Fíjate en esto minette
Si tomo la famosa terna pitagórica (3,4,5) que da la igualdad
\( 3^{2}+4^{2}=5^{2}
\)
y le sumo a cada elemento de la terna un mismo irracional más o menos pequeño, como \( \sqrt{\dfrac{1}{2}}
\)
\( (3+\sqrt{\dfrac{1}{2}})^{2}+(4+\sqrt{\dfrac{1}{2}})^{2}\neq(5+\sqrt{\dfrac{1}{2}})^{2}
\)
La igualdad ya no se cumple.
Sin embargo, sí que existe algún irracional para el lado izquierdo de la igualdad
\( (3+\sqrt{\dfrac{1}{2}})^{2}+(4+\sqrt{\dfrac{1}{2}})^{2}=(5+\sqrt{\dfrac{1}{x}})^{2}
\); donde \( x=1,0170...
\).
Se puede creer intuitivamente que el único valor (el mismo valor para sumar a los tres, 3,4,5) es cero; pero habrá que demostrarlo; desarrollar los cuadrados, despejar... ver qué se puede hacer:
\( (3+a)^{2}+(4+a)^{2}=(5+a)^{2}
\)
\( 2a^{2}+14a+25=a^{2}+10a+25
\)
\( a^{2}+4a=0
\)
Y no es verdad que sea el único, hay otra solución, a=-4; claro que eso nos lleva a un terna que va a cumplir trivialmente la igualdad y no vale para nada, pues restando cuatro es (-1,0,1).
Puedes plantearte entonces intentar atacar lo siguiente (razonar sobre ello, aunque no lo demuestres):
\( (x+a)^{3}+(y+a)^{3}=(z+a)^{3}
\) con x,y,z enteros y “a” algún número real distinto de cero que pueda existir.
¿Podría existir la terna \( [(x+a),(y+a),(z+a)]
\) que cumpliera la igualdad para n=3? (pongo 3 de momento, después puedes razonar con otras potencias o con “n” en general).
No sé, independientemente de adónde llegues, sobre el papel parece más interesante pensar en todos los reales que decir “no, sólo naturales, los otros fuera de mi cabeza”; por lo menos sales un poco de ahí donde estás metida.
Saludos.
