[minette]

Hola Luis

Si te he puesto el ejemplo de la terna \( (5,6,7) \) es porque tú, en tu respuesta 713 has puesto el ejemplo \( (1,2,\sqrt[3 ]{a}) \). Nada más que por eso.

Robinlambada, tiene toda la razón del mundo cuando dice que "No es cuestión de probar ternas".

Pienso que yo voy a comprar en una tienda pelotas de tenis de la marca "entero" y el vendedor se empeña en convencerme de que la marca "real" es mucho mejor que la marca "entero".

Yo voy a seguir con las pelotas de la marca "entero".

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Si te he puesto el ejemplo de la terna \( (5,6,7) \) es porque tú, en tu respuesta 713 has puesto el ejemplo \( (1,2,\sqrt[3 ]{a}) \). Nada más que por eso.

Robinlambada, tiene toda la razón del mundo cuando dice que "No es cuestión de probar ternas".

La diferencia es que tu ejemplo no vale para nada ni viene a cuento. El que yo puse si venía a cuento y si vale para algo.

Tu hacías un razonamiento donde no usabas para nada que las variables implicadas fuesen o no enteras (sumabas, dividías, comparabas,...); el ejemplo muestra que la conclusión que afirmas falla, luego hay algo más en el razonamiento. No obstante previamente ya te había explicado porqué estaba mal tu razonamiento. El ejemplo era un plus.

Entonces lo que tienes que entender es que si se hace una afirmación en general, un ejemplo donde falle SI VALE para demostrar que es falsa, que no funciona siempre; pero por el contrario un ejemplo donde sea cierta la conclusión, no vale para probar que en general la afirmación es cierta.

Por ejemplo si yo digo que de \( x>y \) se deduce que \( x>y+5 \), es una afirmación falsa. Puede poner ejemplos donde se cumple: \( x=10 \) e \( y=1 \); pero eso no vale de nada. Pero puedo poner un ejemplo donde falla \( x=2 \) e \( y=1 \), y eso es suficiente para demostrar que la afirmación es falsa.

Saludos.

[feriva]

Robinlambada, tiene toda la razón del mundo cuando dice que "No es cuestión de probar ternas".

Es que eso depende; en cuanto a lo que se refiere Robin sí tiene razón.

Si yo quiero demostrar que esto tiene alguna solución, \( a^{2}+b^{2}=c^{2}
  \), me basta con poner de ejemplo cualquier terna que cumpla la ecuación: (3,4,5) por caso. Y eso demuestra, evidentemente, que existe alguna solución. Pero si pongo la terna (3,3,3) que no cumple eso (como es obvio) no demuestro nada; porque hay muchas ternas más y algunas sí puede cumplir la ecuación, yo qué sé de antemano qué puede pasar, de nada me valen los ejemplos que no la cumplen, por muchos que ponga, porque son infinitos, por eso no puedo asegurar que todas, todas, no cumplen.

La terna que te pone Luis es un contraejemplo (a mí juicio creo que se le puede llamar así) algo que dice que tú demostración está mal; incluso aunque no se analice por qué está mal (aparte de que sí lo haya analizado). Está mal porque con la “excavadora” te has llevado por medio una solución válida.

Se me ocurre entonces que, de ahora en adelante, te plantees que tienes que demostrar que no existen soluciones enteras y sí existen soluciones no enteras; de forma conjunta. Verás a partir de eso que el ejemplo de Luis hace ver que niegas una solución (al menos una) que sí existe.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Pienso que yo voy a comprar en una tienda pelotas de tenis de la marca "entero" y el vendedor se empeña en convencerme de que la marca "real" es mucho mejor que la marca "entero".

Yo voy a seguir con las pelotas de la marca "entero".

Me he decidido a participar en el concurso de metáforas:

Pienso que vas a comprar en una tienda pelotas de tenis de la marca "entero" y le dices al vendedor que tu intención es ganar el Rolald Garros, pero el dependiente se da cuenta de que en ningún momento usas las pelotas que le compras para jugar al tenis, sino que te las llevas a un parque para lanzárselas a tu perro y que te las devuelva. Y por eso te dice:

—Pero para ese uso que les das, no tiene sentido que te gastes tanto dinero en unas pelotas tan caras. Aquí tengo unas pelotas de goma de marca "real" que son mucho más baratas y con ellas puedes hacer lo mismo que haces con las pelotas de marca "entero".

Y tú le replicas:

—Pero con esas pelotas no podría ganar el Roland Garros.

—Cierto, pero, comprar pelotas de marca "entero" tampoco te permitirá ganarl el Roland Garros si, en vez de usarlas para jugar al tenis, te limitas a lanzárselas a tu perro. No haces nada con las pelotas "entero" que no pueda hacer cualquiera con las pelotas "real".

Y eso debería bastarte para entender que es imposible que ganes el Roland Garros si lo único que sabes hacer con las pelotas "entero" es algo que se puede hacer igual de bien con las pelotas "real". Para ganar el Roland Garros tienes jugar al tenis, y además muy bien, pero tú, no es que no juegues al tenis muy bien, sino que no juegas al tenis en absoluto, porque todo lo que haces con las pelotas "entero" se puede hacer igual con unas pelotas "real" que no sirven para jugar al tenis, pero que a ti te sobran, para el uso que les das.

Lo que están intentando que entiendas es que no puedes decir que estás jugando al tenis sólo porque usas pelotas de tenis. Si hay otras pelotas marca "real" con las que no se puede jugar al tenis, pero todo lo que tú haces con tus pelotas "entero" se puede hacer también con ellas, eso debería bastar para que entendieras que no estás jugando al tenis, luego tus posibilidades de ganar el Roland Garros son nulas a priori. No necesito saber si eres buen tenista para saber que no ganarás el Roland Garros yendo a la cancha con tu perro y lanzándole pelotas para que las recoja (pelotas de tenis caras, eso sí, pero sólo se las lanzas a un perro igual que podrías lanzarle pelotas de goma baratas).

Dices que vas a seguir con tus pelotas de marca "entero", eso está bien, pero ¿algún día piensas empuñar una raqueta o vas a seguir "jugando al tenis" con perro y sin raqueta?

[feriva]

Hola Luis
Pienso que yo voy a comprar en una tienda pelotas de tenis de la marca "entero" y el vendedor se empeña en convencerme de que la marca "real" es mucho mejor que la marca "entero".

Yo voy a seguir con las pelotas de la marca "entero".

Esto de las pelotas no lo había visto hasta que no lo ha comentado Carlos. Va a ser verdad que no lo entiendes, que no es por mera cabezonería de mantenerte en tus trece. Y eso me parece un asunto “grave”, digamos que opino que merece la pena hablarlo seriamente, que tiene interés (si fuera sólo por no querer dar tu brazo a torcer, no tendría mayor interés).

Teorema en spoiler (porque una imagen vale más que mil palabras, dicen)

Spoiler

Teorema: \( a+b
  \) es igual a \( a\cdot b
  \).

Demostración:

El vendedor trata de que compremos pelotas de distintas marcas, pero sólo compramos de la marca “dos”; entonces:

\( 2+2=2\cdot2
  \).

Que era lo que queríamos demostrar.

Y en ese momento entra Luis en la tienda y dice:

“Pero, señora, entonces qué pasa con esto \( 3+3\neq3\cdot3
  \)”

Y la señora insiste, “Luis, que te he dicho que yo sólo uso la marca “2”, que es la que me gusta, y tú me estás poniendo un ejemplo con una marca que yo no compro”.

[/sopiler]

Saludos.

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

Teorema en spoiler (porque una imagen vale más que mil palabras, dicen)

Spoiler

Teorema: \( a+b
  \) es igual a \( a\cdot b
  \).

Demostración:

El vendedor trata de que compremos pelotas de distintas marcas, pero sólo compramos de la marca “dos”; entonces:

\( 2+2=2\cdot2
  \).

Que era lo que queríamos demostrar.

Y en ese momento entra Luis en la tienda y dice:

“Pero, señora, entonces qué pasa con esto \( 3+3\neq3\cdot3
  \)”

Y la señora insiste, “Luis, que te he dicho que yo sólo uso la marca “2”, que es la que me gusta, y tú me estás poniendo un ejemplo con una marca que yo no compro”.
[/sopiler]

[cerrar]

Ese ejemplo no me agrada demasiado y puede resultar confuso.

Spoiler

minette se queja de que, pretendiendo probar algo para enteros yo le ponga un contraejemplo para reales. Su marca es "entero" y la marca que se sale de ahí son "reales".

Pero en tu ejemplo, confrontas la propiedad para el número \( 2 \) con la propiedad para número \( 3 \). Pareciera que el \( 2 \) juega el papel de los enteros y el \( 3 \) de los reales. Pero si realmente quisiese probar el Teorema que enuncias sólo para el conjunto de números \( \{2\} \), la prueba que escribes sería correcta y el contraejemplo del \( 3 \) no vendría a cuento.

Creo que simplemente quería decir que para probar un teorema no vale con dar un ejemplo concreto donde se cumple. Pero pretendiendo unirlo con la metáfora de las "marcas" creo que has liado más la madeja.

El problema de minette, es que aún intentando probar un teorema para enteros, por en medio usa (y lo hace mal) argumentos generales de números enteros y reales; mi contraejemplo es a esos argumentos, no al teorema que pretende probar.

La metáfora de Carlos, por el contrario es muy atinada.

[cerrar]

Saludos.

[minette]

Hola a todos.

Vuelvo a referirme a la terna \( (5,6,7) \).
 

Estamos en el tercer caso, cuando \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)  y, generalizando, cuando \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)  siendo n  el mayor valor que cumple esta desigualdad con signo \( > \).
 

En primer lugar voya a calcular el valor de \( n \)  :

\( 5^{2}+6^{2}=61 \)  ; \( 7^{2}=49 \)  ; \( 5^{2}+6^{2}>7^{2} \)
 

\( 5^{3}+6^{3}<7^{3} \)
 

por tanto el mayor valor que cumple esta desigualdad con signo \( > \)  es\(  (n-1)=2[ \)  ; y por tanto \(  n=3 \) .

Calculo ahora la identidad de Bèzout para el caso de la terna \( (5,6,7) \)
 

\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1  \) ; \( 5^{2}x_{0}+6^{2}y_{0}=1 \) ; \( 25x_{0}+36y_{0}=1 \)
 

de donde \( 5^{2}\cdot13+6^{2}\cdot(-9)=1  \); \( x_{0}=13 \)  ; \( y_{0}=-9 \)
 

¿Alguien puede seguir estos pasos para una terna con reales?

En cuanto a la terna \( (1,2\sqrt[3]{a}) \)  para \( n=3 \) , estamos en el caso \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)  pero para \( n=3 \)  : \( 1^{3}+2^{3}=(\sqrt[3]{a)^{3}} \)  entonces para \( n>3 \)  :\(  1^{n}+2^{n}<9^{n} \)
 

Proponedme una terna de reales en la que se pueda seguir todo el camino que he seguido para la terna \( (5,6,7) \) : Calculando el valor de \( n \)  y calculando la identidad de Bèzout. Yo creo que es imposible.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Alguien puede seguir estos pasos para una terna con reales?

¡Pero ya te he puesto un ejemplo!.

En cuanto a la terna \( (1,2\sqrt[3]{a}) \)  para \( n=3 \) , estamos en el caso \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)  pero para \( n=3 \)  : \( 1^{3}+2^{3}=(\sqrt[3]{a)^{3}} \)  entonces para \( n>3 \)  :\(  1^{n}+2^{n}<9^{n} \)

Por tercera vez: la terna no es esa. Es \( (1,2,\sqrt[3]{9}) \), es decir, \( a=1, b=2, c=\sqrt[3]{9} \). Entonces: \( 1^2+2^2=5>\sqrt[3]{9}^2\approx 4.3267487 \), pero:

\( 1^3+2^3=9=(\sqrt[3]{9})^3 \)
 

Proponedme una terna de reales en la que se pueda seguir todo el camino que he seguido para la terna \( (5,6,7) \) : Calculando el valor de \( n \)  y calculando la identidad de Bèzout. Yo creo que es imposible.

El ejemplo te lo puse aquí:

P.D. También puedes ver que para \( a=1, b=2, c^3=9, x_0=3, y_0=1,\color{red}n=3\color{black} \) se cumple la igualdad, y por tanto en ningún caso puede estar bien un argumento como el que intentabas para probar que no puede darse esa igualdad.

En particular con los signos que estás dando a \( x_0 \) e \( y_0 \) (ya te comenté en otra ocasión que a veces estás cambiando los signos), si quieres que \( x_0 \) sea positivo e \( y_0 \) negativo, sería por ejemplo:

\( a=1, b=2, c=\sqrt[3]{9}, x_0=5, y_0=-1,n=3 \)

Se tiene que:

\( a^2x_0+b^2y_0=1 \)

es decir:

\( 1^2\cdot 5+2^2\cdot (-1)=1 \)

Te estoy poniendo un ejemplo donde el NO entero es \( c \). Igualmente se pueden dar ejemplos donde el NO entero es \( a \) o \( b \) ó todos. Igualmente te estoy dando un ejemplo donde \( a^3+b^3=c^3 \); también podrían darse ejemplos... ¡obviamente!... donde los números no son enteros pero tampoco se da la igualdad.

En fin...

Saludos.

[feriva]

Hola

Teorema en spoiler (porque una imagen vale más que mil palabras, dicen)

Spoiler

Teorema: \( a+b
  \) es igual a \( a\cdot b
  \).

Demostración:

El vendedor trata de que compremos pelotas de distintas marcas, pero sólo compramos de la marca “dos”; entonces:

\( 2+2=2\cdot2
  \).

Que era lo que queríamos demostrar.

Y en ese momento entra Luis en la tienda y dice:

“Pero, señora, entonces qué pasa con esto \( 3+3\neq3\cdot3
  \)”

Y la señora insiste, “Luis, que te he dicho que yo sólo uso la marca “2”, que es la que me gusta, y tú me estás poniendo un ejemplo con una marca que yo no compro”.
[/sopiler]

[cerrar]

Ese ejemplo no me agrada demasiado y puede resultar confuso.

Spoiler

minette se queja de que, pretendiendo probar algo para enteros yo le ponga un contraejemplo para reales. Su marca es "entero" y la marca que se sale de ahí son "reales".

Pero en tu ejemplo, confrontas la propiedad para el número \( 2 \) con la propiedad para número \( 3 \). Pareciera que el \( 2 \) juega el papel de los enteros y el \( 3 \) de los reales. Pero si realmente quisiese probar el Teorema que enuncias sólo para el conjunto de números \( \{2\} \), la prueba que escribes sería correcta y el contraejemplo del \( 3 \) no vendría a cuento.

Creo que simplemente quería decir que para probar un teorema no vale con dar un ejemplo concreto donde se cumple. Pero pretendiendo unirlo con la metáfora de las "marcas" creo que has liado más la madeja.

El problema de minette, es que aún intentando probar un teorema para enteros, por en medio usa (y lo hace mal) argumentos generales de números enteros y reales; mi contraejemplo es a esos argumentos, no al teorema que pretende probar.

La metáfora de Carlos, por el contrario es muy atinada.

[cerrar]

Saludos.

Perdona, Luis, que no vi tu respuesta.

De acuerdo, es un ejemplo algo alejado.

Saludos.

[feriva]

Hola, minette.

Mi ejemplo no era “ejemplarizante” del todo (valga la redundancia) como bien había dicho Luis, pero no vi su respuesta; la acabo de ver.

Enfoco la idea de otra manera (sigue siendo el mismo ejemplo, es distinto de lo que tratas, pero si haces el esfuerzo quizá puedas “atar cabos”).

Si qusieras demostrar que \( 2+2=2\cdot2
  \), con el propio ejemplo vale, haciendo las cuentas. Pero si intentaras demostrarlo a partir de la ecuación general \( a+b=a\cdot b
  \) estaría mal de entrada, porque hay otros números que no cumplen la igualdad; aunque no “tengan que ver” con lo que quieres demostrar, que en este caso es simplemente esto \( 2+2=2\cdot2
  \).

Pues eso es lo que pasa, tú quieres demostrar una cosa exclusiva para enteros con ecuaciones y consideraciones que sirven para reales; sin usar nada que salvaguarde “el honor” de esos otros números que sí cumplen. Éstos, aunque no entren directamente en el ajo de lo que quieras probar, delatan una inconsistencia respecto de los axiomas y definiciones... respecto de las reglas del juego; o sea, delatan una mentira. Y eso no se permite en matemáticas, ya lo sabes, no se pueden decir cosas así, la demostración que dice mentiras es incorrecta (aunque no sea directamente sobre lo que quieres demostrar). Eso está mal, y se acabó lo que se daba.

Saludos.