Hola
Sean las siguientes expresiones:
\( A^z=A^{z-n}(A-1)+\ldots+A^3(A-1)+A^2(A-1)+A(A-1)+A=A\cdot{}m \) [1]
donde A, z y m son números enteros. \( A^z=((A-1)(A+1)+1)A^{z-2}=((A-1)(A+1)A^{z-2}+A^{z-2}) \) ahora sumamos y restamos b en los dos sumandos \( ((A-1)(A+1)A^{z-2}+b+A^{z-2}-b) \). Consideremos las dos potencias de forma separada. \( ((A-1)(A+1)A^{z-2}+b) \) simplificamos \( ((A^{z}-A^{z-2}+b) \) [2] recordemos la expresión [1]. Por lo tanto solo consideramos los casos en que [2] es potencia es decir \( ((A^{z}-A^{z-2}+b)=A\cdot{}n \).
No. Cuando escribes \( ((A^{z}-A^{z-2}+b)=A\cdot{}n \) no estás considerando un caso en el que \( ((A^{z}-A^{z-2}+b) \) es potencia; estás imponindo que sea múltiplo de \( A \) al igualar a \( A\cdot n \). Si quieres considerar el caso en el que es potencia deberías de escribir:
\( ((A^{z}-A^{z-2}+b)=C^k \)
o si prefieres:
\( ((A^{z}-A^{z-2}+b)=(A+c)^k \)
Insisto entonces a ver si queda claro: utilizas sin justificación alguna que esa expresión es un múltiplo de \( A \). Siendo n un número entero. Si despejamos b y es integro, posee un factor común con A.
Bajo el supueso de que la expresión [2] es múltiplo de \( A \), es una trivialidad que \( b \) también lo es.
La siguiente potencia \( A^{z-2}-b =A\cdot{}j \) [3]. Donde j es un número entero. Al igual que la primera solo consideramos los casos en que [3] sea potencia. Si despejamos b también tiene un factor común conforme con la potencia [1]. Entonces A·m= A·n+ A·j.
Más de lo mismo. Te sacas de la manga el igualar expresiones de la forma \( A^{z-2}-n \) a múltiplos de \( A \).
Desde otra perspectiva. Sea A=B·n donde B y n son coprimos. Y m es un número entero.
\( A^z=A^{z-1}(A-1)+\ldots+A^3(A-1)+A^2(A-1)+A(A-1)+A=B\cdot{}n \)·m [1].
Supongamos que queremos obtener la expresión [1], es decir la potencia mediante \( (Bc)^x+(Bc+t)^y \) [2] donde B, c y t son coprimos. Entonces \( (Bc)^x+(Bc)^y+y((Bc)^{y-1}\cdot{}t+\ldots+y(Bc)t^{y-1}+t^y \). Supongamos que todos los exponentes son mayores que tres, por lo tanto todas las potencias responden a \( A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A \). Retomemos [2] \( (Bc)^x+(Bc+t)^y=[todos los sumandos con fc]\cdot{}Bc+t^y \). Partíamos de la expresión [1] B·m·n entonces igualamos con [2] y llegamos a una incongruencia ya que B·m·n ≠[todos los sumandos con fc]·Bc+t^y. Porque recordemos que B, n, c y t son coprimos. Y en consecuencia [] Bc+t^y, en este caso, todos los exponentes mayores que dos, nunca alcanzara la expresión B·m·n.
Aquí nuevamente estás demostrando una cosa que es trivial, obvia, y que no aporta nada.
Partes de la igualdad:
\( (Bc)^x+(Bc+t)^y=(Bn)^z \)
y muestras que es imposible que \( t \) y \( B \) sean coprimos. Eso es obvio y no sirve nada. Está claro que si en la expresión:
\( P^x+Q^t=R^z \)
dos de los sumandos tienen un factor común (en tu caso \( P=BC \) y \( R=BC \) tienen a \( B \) por factor común), el tercero (en tu caso \( Q=Bc+t \)) también tiene ese factor común (en tu caso \( B \)).
Pero no es ese caso de particular el que realmente queremos probar. Lo que queremos probar, lo que dice la conjetura de Beal, es que si tenemos
\( P^x+Q^t=R^z \)
con exponentes enteros superiores a dos, entonces los tres factores \( P,Q,R \) tienen un divisor común. Y esto ha de demostrarse sin suponer que dos de ellos ya tienen el factor común (ya que ese caso es obvio y es el único que estás demostrando en toda tu argumentación).
Saludos.
P.D. Sería bueno que más allá de reescribir una y otra vez tus mismas ideas con pequeños cambios, si vuelves a responder hagas referencia explícita a las críticas y comentarios que te estoy haciendo; porque francamente, no me queda nada claro que los estés entendiendo.
