. Me resulta fascinante todo esto que explicas. He buscado bibliografía al respecto y he encontrado un libro de Raymond O. Wells: "Differential analysis on complex manifolds", donde en las páginas 27-36 del primer capitulo desarrolla lo que me cuentas de la estructura cuasi-compleja y su relación con la holomorfidad, las formas diferenciales y la suma directa de aplicaciones \( \mathbb{C} \)-lineales y conjugado-lineales o \( \mathbb{C} \)-antilineales con la suficiente claridad como para que yo lo entienda después de lo que hemos hablado. Si tienes alguna otra referencia que consideres valiosa no dudes en sugerírmela.

¿Es algo imprescindible que exista la descomposición de suma directa como espacios vectoriales reales de aplicaciones {C}[/tex]-lineales y {C}[/tex]-antilineales de todas las posibles aplicaciones {R}[/tex]-lineales en funciones \( \mathbb{C}\rightarrow{\mathbb{C}} \), para que sea posible definir su holomorfidad? Supongo que sí si de lo que se trata es de seleccionar sólo las funciones con aplicación \( \mathbb{C} \)-lineal en su fibrado tangente. En este sentido ¿hay una dependencia del espacio \( \mathbb{R^4} \) en último término para la holomorfidad? ¿O hay otra forma de separar aplicaciones lineales y antilineales complejas independiente de esto?

[geómetracat]

El libro de Wells es magnífico, cuando me estaba metiendo en temas de estos me lo leí de cabo a rabo.
Otra referencia que suelo mirar para estos temas es el capítulo 0 del "Principles of algebraic geometry" de Griffiths y Phillips. En él hacen lo mismo (¡o incluso más!) que en todo el libro de Wells, pero está bastante bien hecho y es una referencia muy útil.

Sobre lo último, yo diría que sí. No acabo de entender lo de la dependencia de \( \Bbb R^4 \). Puedes considerar el espacio de aplicaciones lineales en abstracto, sin hacer referencia a bases, y definir la descomposición también en abstracto. Al fin y al cabo, la \( \Bbb C \)-linealidad es algo que solamente hace referencia a las aplicaciones, no a su representación como matrices fijada una base. En este sentido no hace falta hacer referencia a \( \Bbb R^4 \).
Pero claro, el espacio de aplicaciones lineales es un espacio vectorial real de dimensión \( 4 \) y por tanto isomorfo a \( \Bbb R^4 \), por tanto si lo buscas tienes un \( \Bbb R^4 \) detrás.

[Restituto]

El libro de Wells es magnífico, cuando me estaba metiendo en temas de estos me lo leí de cabo a rabo.

¡Qué envidia! Yo por motivos obvios si me aventuro más allá de esas 5 páginas será como mucho al resto del primer capítulo de momento.

Otra referencia que suelo mirar para estos temas es el capítulo 0 del "Principles of algebraic geometry" de Griffiths y Phillips. En él hacen lo mismo (¡o incluso más!) que en todo el libro de Wells, pero está bastante bien hecho y es una referencia muy útil.

Gracias, creo que lo he oído nombrar alguna vez como un libro muy bueno. Le echaré un ojo por si alguna sección me es asequible.

Sobre lo último, yo diría que sí. No acabo de entender lo de la dependencia de \( \Bbb R^4 \). Puedes considerar el espacio de aplicaciones lineales en abstracto, sin hacer referencia a bases, y definir la descomposición también en abstracto. Al fin y al cabo, la \( \Bbb C \)-linealidad es algo que solamente hace referencia a las aplicaciones, no a su representación como matrices fijada una base. En este sentido no hace falta hacer referencia a \( \Bbb R^4. \)
Pero claro, el espacio de aplicaciones lineales es un espacio vectorial real de dimensión \( 4 \) y por tanto isomorfo a \( \Bbb R^4 \), por tanto si lo buscas tienes un \( \Bbb R^4 \) detrás.

Se me ocurre que incluso si no lo buscas mucho lo encuentras, es decir hay una dependencia directa de la diferenciabilidad compleja en un entorno de \( \mathbb{C} \) de su complejificación(y por tanto de la diferenciabilidad en dimensión doble) por lo siguiente:  la complejificación del espacio \( L_\mathbb{R}(\mathbb{C},\mathbb{R}) \) de \( 1 \)-formas reales en 2 dimensiones reales al  \( L_\mathbb{R}(\mathbb{C}) \)   de \( 1 \)-formas reales en 4 dimensiones aporta una extensión canónica de la aplicación involutiva de conjugación compleja desde \( \mathbb{C} \) a al espacio complejificado \( L_\mathbb{R}(\mathbb{C}) \) y esta propiedad es la que va a servir para la descomposición en suma directa de aplicaciones \( \mathbb{C} \)-lineales y \( \mathbb{C} \)-antilineales de las que se puede escoger sólo las \( \mathbb{C} \)-lineales, y por tanto para la integrabilidad de la estructura cuasi-compleja en los espacios tangentes que se puede dar en todo espacio vectorial real de dimensión par, a la estructura compleja que es más exigente. ¿Qué opinas?

[geómetracat]

Gracias, creo que lo he oído nombrar alguna vez como un libro muy bueno. Le echaré un ojo por si alguna sección me es asequible.

Sí, es un libro que está muy bien pero es bastante más duro que el de Wells. De hecho el libro de Wells se puede ver como una preparación para este. En general el Griffiths-Harris es la biblia de la geometría algebraica desde el punto de vista complejo.

Se me ocurre que incluso si no lo buscas mucho lo encuentras, es decir hay una dependencia directa de la diferenciabilidad compleja en un entorno de \( \mathbb{C} \) de su complejificación(y por tanto de la diferenciabilidad en dimensión doble) por lo siguiente:  la complejificación del espacio \( L_\mathbb{R}(\mathbb{C},\mathbb{R}) \) de \( 1 \)-formas reales en 2 dimensiones reales al  \( L_\mathbb{R}(\mathbb{C}) \)   de \( 1 \)-formas reales en 4 dimensiones aporta una extensión canónica de la aplicación involutiva de conjugación compleja desde \( \mathbb{C} \) a al espacio complejificado \( L_\mathbb{R}(\mathbb{C}) \) y esta propiedad es la que va a servir para la descomposición en suma directa de aplicaciones \( \mathbb{C} \)-lineales y \( \mathbb{C} \)-antilineales de las que se puede escoger sólo las \( \mathbb{C} \)-lineales

Bien, estoy de acuerdo. Ya te digo que depende de qué entiendas por "depender de \( \Bbb R^4 \)", ya que en ese párrafo no se menciona explícitamente (aunque por ahí está, claro).

, y por tanto para la integrabilidad de la estructura cuasi-compleja en los espacios tangentes que se puede dar en todo espacio vectorial real de dimensión par, a la estructura compleja que es más exigente. ¿Qué opinas?

Aquí creo que tienes una confusión con la nomenclatura. La estructura cuasi-compleja ya es la que viene dada por la descomposición en cada tangente. Es decir, una estructura cuasi-compleja en una variedad \( M \) es una aplicación de fibrados \( J:TM \to TM \) que cumple que \( J^2=-id \) (es como una multiplicación por \( i \)). Esto te induce una estructura compleja en el espacio tangente de cada punto. Una estructuta cuasi-compleja en una variedad es pues en cierto modo una estructura "algebraica".
Toda la historia de la descomposición del tangente y demás hace referencia en realidad a la estructura cuasi-compleja.

Otro tema es una estructura compleja en una variedad \( M \). Esto es un conjunto de cartas con cambios holomorfos. Si tienes una estructura compleja automáticamente tienes una estructura cuasi-compleja en la variedad (multiplicar por \( i \) en cada tangente), pero al revés no es cierto en general. Si una estructura cuasi-compleja proviene de una estructura compleja entonces se dice que es integrable. En general, la integrabilidad se corresponde con que la estructura cuasi-compleja \( J \) cumpla una cierta ecuación diferencial.

Ahora bien, en dimensión real \( 2 \) (el caso de superfícies de Riemann que nos interesa aquí), toda estructura cuasi-compleja es integrable (esto no es obvio o fácil), de forma que no nos tenemos que preocupar por la diferencia entre estructura cuasi-compleja y estructura compleja.

[Restituto]

Aquí creo que tienes una confusión con la nomenclatura. La estructura cuasi-compleja ya es la que viene dada por la descomposición en cada tangente. Es decir, una estructura cuasi-compleja en una variedad \( M \) es una aplicación de fibrados \( J:TM \to TM \) que cumple que \( J^2=-id \) (es como una multiplicación por \( i \)). Esto te induce una estructura compleja en el espacio tangente de cada punto. Una estructuta cuasi-compleja en una variedad es pues en cierto modo una estructura "algebraica".
Toda la historia de la descomposición del tangente y demás hace referencia en realidad a la estructura cuasi-compleja.

Otro tema es una estructura compleja en una variedad \( M \). Esto es un conjunto de cartas con cambios holomorfos. Si tienes una estructura compleja automáticamente tienes una estructura cuasi-compleja en la variedad (multiplicar por \( i \) en cada tangente), pero al revés no es cierto en general. Si una estructura cuasi-compleja proviene de una estructura compleja entonces se dice que es integrable. En general, la integrabilidad se corresponde con que la estructura cuasi-compleja \( J \) cumpla una cierta ecuación diferencial.

Ahora bien, en dimensión real \( 2 \) (el caso de superfícies de Riemann que nos interesa aquí), toda estructura cuasi-compleja es integrable (esto no es obvio o fácil), de forma que no nos tenemos que preocupar por la diferencia entre estructura cuasi-compleja y estructura compleja.

Absolutamente, me vine demasiado arriba en esa última línea y me olvidé de las peculiaridades de las superficies, donde lo importante es la estructura cuasi-compleja ya que la compleja es automática si se tiene aquella, así que lo que escribí se ciñe a la estructura cuasi-compleja. En el caso general cumplir que se anule el tensor de Nijenhuis es más complicado.

Me doy cuenta ahora de que lo que estaba buscando en este hilo era esta estructura cuasi-compleja y lo de las 4 dimensiones era simplemente el hecho general de que por cada entero \( n \) el espacio \( \mathbb{R^{2n}} \) admite una estructura cuasi-compleja, y era lo que yo intuía en la holomorfidad de las funciones en \( \mathbb{C} \) pero no tenía herramientas para explicar.

[Restituto]

Puedes considerar el espacio de aplicaciones lineales en abstracto, sin hacer referencia a bases, y definir la descomposición también en abstracto. Al fin y al cabo, la \( \Bbb C \)-linealidad es algo que solamente hace referencia a las aplicaciones, no a su representación como matrices fijada una base. En este sentido no hace falta hacer referencia a \( \Bbb R^4 \).

Pero la diferenciabilidad total real en una región si requiere la representación matricial para una base única, ¿no?

[geómetracat]

Sí y no. La diferenciabilidad de una función se mira usando una carta (unas coordenadas), pero es independiente de las coordenadas en el sentido de que ser diferenciable depende solo de la estructura diferenciable.

Pero en cualquier caso en esa cita creo que hablaba de aplicaciones lineales \( \Bbb C \to \Bbb C \). En ese caso, si la aplicación es lineal es automáticamente diferenciable (respecto de cualquier sistema de coordenadas).

[Restituto]

Sí y no. La diferenciabilidad de una función se mira usando una carta (unas coordenadas), pero es independiente de las coordenadas en el sentido de que ser diferenciable depende solo de la estructura diferenciable.

A lo que me refiero es a que aquí se exige diferenciabilidad fuerte(Fréchet) y una matriz de una aplicación lineal única para los puntos de una región. Quizás no estoy entendiendo bien en qué sentido debe ser la aplicación lineal única, creo que debe ser única al menos en cuanto a ser elemento de \( \mathbb{R^4} \) y por tanto orientable(invertible) en este espacio en la base de \( \mathbb{R^2} \) escogida.

Pero en cualquier caso en esa cita creo que hablaba de aplicaciones lineales \( \Bbb C \to \Bbb C \). En ese caso, si la aplicación es lineal es automáticamente diferenciable (respecto de cualquier sistema de coordenadas).

Si, claro. Si partimos de la \( \mathbb{C} \)-linealidad es así. Yo partía de la otra dirección que no la asume.