[minette]

Hola Luis

Entiendo tu pregunta y estoy de acuerdo con ella.

Saludos.

[minette]

Hola

Siendo \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) y \( n \)  el mayor valor que cumple esta desigualdad con signo\(  > \). Entonces, si la conjetura de Fermat es cierta, se llega a \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)  ; y así sucesivamente, con \( (n+2) \)   y etc.

Si la conjetura no es cierta se llega a \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  y, a partir de aquí, \( a^{n+1}+b^{n+1}<c^{n-1} \) , y así sucesivamente con \( (n+2) \)  y etc.

La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  la podemos presentar así:

\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n} \)  (1)

Estamos ante una ecuación diofántica. Y siendo \( a^{n-1} \), \(  b^{n-1} \)  primos entre sí, su \( m.c.d  \) es 1. Esta ecuación tiene infinitas soluciones pues \( 1\mid c^{n} \) . Por la identidad de Bèzout: \( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \) . Siendo \(  b>a\rightarrow x_{0}>y_{0} \)  (valores absolutos). Entonces uno de ellos ha de ser positivo y el otro negativo para que se cumpla Bèzout.

\( \frac{x_{0}=negativo; y_{0}=positivo}{a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n}} \)
 

Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtiene así:

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1}=b\rightarrow K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Conviene recordar la exigencia de que cada valor de \( K \)  ha de ser el mismo en las dos fórmulas anteriores; y, además entero en el caso presente.
\( a^{n}=a^{n-1}\centerdot a \)  ;\(  b^{n}=b^{n-1}\centerdot b \)  sustituyendo \( a,b \)  por las igualdades antes citadas se llega a

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)
 

Siendo el paréntesis \( =1 \)  ; si la conjetura de Fermat es cierta, los valores de \( K \)  han de ser distintos.

Antes de seguir espero vuestra conformidad de que sólo opero con ENTEROS positivos .

Las ecuaciones diofánticas sólo admiten enteros positivos, y el \( m.c.d \)  sólo se puede obtener de enteros positivos.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Siendo \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) y \( n \)  el mayor valor que cumple esta desigualdad con signo\(  > \). Entonces, si la conjetura de Fermat es cierta, se llega a \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)  ; y así sucesivamente, con \( (n+2) \)   y etc.

Si la conjetura no es cierta se llega a \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  y, a partir de aquí, \( a^{n+1}+b^{n+1}<c^{n-1} \) , y así sucesivamente con \( (n+2) \)  y etc.

La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  la podemos presentar así:

\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n} \)  (1)

Estamos ante una ecuación diofántica. Y siendo \( a^{n-1} \), \(  b^{n-1} \)  primos entre sí, su \( m.c.d  \) es 1. Esta ecuación tiene infinitas soluciones pues \( 1\mid c^{n} \) . Por la identidad de Bèzout: \( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \) . Siendo \(  b>a\rightarrow x_{0}>y_{0} \)  (valores absolutos). Entonces uno de ellos ha de ser positivo y el otro negativo para que se cumpla Bèzout.

\( \frac{x_{0}=negativo; y_{0}=positivo}{a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n}} \)
 

Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtiene así:

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1}=b\rightarrow K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Conviene recordar la exigencia de que cada valor de \( K \)  ha de ser el mismo en las dos fórmulas anteriores; y, además entero en el caso presente.
\( a^{n}=a^{n-1}\centerdot a \)  ;\(  b^{n}=b^{n-1}\centerdot b \)  sustituyendo \( a,b \)  por las igualdades antes citadas se llega a

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)
 

Siendo el paréntesis \( =1 \)  ; si la conjetura de Fermat es cierta, los valores de \( K \)  han de ser distintos.

Hasta ahí correcto. Pero a esa idea ya le había dado vueltas y más vueltas hace tiempo sin llegar a nada.

Antes de seguir espero vuestra conformidad de que sólo opero con ENTEROS positivos .

Eso no dice nada. Son variables. Todas las cuentas que has hecho son válidas para enteros y serían igualmente válidas para reales en general.

Las ecuaciones diofánticas sólo admiten enteros positivos,

Son diofánticas si las consideras como tales; las mismas ecuaciones pueden ser consideradas como ecuaciones con números reales en general.

y el \( m.c.d \)  sólo se puede obtener de enteros positivos.

En realidad se podría hablar de m.c.d de reales igualmente; lo que pasa que todo par de reales sería coprimo, en cuanto que en un cuerpo no hay divisores que no sean unidades. Esto es una cuestión técnica.

El fondo del asunto es que todo lo que has esbozado ahí está bien; pero de momento en ningún sitio se ha usado de manera decisiva el carácter entero de los números. Es decir es igualmente cierto para números reales.

Eso no quiere decir que esté mal; ni que a a partir de ahí se no se pueda llegar a una demostración correcta del Teorema de Fermat. En algún momento habría que usar de manera decisiva el carácter entero de las variables.

En cualquier caso no hay ningún indicio de que esas cuentas que has hecho dejen más cerca de una demostración correcta de tal Teorema, de lo que se estaba antes. Como te he dicho además ya les diste vueltas y más vueltas sin éxito.

Saludos.

[minette]

Hola Luis

De tu autoría:

Dada la ecuación: \( ax+by=c \)

con \( a,b,c \) enteros se trata de calcular todos los pares de enteros \( (x,y) \) que verifican la ecuación.

TEOREMA:

La ecuación \( ax+by=c \) anterior tiene solución si y sólo si \( m.c.d. \) \( (a,b) \) divide \( a \) \( c \).

1) Calcular números enteros \(  x\prime,y\prime \) tales que \( ax\prime+by\prime =m.c.d (a,b) \). Para ello podemos usar el algorítmo extendido de euclides que nos da al mismo tiempo el \( mc.d (a,b) \) y los números \( x\prime, y\prime \).

2) Si \( c \) no es múltiplo de \( m.c.d (a,b) \) no tien solución.

Etcétera

Creo, Luis, que todas las observaciones que me dedicas en tu anterior respuesta, cabría que las aplicases a las palabras tuyas antes citadas.

Saludos.
 

[Carlos Ivorra]

Creo, Luis, que todas las observaciones que me dedicas en tu anterior respuesta, cabría que las aplicases a las palabras tuyas antes citadas.

Hay que reconocer que aquí has estado muy aguda (o agudo, que esto es un poco misterioso). Se podría argumentar en general, pero creo que se verá más claro si consideramos un ejemplo concreto:

Vamos a probar que la ecuación \( 6x+15y=23 \) no tiene soluciones enteras.

Para ello, aprovechamos que \( mcd(6, 15)= 3 \) para escribir la ecuación como \( 3(2x+5y)=23 \).

Ahora suponemos que la ecuación tiene una solución entera \( (x, y) \). Afirmo igual que afirmas tú siempre, que \( x \) e \( y \) son dos números enteros —lo recalco como lo recalcas tú— que cumplen la ecuación.

Pero Luis te dice —con razón— que no basta con afirmarlo y recalcarlo, sino que para que tu argumento pueda estar bien es necesario que eso que afirmas y recalcas lo uses en algún paso de forma decisiva, es decir, de modo que si no fuera cierto que son números enteros, lo que afirmas sería falso.

Pues bien, ese paso decisivo que te pide Luis, en este caso es éste:

***Paso en el que es decisivo que \( x \) e \( y \) son eneros***

Como \( x \) e \( y \) son enteros, también es entero \( m = 2x+5y \).

En este paso es decisiva la hipótesis de que son enteros porque si \( x \) e \( y \) no fueran enteros, ya no podría asegurar que \( m \) lo es. Y esto es a su vez decisivo en el paso siguiente, que consiste en observar que hemos llegado a que \( 3m=23 \), con \( m \) entero.

Esto significa que \( 3 \) es un divisor de \( 23 \), lo cual es imposible, porque \( 23 \) es primo y no tiene más divisores que \( \pm 1 \) y \( \pm 23 \).

Si \( x \) e \( y \) no fueran enteros, podría ocurrir que \( m = 23/3 \) y no habría contradicción en que \( 3m=23 \).

Ves así que este argumento funciona si \( x \) e \( y \) son enteros, pero también que no funciona necesariamente si no lo son.

De no ser así, si el argumento funcionara también inevitablemente aunque \( x \) e \( y \) fueran números reales arbitrarios, habríamos demostrado que la ecuación \( 6x+15y=23 \) no tiene soluciones reales, lo cual es falso, luego el argumento tendría que estar mal.

Ésa es la diferencia entre un argumento como éste y uno de tus argumentos:

Este argumento prueba que una propiedad es cierta para números enteros (la no existencia de solución de la ecuación) aunque es falsa para números reales y, en consonancia, usa decisivamente en un paso que la presunta solución es entera. El argumento vale si la presunta solución es entera y no vale si no es entera.

En (muchos de) tus argumentos, pretendes probar que una propiedad es cierta para números enteros, aunque es falsa para números reales, pero todos tus pasos (si estuvieran bien) valdrían tanto si la presunta solución es entera como si no (aunque insistas y recalques que sólo consideras el caso entero, no está en tu mano evitar que también valgan en el caso general de que la solución la formaran números reales cualesquiera), luego la conclusión es que si tu argumento estuviera bien, habrías probado la no existencia de soluciones enteras y también la no existencia de soluciones reales. Como lo segundo es falso, la conclusión es que tu argumento tiene que estar mal, sin necesidad de preocuparse por ver dónde falla. Se sabe que tiene que estar mal a priori.

[feriva]

Hola, minette; ha llegado Carlos antes que yo; lo dejo en spoiler porque ya lo tengo escrito, así tienes otro ejemplo.

Spoiler

Eso quiere decir que si, por ejemplo, en la ecuación

\( ax+by=c
  \)

tuviéramos \( x=6;y=8;c=25
  \)

la ecuación no tendría solución en cuanto a que no encontraríamos números a,b ambos enteros.

Lo cual es muy sencillo de analizar:

\( 6a+8b=25\Rightarrow
  \)

\( 2(3a+4b)=25\Rightarrow
  \)

\( (3a+4b)=\dfrac{25}{2}\Rightarrow
  \)

\( (3a+4b)=12,5
  \).

Luego \( (3a+4b)
  \) no es entero y la culpa tiene que ser de “a” ó de “b” o de los dos.

Pero si tendrían algunas soluciones no enteras.

La cuestión es que trabajas con fórmulas generales, así \( ax+by=c
  \) o con potencias, donde las letras pueden ser cualquier número, no 6,8,25 en particular. De hecho, basta cambiar el 25 por cualquiera de los infinitos pares y ya tiene soluciones por todas partes.

Así que, si yo digo que esto no tiene solución \( ax+by=c
  \), no es verdad, pero si digo que sí la tiene, tampoco es verdad; salvo que diga más cosas. Si digo que “c” es divisible por mcd(a,b) sí tiene, si digo que no, no tiene, pero pueden pasar las dos cosas.

Entonces, cuando afirmas algo con esa ecuación o la que sea, si defiendes que pasa una de las dos cosas, tienes que explicar por qué pasa, no basta con elegir lo que quieres que ocurra por el hecho de que sepas de antemano lo que ocurre (y lo sabes porque te lo dijo Wiles, como a todos nosotros ).

[cerrar]

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

De tu autoría:

Dada la ecuación: \( ax+by=c \)

con \( a,b,c \) enteros se trata de calcular todos los pares de enteros \( (x,y) \) que verifican la ecuación.

TEOREMA:

La ecuación \( ax+by=c \) anterior tiene solución si y sólo si \( m.c.d. \) \( (a,b) \) divide \( a \) \( c \).

1) Calcular números enteros \(  x\prime,y\prime \) tales que \( ax\prime+by\prime =m.c.d (a,b) \). Para ello podemos usar el algorítmo extendido de euclides que nos da al mismo tiempo el \( mc.d (a,b) \) y los números \( x\prime, y\prime \).

2) Si \( c \) no es múltiplo de \( m.c.d (a,b) \) no tien solución.

Etcétera

Creo, Luis, que todas las observaciones que me dedicas en tu anterior respuesta, cabría que las aplicases a las palabras tuyas antes citadas.

¿Exactamente qué observaciones? Sinceramente no sé que me quieres decir con eso. No hay nada contradictorio entre lo que dije en mi anterior respuesta y ese resultado que presento. Por ejemplo una observación que te hice es:

Hasta ahí correcto.

 Y ciertamente, el resultado que has citado ahí redactado por mi (no es mío, es un resultado conocido), es correcto.

También te dije:

Son diofánticas si las consideras como tales; las mismas ecuaciones pueden ser consideradas como ecuaciones con números reales en general.

 Lo cuál es cierto en el caso que citas. La ecuación \( ax+by=c \) puede considerarse igualmente para números reales.

También escribí:

En realidad se podría hablar de m.c.d de reales igualmente; lo que pasa que todo par de reales sería coprimo, en cuanto que en un cuerpo no hay divisores que no sean unidades. Esto es una cuestión técnica.

 Y efectivamente teniendo en cuenta que para cualquier par de reales \( a,b \) no nulos con esa m.c.d al que me refiero se tiene que \( mcd(a,b)=1 \) (de hecho cualquier unidad, cualquier real).

 Entonces el resultado sigue siendo cierto para los reales:

Dada la ecuación: \( ax+by=c \)

con \( a,b,c \) enteros reales, se trata de calcular todos los pares de enteros reales \( (x,y) \) que verifican la ecuación.

TEOREMA:

La ecuación \( ax+by=c \) anterior tiene solución si y sólo si \( m.c.d. \) \( (a,b) \) divide \( a \) \( c \).

1) Calcular números enteros reales \(  x\prime,y\prime \) tales que \( ax\prime+by\prime =m.c.d (a,b) \). Para ello podemos usar el algorítmo extendido de euclides que nos da al mismo tiempo el \( mc.d (a,b) \) y los números \( x\prime, y\prime \).

2) Si \( c \) no es múltiplo de \( m.c.d (a,b) \) no tien solución.

Que pasa, que en el caso de los reales el teorema es una trivialidad poco útil. ¡Siempre se cumple que \( mcd(a,b)=1 \)! De hecho la ecuación \( ax+by=c \)... ¡siempre tiene solución en los reales (excepto si \( a=b=0 \)).

También es cierto como en el caso entero que si se tiene una solución particular \( (x_0,y_0) \) verificando \( ax_0+by_0=1 \) entonces la solución general de la ecuación original se obtiene como:

\( x=cx_0+kb \)
\( y=cy_0-ka \)

para un \( k \) real.

Por eso digo que todo lo que hacias en tu mensaje ahí está bien; pero igualmente se podría hacer con número reales. No has usado nada, que adaptado al caso real, no siga siendo cierto.

Si recuerdas en los ejemplos que te comenté hace tiempo:

Tendría mucho interés que un historiador de Matemáticas, y más concretamente, de la Conjetura de Fermat, evidenciase en qué momento de la demostración de Pierre de Fermat para \( n=4 \), queda patente que se refiere SÓLO a enteros positivos.

Es muy sencillo. La demostración de Pierre de Fermat se basa en el "descenso infinito" y éste esencialmente en que no existe una sucesión estrictamente decreciente infinita de números enteros positivos; pero sin embargo SI existe una sucesión estrictamente decreciente infinita de números reales positivos. Luego ahí y de manera troncal y decisiva se usa el carácter entero de las variables.

Que no existe una sucesión estrictamente decreciente infinita de números enteros positivos es algo que es radicalmente falso para números reales, donde si existe tal solución. Y no hay manera de adaptar una cosa a la otra.

Saludos.

P.D. En el caso de los reales lo más sencillo para resolver \( ax+by=c \) con, por ejemplo, \( a\neq 0 \) es simplemente despejar:

\( x=\dfrac{c-by}{a},\qquad y\in \Bbb R \) es el conjunto de soluciones

Pero insisto, también puede hacerse copiando la técnica vista para la ecuación análoga diofántica.

[minette]

Hola Luis

Lo que quiero decirte es si sería conveniente que, en el hilo Ecuación diofántica lineal: \( ax+by=c \) , iniciado por tí, expusieras el caso para números reales. Aunque no lo he visto en ningún libro de matemáticas.

Gracias y saludos.

[minette]

Hola

Gracias Carlos Ivorra. Gracias feriva.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que quiero decirte es si sería conveniente que, en el hilo Ecuación diofántica lineal: \( ax+by=c \) , iniciado por tí, expusieras el caso para números reales. Aunque no lo he visto en ningún libro de matemáticas.

Pues no, no sería conveniente. Como te he dicho en mi anterior respuesta:

Que pasa, que en el caso de los reales el teorema es una trivialidad poco útil

En el caso real la ecuación \( ax+by=c \) es muy sencilla y lo más fácil es resolverla así:

P.D. En el caso de los reales lo más sencillo para resolver \( ax+by=c \) con, por ejemplo, \( a\neq 0 \) es simplemente despejar:

\( x=\dfrac{c-by}{a},\qquad y\in \Bbb R \) es el conjunto de soluciones

 Sería una complicación absurda e innecesaria aplicar el método para el caso de que se busquen soluciones enteras, a la búsqueda de soluciones reales.

Saludos.