Tendría mucho interés que un historiador de Matemáticas, y más concretamente, de la Conjetura de Fermat, evidenciase en qué momento de la demostración de Pierre de Fermat para \( n=4 \), queda patente que se refiere SÓLO a enteros positivos.
Minette, puede que haya estado liándoteTiene razón Luis, yo no estaba entendiendo del todo a qué se refería cuando te decía lo de usar los enteros.
Si yo digo “si éste fuera par, entonces éste sería impar”, y cosas de ese estilo, pues podría pasar eso; pero antes tengo que saber si existen dichos enteros. Es decir, una vez que sé que existen, ya con eso podría demostrar ciertas caracterísitcas suyas sobre divisibilidad y demás. Pero si no sé con seguridad si son enteros, no paso de suposiciones.
Ese tipo de hipótesis sí que son necesarias en los preliminares de la prueba, sirven para llegar a tener un material, unas expresiones con las que trabajar al final usando ya un argumento “estocada”, haciendo un uso decisivo de los aspectos que diferencian a los reales no enteros de los enteros.
Fíjate, por ejemplo, en este otro tipo de argumento; sean \( a<b
\) números reales positivos. La desigualdad nos dice que son distintos y que “b” es mayor, por tanto, de momento \( b-a>0
\). Ahora, si además ocurriera \( b-a<1
\), podríamos afirmar que alguno de ellos no es entero.
Aquí no se habla de las características de algunos subconjuntos de los enteros, como los impares o los pares, se habla de algo general que sirve para todos los enteros positivos. Es un tipo de argumento diferente: no podremos nunca demostrar que una letra es un par o un impar, es sólo una letra y también podría ser un real no entero. Pero en ese otro caso, en cambio, se empieza diciendo, “sean \( a<b
\) números reales positivos”, con lo que tenemos la seguridad de que existen de antemano al decir “reales”, en general.
Claro, cuando se dice “si éste fuera par...” se está usando el condiconal “si...” porque existe la posibilidad de que no sea entero, pero si dices “éstos son dos reales positivos distintos, uno mayor que otro”, sí que existen, no necesitamos demostrarlo previamente (en el tipo de problema que tratas).
Sería mejor que lo formularas (aunque fuera por dentro, en tu cabeza) así: “Sean (a,b,c) reales. Si fueran enteros...” Y a partir de ahí deducirías los preliminares; para pasar después a la estocada y descartar (si pudieras) que puedan ser enteros.
Spoiler
Esto son consideraciones preliminares, no argumentos decisivos
El caso n=4 cuenta al principio con las ternas pitagóricas, donde
\( a^{2}+b^{2}=c^{2}
\)
\( a=2nm
\)
\( b=n^{2}-m^{2}
\)
\( c=m^{2}+n^{2}
\)
A estas igualdades se llega haciendo razonamientos suponiendo cosas sobre pares, impares, coprimos...
Te digo sólo cómo se empieza (ya te lo puse entero y debió de aburrirte).
...
Supongamos que existen enteros “a,b,c” coprimos y siendo “b,c” impares
Ser impar supone no ser divisible entre 2, ésta es una propiedad de algunos enteros; propiedad que sólo se ha mencionado, todavía no se ha usado.
Es evidente que si fueran los tres pares, en ese caso, no serían coprimos, pues al menos compartirían el factor 2 todos ellos. Por tanto, es bastante fácil deducir que dos de ellos tendrán que ser impares y uno par en caso de que existan esos enteros. Al hacer esta deducción se usa, aunque de forma muy simple, que se ha supuesto que son coprimos, pues, si no, no se podría haber hecho la hipótesis de que los tres no pueden ser pares.
Despejando:
\( a^{2}=c^{2}-b^{2}=(c+b)(c-b)
\)
(aquí no se usa nada especial para enteros; es simplemente escribir la famosa igualdad notable).
...
Dado que “b” y “c” son impares, tenemos que \( (c+b)
\) y \( (c-b)
\) son pares.
Aquí sí se usa el hecho de que sean impares para deducir que, entonces, \( c+b \) es par y \( c-b \) es par; ya que, los pares son de la forma “par más uno”, \( 2n+1
\), con lo que al sumar dos de ellos tendrmos un número de la forma
\( (2x+1)+(2y+1)=2x+2y+2=2\cdot(x+y+1)
\), que evidentemente siempre es par; ya ves el factor 2.
Y análogamente para la resta también es par.
La igualdad anterior, \( a^{2}=c^{2}-b^{2}=(c+b)(c-b)
\), nos va a ser útil aunque sirva para todos los reales, pero esto es así porque añadimos lo dicho sobre los impares y, con más cosas que vienen después, vamos deduciendo poco a poco cómo tendrían que ser esos números en el caso de que verdaderamente fueran enteros.
Y, así, se siguen haciendo los razonamientos que hagan falta hasta estar seguros de que existen dichos enteros (o no existen, según el problema).
Saludos.
