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Hola buenas noches, tengo una pequeña duda que no se contestar debido a que se me escapa algún detalle, es la siguiente:

(duda referida a la siguiente proposición)
Sea \( \zeta \) una colección de subconjuntos de \( \Omega \) y \( p: \zeta \rightarrow{[0,\infty]} \) una función cualquiera, tales que \( \emptyset \in \zeta \) y \( p(\emptyset) = 0 \). Para cualquier \( B\subset{\Omega} \) se define

        \( \nu^*(B)=inf \{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{p(A_n)} : A_n \in \zeta , B\subset{\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_{i}}  \} \), define una medida exterior generada por \( p \), para la que \( \nu^*(A) \leq{p(A)} \), para \( A\in \zeta \). En la prueba de esto es básicamente probar que se verifican la definición de medida exterior, donde la más difícil puede ser probar que si \( B_n \) es una sucesión de conjuntos de \( \Omega \), entonces
\( \nu^*(\bigcup\limits_{i=1}^{} B_{i}) \leq{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\nu^*(B_n)}} \) en la prueba suponiendo que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\nu^*(B_n)} < \infty \) , se toma \( \epsilon > 0 \), y para cada \( n \), tomamos una sucesión \( A_{nm} \)   \( \in \zeta \) tal que   \(  B_n \in  \) \( \bigcup\limits_{m=1}^\infty{A_{nm}} \), y \( \displaystyle\sum_{m=1}{\nu^*(A_{nm})} \leq{\nu^*(B_n)} +\displaystyle\frac{e}{2^n} \). Mi duda es ¿por qué se puede tomar dicha sucesión \( A_{nm} \)? Me gustaría saber el motivo de su existencia, también me pregunto si \( \zeta \) que es una colección de subconjuntos necesariamente debe ser un recubrimiento del espacio \( \Omega \), no sé, contadme todo lo que sepáis, que encantado os leeré.
 

Por último aunque una medida exterior \( \nu^* \) tiene la ventaja de estar definida en todo \( P(\Omega) \), tiene el defecto de no ser numerablemente aditiva, ni siquiera aditiva. Por ello tratamos de encontrar una o-álgebra, sobre la que sí sea numerablemente aditiva. Esto último es de vital importancia entenderlo, sin embargo a priori no logró profundizarlo acerca de ahí, si podéis expresar lo anterior de alguna forma más ''clara'',  ¿Qué podéis contarme de esto último?

Saludos y muchas gracias de antemano.

[Masacroso]

Revisa lo anterior ya que me parece hay varios errores. Lo que se trata de demostrar es que \( \nu^* \) es subaditiva, es decir que

\( \displaystyle \nu^*\left(\bigcup\limits_{i=1}^{} B_{i}\right) \leq{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\nu^*(B_i)}} \)

Los \( A_n \) no está claro lo que son. Por otra parte te faltó añadir que \( \bigcup\zeta\supset\omega \). Luego, supongo que \( \omega=\Omega \) y que querías escribir \( \sigma \)-álgebra en vez de o-álgebra, ¿no?

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Hola Masacroso, ya he corregido las erratas de notación, respecto a lo que añades, en el libro que estudio no se dice explícito,  lo que tu comentas, quizás esa simple respuesta, responde a la primera parte de mi duda, ¿no?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

En la prueba de esto es básicamente probar que se verifican la definición de medida exterior, donde la más difícil puede ser probar que si \( B_n \) es una sucesión de conjuntos de \( \Omega \), entonces
\( \nu^*(\bigcup\limits_{i=1}^{} B_{i}) \leq{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\nu^*(B_n)}} \) en la prueba suponiendo que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\nu^*(B_n)} < \infty \) , se toma \( \epsilon > 0 \), y para cada \( n \), tomamos una sucesión \( A_{nm} \)   \( \in \zeta \) tal que   \(  B_n \in  \) \( \bigcup\limits_{m=1}^\infty{A_{nm}} \), y \( \displaystyle\sum_{m=1}{\nu^*(A_{nm})} \leq{\nu^*(B_n)} +\displaystyle\frac{e}{2^n} \). Mi duda es ¿por qué se puede tomar dicha sucesión \( A_{nm} \)?

Por definición:

\( \nu^*(B_n)=inf \{\displaystyle\sum_{m=1}^\infty{p(A_{nm})} : A_{nm} \in \zeta , B_n\subset{\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_{ni}}  \} \)

En particular por definición de ínfimo, si \( \nu^*(B_n)<+\infty \), dado \( k>0 \) existe una familia de conjuntos \( \{A_{nm}\}_{m\in \mathbb{N}}\subset \zeta \) tal que:

\( B_n\subset{\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_{ni}} \)

y

\( \nu^*(B_n)\leq \displaystyle\sum_{m=1}^\infty{p(A_{nm})}<\nu^*(B_n)+K \)

Aplícalo para \( K=\dfrac{\epsilon}{2^n} \). Y nota que he puesto \( p(A_{nm}) \) y no \( \nu^*(A_{nm}) \)

también me pregunto si \( \zeta \) que es una colección de subconjuntos necesariamente debe ser un recubrimiento del espacio \( \Omega \), no sé, contadme todo lo que sepáis, que encantado os leeré.

No, no tiene porque ser un recubrimiento.
 

Por último aunque una medida exterior \( \nu^* \) tiene la ventaja de estar definida en todo \( P(\Omega) \), tiene el defecto de no ser numerablemente aditiva, ni siquiera aditiva. Por ello tratamos de encontrar una o-álgebra, sobre la que sí sea numerablemente aditiva. Esto último es de vital importancia entenderlo, sin embargo a priori no logró profundizarlo acerca de ahí, si podéis expresar lo anterior de alguna forma más ''clara'',  ¿Qué podéis contarme de esto último?

¿Has estudiado ya como se define una medida a partir de una medida exterior seleccionando los conjuntos que junto con su complementario "parten bien" la medida de cualquier otro. ¿Entiendes que la condición de ser aditiva es muy razonable: básicamente que la medida de trozos disjuntos sea la medida de la unión de los trozos?.

Saludos.

[Masacroso]

también me pregunto si \( \zeta \) que es una colección de subconjuntos necesariamente debe ser un recubrimiento del espacio \( \Omega \), no sé, contadme todo lo que sepáis, que encantado os leeré.

No, no tiene porque ser un recubrimiento.

Entonces, ¿cómo defines la medida exterior de un subconjunto cualquiera de \( \Omega \)?

Había leído en un libro de análisis que una medida exterior en un conjunto \( \Omega \) se definía a través de una cobertura conforme \( \mathcal K \) (conforming cover en inglés), que no es más que una colección de subconjuntos de \( \Omega \) tales que contiene una sucesión \( (A_k) \) cuya unión cubre a \( \Omega \), y además contiene el conjunto vacío.

Entonces a partir de eso una función \( \nu:\mathcal K\to [0,\infty] \) con \( \nu(\emptyset)=0 \) define una medida exterior \( \mu^* \) en \( \Omega \) de esta manera

\( \displaystyle \mu^*(B):=\inf\left\{\sum_{k=0}^\infty \nu(A_k): \bigcup_{k=0}^\infty A_k\supset B,\, A_k\in\mathcal K\right\} \)

para un subconjunto cualquiera \( B\subset\Omega \). Pero si \( \bigcup\mathcal K\not\supset\Omega \) entonces es posible que \( B \) no sea cubierto por ninguna colección contable en \( \mathcal K \). En ese caso, ¿qué valor le damos a la medida exterior de \( B \), o cómo se resuelve este caso?

[Luis Fuentes]

Hola

para un subconjunto cualquiera \( B\subset\Omega \). Pero si \( \bigcup\mathcal K\not\supset\Omega \) entonces es posible que \( B \) no sea cubierto por ninguna colección contable en \( \mathcal K \). En ese caso, ¿qué valor le damos a la medida exterior de \( B \), o cómo se resuelve este caso?

Si no se puede recubrir por ninguna colección contable, por la definición que hemos hecho nos queda que:

\( \mu^*(B)=inf\emptyset=+\infty \)

Saludos.

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Con estas aportaciones queda mi duda resuelta.

Gracias