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Mensajes - Willix

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Cálculo 1 variable / Re: Demostrar igualdad de integrales
« en: 14 Julio, 2016, 01:11 pm »
Hola, Venom. A lo que se refiere el_manco es a que compares el comportamiento de \( x \) y de \( 1 - x \) en el intervalo \( [0,1] \) y los términos de la integral.

La clave está en la simetría de ambas.

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Cálculo 1 variable / Re: lim 1/e^{n/sen^2(n/n^2+1)}
« en: 25 Abril, 2016, 03:28 pm »
No le veo ninguna trampa...

\( \frac{n}{n^{2}} \approx \frac{1}{n} \) cuando \(  n \to +\infty \)

\(  0 > \sin^{2}\left(1+\frac{1}{n}\right) = k_{n} < 1 \)

\(  \frac{n}{k_{n}} \xrightarrow{n \to +\infty}{} +\infty \Longrightarrow \frac{1}{e^{n / k}} \xrightarrow{n \to +\infty}{} 0 \)

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Hola, sergioswim. Mi primer consejo: mejora la notación y clarifica el texto.


Sean 2 circunferencias distintas(\( R \) y \( (R_2) \)) con (r) < (r+n) (radios) , lo que implica distintos radios.

Sean dos circunferencias \( R_{1}, R_{2} \) con respectivos radios \( r_{1}, r_{2} \ \big(r_{1} < r_{2}\big) \). Ello ya implica que \( r_{2} = r_{1} + n, \ \ n > 0 \)



Sean \( A , B  \) y  \( C \) puntos en la circunferencia \( R \) tal que \( B  \) y \( C \) pertenezcan a la circunferencia \( R_2 \), esto significa que la distancia del centro de la circunferencia al punto \( A \) y \(  B \) deber ser \( r+n \) ,y supongamos por contradicción que \( A \) pertenece a la circunferencia \( R_2 \).

Sean \( A, B, C \) tres puntos distintos de \( R_{1} \) verificando que \( B, C \) pertenecen a la circunferencia \( R_{2} \). Esto implica que la distancia desde el centro de \( R_{2} \) a los puntos B y C (no a los puntos A y B) es \( r_{2} \).



... y supongamos por contradicción que A pertenece a la circunferencia R2, luego por definición de radios la distancia del centro de la circunferencia r+n al punto A debe ser  r+n, pero esto contradice la hipótesis, ya que la distancia del centro de la circunferencia R al punto A debe ser r , por lo tanto A no puede pertenecer a la circunferencia R2.

... Supongamos que A también pertenece a \( R_{2} \) para buscar una contradicción. Como \( A \in R_{2} \), entonces \( d\big(A, R_{2}\big) = r_{2} \) cuando debe cumplirse que \( d\big(A, R_{1}\big) = r_{1} \).


Spoiler
Creo que escrito así se te va a ir toda duda de porqué diré que no has demostrado nada.
[cerrar]




Hasta ahí ya estaría todo bien escrito sin lugar a confusiones. Lo azul es recomendable o indispensable ponerlo, lo rojo es erróneo (bien conceptual o semánticamente) y los pequeños cambios de notación deberían serte familiares. A partir de ahí analizo tu razonamiento.

Supones como hipótesis que los puntos B y C están en ambas circunferencias y quieres probar que entonces el punto A no puede estar en ambas. Para probar eso decides incluirlo en ambas sabiendo que A, B y C son distintos entre sí y llegar a contradicción.

Que un punto cumpla la ecuación de distancia de una circunferencia, de por sí sólo, no está en guerra con que cumpla también la ecuación de la distancia de la otra circunferencia. De hecho lo tienes por hipótesis: A, B y C están en \( R_{1} \), pero además B y C están en \( R_{2} \). Es más, no has dado paso de por medio ni usado la hipótesis de que los puntos B y C están en ambas (lo has escrito, pero no lo has usado); es decir, no has probado nada (has anexionado hipótesis sucesivamente).


Desde que supones A en \( R_{2} \) lo que deberías buscar es probar contradicciones del tipo que \( d(A, R_{2}) \neq r_{2} \) o que \( A = B \ \ o \ \ A = C \) usando las distancias que conoces y las propiedades de las distancias. Usa un dibujo para ayudarte a ver lo que buscas y lo que debes tener en cuenta.

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Hola y bienvenida.



A ver, la multiplicación como repetición es muy intuitiva si uno de los factores es entero. Pero el producto de dos números \( \alpha, \beta \in (0, 1) \) es precisamente más chico que ambos números, así que el término "repetir" simplemente no le hace justicia.


¿Visualmente?

Opción #1:
Haces una primera partición del recinto en función de uno de los factores (vamos a decir en 5 quintas partes, por ejemplo) y después cada región la sub-divides en función del factor restante (es decir, cada quinta parte la divides en 6 sextas partes). Así justificas el denominador.
El numerador si lo puedes justificar como repetición por sumas (al fin y al cabo estás con fracciones de naturales).


Opción #2:
Siendo los denominadores \( D_{1} \) y \( D_{2} \), simplemente te construyes un cuadrado de \( D_{1} \times D_{2} \), te evitas hacer subdivisiones y el numerador se vuelve a justificar por repetición de sumas.

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Teoría de números / Re: ejercicio mínimo máximo divisibilidad
« en: 16 Diciembre, 2015, 06:36 pm »
Es que hoy estoy un poco "on fire"  ;D   

Aunque se me coló absolutamente el punto que has señalado, robinlambada. Y verdaderamente me ha parecido un desarrollo muy bueno por tu parte del ejercicio, lindeloff. Todo muy bien hilado y argumentado, la verdad.


PD: Si alguien del nivel de robinlambada te dice "apláudete", hazlo. Es un buen halago.

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Cálculo 1 variable / Re: Demostración de función derivable
« en: 16 Diciembre, 2015, 06:26 pm »
La idea la tengo en mente... No la he desarrollado por escrito, pero creo que está bien.

\( g(x), f(x) \) comparten los ceros, ambas son no negativas y además tienes demostrado del apartado anterior que \( g(x) \) es decreciente. Es decir, si \( \exists a \in \mathbb{R} \colon \ g(a) = 0 \ \longrightarrow \ g(x) = 0, \ \forall x \geq a \).

Eso ya implica que si \( \exists a \in \mathbb{R} \colon \ f(a) = 0 \ \longrightarrow \ f(x) = 0, \ \forall x \geq a \).

Además, tienes por hipótesis que \( f(x) \) es no negativa y que es monótona creciente; por tanto,
\( 0 \leq f(x) \leq f(a), \ \forall x < a \ \longrightarrow f(x) = 0, \forall x \in \mathbb{R} \)

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Teoría de números / Re: ejercicio mínimo máximo divisibilidad
« en: 16 Diciembre, 2015, 05:56 pm »
Ahora me pregunto ¿hay alguna forma de hacerlo usando el dato que \( b \) es impar?
y otra consulta: no lo encontré en los libros pero lo saqué de la propia definición ¿el máximo común divisor siempre divide al mínimo común múltiplo?

gracias


Pues la verdad es que no le veo mucha ventaja a que \( b \) sea impar... Conociendo el m.c.m. y viendo que es impar ya tenías de antemano que a, b y el m.c.d son impares. Lo suyo sería que eso sirviera para discernir casos, pero es que tampoco ha servido para eso.

Igualmente veo bien el procedimiento.

EDITO:
Lo podrías haber usado cuando usabas que \( mcd(a, b) = mcd(14, b) \in \{1, 2, 7, 14\} \) ya que si b fuera par lo sería también el mcd (eso junto con la hipótesis de no ser a y b primos relativos deja a 7 como única opción). Pero es un dato evitable...




En cuanto a la consulta, también es correcto: el m.c.d. siempre divide al m.c.m. (basta con pensar en las construcciones de "los factores comunes al menor exponente" y "los factores comunes y no comunes al mayor de los exponentes")

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Dudas y sugerencias del foro / Re: Agradecimientos
« en: 14 Diciembre, 2015, 09:41 pm »
También ocurre que ahora llegan las notificaciones de los hilos por correo, cosa que antes no ocurría a pesar de tener la misma configuración.


De verdad, pedazo arreglo estáis haciendo.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Duda en matriz
« en: 14 Diciembre, 2015, 08:51 pm »
Cuando la ecuación es relativamente sencilla de computar, se comprueba que lo obtenido es solución por evitar fallos como ese. Si haces el producto con la supuesta solución \( X \) podrás comprobar que no es una solución correcta.


De hecho, para que te evites el cálculo, te lo dejo ya en WolframAlpha calculado.

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Probabilidad / Re: Ejercicio sobre bidimensional
« en: 14 Diciembre, 2015, 06:35 pm »
A pesar de que hice las cuentas a mano, metí la gamba absurdamente...

\( f_{Y}(y) = \int_{\mathbb{R}} f_{X,Y}(x,y) dx = \int_{0}^{y} e^{-y}dx = y e^{-y} \)

Así ya sí sale función de densidad y con esperanza definida y coincide con la de el_manco. Disculpa, energy, si hubiera ido menos embalado estaría todo resuelto desde ayer.

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Probabilidad / Re: Ejercicio sobre bidimensional
« en: 14 Diciembre, 2015, 06:21 pm »
Me alegra que lo comentes, porque debo recordar algo muy fatalmente y quiero corregirme.

1-. ¿\( \exists E[X+Y] \Longleftrightarrow \exists E[X], \ \exists E[Y] \)?
2-. ¿\( E[Y] \) la has calculado por linealidad? Porque con la marginal de \( Y \) no sale...

\( f_{Y}(y) = 1 - e^{-y}, \ \forall y > 0 \)

\( \displaystyle E[Y] = \int_{0}^{+\infty} y*(1 - e^{-y}) dy = \cancelto{+\infty}{\int_{\mathbb{R}^{+}} y dy} + \int_{\mathbb{R}^{+}} -e^{-y} dy \)

EDITO: Antes pregunto antes lo veo. La \( f_{Y} \) esa no es función de densidad... No integra uno en el dominio.

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Dudas y sugerencias del foro / Agradecimientos
« en: 14 Diciembre, 2015, 05:33 pm »
No sé si es algo intencionado o algo casual debido a otros arreglos, pero en Chrome parece que ya se puede previsualizar mensajes perfectamente. Y por pequeñez que parezca, estoy realmente contento por ello.


Ni que decir tiene que además encantado por la mayor estabilidad que está presentando el foro y la resurrección del Latex (mala racha tuvo el foro juntándose ambas cosas). Puede parecer absurdo que sea yo quien lo comente cuando no soy ni veterano ni el más activo, pero lo agradezco porque siempre me paso por el foro a leer los posts aunque no siempre participe (hay muchos temas que aún no conozco y otras veces el tema simplemente está resuelto) y simplemente me ha hecho ilusión.


Como no sé exactamente quién o quiénes son dichos encargados, no pongo nombres; pero tenéis mis sinceros triples agradecimientos.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Duda en matriz
« en: 14 Diciembre, 2015, 03:50 pm »
Hola, emendoza.

No lo entiendes porque está mal.  La matriz identidad (suponiendo que los órdenes de todas las matrices concuerdan y tal) no es el neutro de la suma de matrices, así que no debería desaparecer.

El procedimiento sería:
\( A\cdot X - B = I \ \longrightarrow \ X = A^{-1}\cdot \big( I + B \big) \ \longrightarrow \ X = A^{-1} + A^{-1}\cdot B \)

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Probabilidad / Re: Ejercicio sobre bidimensional
« en: 13 Diciembre, 2015, 09:41 pm »
Touché.

Las cuentas están bien, así que debe ser que recuerdo las implicaciones mal:
si existen \( E[X] \ y \ E[Y] \) entonces \( \exists E[X+Y] = E[X] + E[Y] \) (aun si no son independientes)
y lo que yo puse está mal (la existencia de la suma no obliga la existencia de las individuales).


\( E[X+Y] = \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{y} (x+y) e^{-y} dx dy = 3 \)



A ver si ahora está todo bien.

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Probabilidad / Re: Ejercicio sobre bidimensional
« en: 13 Diciembre, 2015, 08:37 pm »
A ver, recapitulo brevemente para confirmar resultados.


1-. La esperanza no tiene que existir siempre.

2-. La esperanza de la suma de dos variables aleatorias, de existir, coincide con la suma de las esperanzas para las correspondientes variables (aun si no son independientes).

Si \( \exists E[X+Y] \longrightarrow  E[X+Y] = E[X]+E[Y] \)


Corrección:
2-. Si \( \exists E[X], \exists E[Y] \ \Longrightarrow \exists E[X+Y] = E[X] + E[Y] \)


3-. Si dos variables aleatorias son independientes y existen sus esperanzas, la esperanza del producto coincide con el producto de las esperanzas.

4-. Dado un vector \( (X, Y) \) y su correspondiente densidad, se verifica que

\( E[X] = \int_{\mathbb{R}} x f_{X}(x) dx \)

\( E[h(X, Y)] = \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} h(x, y) f_{X, Y}(x, y) dy dx \)

donde \( h \) es una transformación medible.


Con ello en mente, los cálculos que me salen son:
\( \circ X, Y \text{ no son independientes.} \\
\circ X, Z \text{ sí son independientes.} \\
\circ \not\exists E[X+Y] \\
\circ E[X+Z] = 2 \\
\circ E[XZ] = 1 \\
\circ \not\exists E[XY]  \)

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Probabilidad / Re: Ejercicio sobre bidimensional
« en: 13 Diciembre, 2015, 07:53 pm »
gracias ahora voy a intentarlo, aunque siempre que me digan \( E[XZ] \) por ejemplo se refieren a la densidad de X y Z no?

Si tu duda va referida a si es la del producto o la conjunta, es la del producto. Para la del vector se refiere a ella por \( E\big[(X, Z)\big] \) o por \( E[V] \) si se nota por \( V \equiv (X, Z) \)
Spoiler
Me imagino que lo sabes, pero por si acaso, lo comento. La esperanza de un vector existe cuando existe la esperanza marginal de cada componente y se calcula como tal (como el vector de las esperanzas); es decir,
\( E\big[(X, Z)\big] = \big(E[X], E[Z]\big) \)
[cerrar]


Como te ha dicho el_manco. Puedes usar la linealidad para la suma, la independencia para el producto, o hacer el cálculo directamente.

Aún así, creo que voy a pararme a rehacer todos los cálculos para seguir bien el hilo, porque con solo mirarlos me pierdo. Editaré o postearé cuando avance; aunque estás en grandes manos con el_manco.

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De oposición y olimpíadas / Re: Real Solution of exp. equation
« en: 13 Diciembre, 2015, 01:00 pm »
It should be "the real solutions", isn't?

I don't think there's a direct method but approximation.

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Probabilidad / Re: Ejercicio sobre bidimensional
« en: 13 Diciembre, 2015, 12:47 pm »
A ver si no me equivoco, pero la densidad conjunta del cambio debería ser
\( f_{(X, Z)}(x, z) = f_{(X, Y)}(x, x+z) = e^{-(x+z)}, \ \ \forall x, z > 0 \)
la cual ya si es una función de densidad (el jacobiano no lo incluyo porque lo calculaste bien y es neutro).

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Deberías plantear lo que has hecho, porque he hecho el primero y me ha salido la solución propuesta.

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Álgebra / Re: Ejercicio de álgebra 1a
« en: 11 Diciembre, 2015, 08:27 pm »
\( \displaystyle \frac { 3 + 2a }{2m - n }\cdot\frac {m}{9 - 4a^2}\cdot\frac {4m^2 - 4mn + n^2}{nx} = \frac { m( 2m \textcolor{red}{-} n)}{(3 - 2a).nx} \).

Es el único error. Las factorizaciones y simplificaciones están bien.

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