[minette]

Hola

Dada la expresión

\( 3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n} \)

Siendo \( b>a \) , parece que a primera vista el ? es >

es decir \( 3a^{2n}+2b^na^n>b^{2n} \)

pero no consigo demostrarlo con una demostración matemáticamente rigurosa.

¿Alguin me puede ayudar?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Dada la expresión

\( 3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n} \)

Siendo \( b>a \) , parece que a primera vista el ? es >

es decir \( 3a^{2n}+2b^na^n>b^{2n} \)

pero no consigo demostrarlo con una demostración matemáticamente rigurosa.

Es que no es cierto. Ya a vuelapluma si \( a=0 \) el primer término es más pequeño o si fijamos \( a \) y \( b \) es "muy grande".

De manera más precisa:

\( 3a^{2n}+2b^na^n-b^{2n}=(3a^n-b^n)(a^n+b^n) \)

Para que sea positivo tiene que cumplirse que \( 3a^n-b^n>0 \), es decir \( a^n>b^n/3 \).

Saludos.

[minette]

Hola Luis

En tu respuesta 521 no has tenido en cuenta que \( a \), \( b \) son términos de una terna viable que puede hacer posible \( a^n+b^n=c^n \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

En tu respuesta 521 no has tenido en cuenta que \( a \), \( b \) son términos de una terna viable que puede hacer posible \( a^n+b^n=c^n \).

No influye en nada.

Saludos.

[minette]

Hola

Dices que no influye en nada y citas que \( a=0 \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Dices que no influye en nada y citas que \( a=0 \).

Lo que puse después va más allá del caso \( a=0 \), que simplemente lo cite como el caso más obvio y trivial donde la desigualdad que indicas no era cierta. Por otra parte de hecho \( 0^n+b^n=b^n \) es una terna que cumple la ecuación. Pero olvida esto si quieres, y quédate con esto otro:

De manera más precisa:

\( 3a^{2n}+2b^na^n-b^{2n}=(3a^n-b^n)(a^n+b^n) \)

Para que sea positivo tiene que cumplirse que \( 3a^n-b^n>0 \), es decir \( a^n>b^n/3 \).

Saludos.

[minette]

Hola

\( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n}+4c^na^n \)

Veamos si \( 3a^{2n}+2b^na^n=b^{2n} \)

Despejando \( a^n \) llegamos \( a^n_1=-b^n \); \( a^n_2=\displaystyle\frac{b^n}{3} \)

Estos dos valores de \( a^n \) no pueden formar parte de una terna viable que pueda cumplir \( a^n+b^n=c^n \).

En consecuencia \( 3a^{2n}+2b^na^n\neq{b^{2n}} \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

\( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n}+4c^na^n \)

Veamos si \( 3a^{2n}+2b^na^n=b^{2n} \)

Despejando \( a^n \) llegamos \( a^n_1=-b^n \); \( a^n_2=\displaystyle\frac{b^n}{3} \)

Estos dos valores de \( a^n \) no pueden formar parte de una terna viable que pueda cumplir \( a^n+b^n=c^n \).

En consecuencia \( 3a^{2n}+2b^na^n\neq{b^{2n}} \)

Está bien, aunque el interés es mínimo. Simplemente se descarta que haya una ecuación, una igualdad, que relaciona \( a \) y \( b \) independientemente de \( c \). Es decir lo único que afirmar es que \( b^n \) no puede ser el triple de \( a^n \)... lo cuál ya era sabido.

Saludos.

[minette]

Hola

Gracias Luis por tu respuesta.

¿Se puede afirmar que \( 3a^{2n}+2b^na^n\neq{b^{2n}} \)

para tratar de demostrar \( a^n+b^n\neq{c^n} \)?

0 sea \( 3a^{2n}+2b^na^n\gtrless b^{2n} \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Se puede afirmar que \( 3a^{2n}+2b^na^n\neq{b^{2n}} \)

para tratar de demostrar \( a^n+b^n\neq{c^n} \)?

0 sea \( 3a^{2n}+2b^na^n\gtrless b^{2n} \).

Si. Ahora vaya por delante que la afirmación apenas ayuda nada a tratar de demostrar \( a^n+b^n\neq{c^n} \). Simplemente descarta un caso que obviamente no puede darse si uno considera coprimas las variables implicadas.

Saludos.