[minette]

Hola

\( (c-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
 

\( c^{2n}+4a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n}+a^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

Siendo \( c^{2n} \)  1º m. \( >(b^{2n}+a^{2n}) \)  2º m.

para que el ? pueda ser =

2º m. \(  4c^{n}a^{n}>(4a^{2n}+2b^{n}a^{n})  \) 1º m.

Si el signo \( > \) fuera\(  \leq  \) la igualdad es imposible

O sea

1º m \(  c^{2n}>(b^{2n}+a^{2n}) \)  2º m

1º m \( (4a^{2n}+2b^{n}a^{n})>4c^{n}a^{n} \)  2º m.

Sumando 1º m. \( > \)  2º m.

Vayamos al caso

2º m. \( 4c^{n}a^{n}>(4a^{2n}+2b^{n}a^{n}) \)  1º m.

Dividimos por \( 2a^{n}  \) :

\( 2c^{n}>2a^{n}+b^{n} \)
 

Si \( c^{n}=a^{n}+b^{n} \) :

\( 2a^{n}+2b^{n}>2a^{n}+b^{n}\rightarrow2b^{n}>b^{n}\rightarrow2>1 \)
 

Entonces ocurre que la proporción entre

2º m. \( 4c^{n}a^{n} \)  y \( (4a^{2n}+2b^{n}a^{n}) \)  1 º m.

es 2 x 1 que es mucho mayor a la que existe entre \( c^{2n} \)  1º m y \( (b^{2n}+a^{2n})  \) 2º m.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

\( (c-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
 

\( c^{2n}+4a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n}+a^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

Siendo \( c^{2n} \)  1º m. \( >(b^{2n}+a^{2n}) \)  2º m.

para que el ? pueda ser =

2º m. \(  4c^{n}a^{n}>(4a^{2n}+2b^{n}a^{n})  \) 1º m.

Si el signo \( > \) fuera\(  \leq  \) la igualdad es imposible

O sea

1º m \(  c^{2n}>(b^{2n}+a^{2n}) \)  2º m

1º m \( (4a^{2n}+2b^{n}a^{n})>4c^{n}a^{n} \)  2º m.

Sumando 1º m. \( > \)  2º m.

Vayamos al caso

2º m. \( 4c^{n}a^{n}>(4a^{2n}+2b^{n}a^{n}) \)  1º m.

Dividimos por \( 2a^{n}  \) :

\( 2c^{n}>2a^{n}+b^{n} \)
 

Si \( c^{n}=a^{n}+b^{n} \) :

\( 2a^{n}+2b^{n}>2a^{n}+b^{n}\rightarrow2b^{n}>b^{n}\rightarrow2>1 \)
 

Entonces ocurre que la proporción entre

2º m. \( 4c^{n}a^{n} \)  y \( (4a^{2n}+2b^{n}a^{n}) \)  1 º m.

es 2 x 1 que es mucho mayor a la que existe entre \( c^{2n} \)  1º m y \( (b^{2n}+a^{2n})  \) 2º m.

No llegas a nada con eso:

\( 12396>12300 \)
\( 4<100 \)

Es mucho mayor la proporción \( 100:4 \) que \( 12396:12300 \) y eso no impide que:

\( 12396+4=12300+100 \)

Y en fin.. por razones ya comentadas, es imposible que ese tipo de argumentos lleve a nada útil.

Saludos.

[minette]

Hola

No estoy segura de si el ejemplo que pones se adecua al tema que nos ocupa.
Creo que debes utilizar naturales que formen parte de una terna viable. Por ejemplo

\( (a=5,  b=7,  c=8) \) con \( n=3 \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

No estoy segura de si el ejemplo que pones se adecua al tema que nos ocupa.
Creo que debes utilizar naturales que formen parte de una terna viable. Por ejemplo

\( (a=5,  b=7,  c=8) \) con \( n=3 \).

¿A qué le llamas exactamente terna viable? Lo que está claro es que ninguna terna va a cumplir \( c^3=a^3+b^3 \).

Por lo demás lo que muestra mi ejemplo es que esa diferencia de proporcionalidad por si misma no es contradictoria, no dice nada, es perfectamente posible.

Saludos.

[minette]

Hola

Terna viable.- Es aquella que podría dar lugar a \( a^n+b^n = c^n \). Una terna viable cumple \( a+b>c \) , cuando \( c>b>a \).

Demostración.- Si \( a+b=c \) entonces \( a^2 +b^2 < c^2 \) y, en general \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{2} \).

Si \( a+b<c \) entonces \( a^2+b^2<c^2 \) y, en general, \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{2} \).

Por tanto ninguna de las ternas de los dos casos citados podría llegar a \( a^n +b^n =c^n \)

Es decir, todas las ternas de los casos acabados de citar NO son viables.

No estamos discutiendo si \( c^3 \) puede ser igual o no a \( a^3+b^3 \).

Lo que trato de demostrar es que

\( (c-2a^n)^2\neq{}(b^n-a^n)^2 \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que trato de demostrar es que

\( (c-2a^n)^2\neq{}(b^n-a^n)^2 \)

Creo que querías poner:

\( (\color{red}c^n\color{black}-2a^n)^2\neq{}(b^n-a^n)^2 \)

Y si bueno, es equivalente a discutir si \( c^n=a^n+b^n \).

Saludos.

[minette]

Hola

¿Puede alguien demostrar que en una terna viable \( 3a^n>b^n \)?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Puede alguien demostrar que en una terna viable \( 3a^n>b^n \)?

Pues insisto en que no estoy cien por cien seguro a que llamas terna viable.

Terna viable.- Es aquella que podría dar lugar a \( a^n+b^n = c^n \). Una terna viable cumple \( a+b>c \) , cuando \( c>b>a \).

Dices que "podría". Pero eso es una vaguedad. En realidad sabemos (por que lo probó Wiles) que para \( n\geq 3 \) ninguna terna de naturales cumple esa ecuación; por tanto no hay ternas viables porque ninguna tripleta de naturales dará lugar a esa ecuación. En ese sentido cualquier afirmación que hicieses sobre una tal tripleta sería cierta, porque sería una afirmación sobre los elementos del conjunto vacío.

Por lo demás yo no veo ninguna prueba sencilla ni directa de que una tal terna tenga que cumplir \( 3a^n>b^n \). Desde luego para números reales, hay ternas tales que \( a^n+b^n=c^n \) y sin embargo \( 3a^n\leq b^n. \)

Saludos.

[minette]

Hola

Luis cuando empleo el condicional "podría" lo hago en honor a Wiles.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Luis cuando empleo el condicional "podría" lo hago en honor a Wiles.

Me parece bien; pero eso ni cambia ni aclara nada respecto a lo que te he comentado.

Saludos.