[feriva]

Pido por favor a quines siguen este hilo (ytambién a Luis), feriva por ejemplo, pongan una cuestión en la que sea claro, con letras, que las letras representen enteros positivos sin tener que afirmarlo.

Ya ha puesto un ejemplo, Luis, y donde hay patrón no manda marinero

Las letras por sí solas, en una expresión, pueden ser cualquier número real, son las condiciones que consideres las que al final van a decir si esas letras pueden ser un entero o no. Existe, por ejemplo, la igualdad \( 2a+1=2b
  \), pero, evidentemente, si suponemos que “a” y “b” son enteros, enseguida vemos que no puede ser, porque si “a” es entero, entonces \( 2a+1
  \) es un entero multiplicado por 2, se ve forzado a ser par, más 1; luego es un impar. Y al otro lado de la igualdad, si “b” es entero (si lo consideramos) no es posible, pues 2b sería un par. Sin embargo, da cualquier valora entero a “a” y tendrás un no entero “b”, existe; o, viceversa, da cualquier valor entero a “b” y tendrás un “a” no entero.

En una desigualdad pasa parecido, existen reales donde algunos pueden ser enteros y otros nos; y a veces pueden ser enteros todos. Ésa es la cuestión precisamente, descubrir si pueden ser todos enteros o no.

Y para ello, pues de momento no se me ocurre una sugerencia todo lo buena que yo quisiera para que puedas atacarlo; ya sabes que si se me ocurriera, te lo diría. Yo mismo intenté (sin tanto ahínco como tú) buscar alguna demostración alternativa para el caso n=3, y no lo logré.

Saludos.

[minette]

Hola

Gracias Luis. Gracias Feriva

Trato de demostrar la siguiente desigualda:

\( \frac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}}\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)
 

SUPONGO, no afirmo, que \( a,b,c \)  son enteros positivos tales que \( c>b>a \)
 

por favor, Luis, dime si tendré algún problema con los número reales distintos de los enteros positivos.

Como cuestión aparte, aunque relacionada con la principal,expongo esta:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

Siendo \( n \)  el mayor valor que produce la desigualdad con el signo \( > \)

Supongo que \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

entonces \( a^{2n}+b^{2n}<c^{2n} \)
 

Mi pregunta es si \( b^{2n}+b^{2n}?c^{2n} \)
 

¿cúal es el interrogante \( = ; >;< \) ?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

SUPONGO, no afirmo, que \( a,b,c \)  son enteros positivos tales que \( c>b>a \)
 
por favor, Luis, dime si tendré algún problema con los número reales distintos de los enteros positivos.

La pregunta no la entiendo, es muy vaga. Si tendrá algún problema, ¿haciendo qué cosa?. Lo que continuamente te indico es que  si en ningún momento usas de manera decisiva que los números implicados son enteros, es imposible que obtengas argumento alguno útil para probar el Teorema de Fermat.

Como cuestión aparte, aunque relacionada con la principal,expongo esta:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

Siendo \( n \)  el mayor valor que produce la desigualdad con el signo \( > \)

Supongo que \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

entonces \( a^{2n}+b^{2n}<c^{2n} \)
 

Mi pregunta es si \( b^{2n}+b^{2n}?c^{2n} \)
 

¿cúal es el interrogante \( = ; >;< \) ?

Si son enteros, desde luego el igual no. Por lo demás a priori  puede aparecer cualquiera de las dos desigualdades. Por ejemplo:

\( 600^4 + 1997^4 >1999^4 \)
\( 600^5+1997^5<1999^5 \)

\( 1997^{10}+1997^{10}>1999^{10} \)

 Y sin embargo en este otro ejemplo:

\( 15^4+17^4>19^4 \)
\( 15^5+17^5<19^5 \)

\( 17^{10}+17^{10}<19^{10} \)

Saludos.

[minette]

Hola

En una ocasión me has dado, algún ejemplo sobre enteros positivos y el resto de números reales pero, creo recordar, que siempre con ejemplos numéricos. Te ruego me pongas algún ejemplo con letras.

Así la expresión

\( ax^{2}+bx+c=0 \)
 

Creo que es válida para enteros positivos . ¿Es válida también para el resto de números reales?

Respecto a la desigualdad de las dos fracciones, la afirmo para todos los números reales.

En cuanto a \( b^{2n}+b^{2n}=c^{2n} \) , ¿porqué dices que si \( b,c \)  son enteros la igualdad es imposible?

En cuanto a los ejemplos, también numéricos , que pones sólo son válidos los \( 1997^{10}+1997^{10}>1999^{10}  \)  y \( 17^{10}+17^{10}<19^{10} \)
 

Hay caminos para hacerlo con letras:

\( 2b^{2n}?c^{2n} \)
 

Hallada la raiz \( 2n \)  :

\( \sqrt[2n]{2}b?c \)
 

el interrogante es \( \neq  \) porque \( \sqrt[2n]{2} \)  es un irracional.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

En una ocasión me has dado, algún ejemplo sobre enteros positivos y el resto de números reales pero, creo recordar, que siempre con ejemplos numéricos. Te ruego me pongas algún ejemplo con letras.

No te entendio. ¿Ejemplo de qué?.

Así la expresión

\( ax^{2}+bx+c=0 \)
 

Creo que es válida para enteros positivos . ¿Es válida también para el resto de números reales?

No se que quieres decir con "válida". Eso es una ecuación; uno puede suponer que las variables implicadas son enteras, o reales o complejas y dependiendo de los valores concretos la ecuación será o no satisfecha. Válida no se que significa en este contexto.

Respecto a la desigualdad de las dos fracciones, la afirmo para todos los números reales.

Es falsa en general para los reales, es decir hay valores de reales para los cuales se tiene la igualdad (y ya te he puesto ejemplos en otras ocasiones).

Spoiler

\( n=3,\qquad a=2 \), \( b=3 \) \( c=\sqrt[3]{2^3+3^3} \)

[cerrar]

En cuanto a \( b^{2n}+b^{2n}=c^{2n} \) , ¿porqué dices que si \( b,c \)  son enteros la igualdad es imposible?

Tu misma lo demuestras después:

Hay caminos para hacerlo con letras:

\( 2b^{2n}?c^{2n} \)
 

Hallada la raiz \( 2n \)  :

\( \sqrt[2n]{2}b?c \)
 

el interrogante es \( \neq  \) porque \( \sqrt[2n]{2} \)  es un irracional.

En cuanto a los ejemplos, también numéricos , que pones sólo son válidos los \( 1997^{10}+1997^{10}>1999^{10}  \)  y \( 17^{10}+17^{10}<19^{10} \)

No se que quieres decir con "sólo son válidos". Lo que quiero decir es que dados enteros \( a,b,c \) y siendo \( n \) el mayor entero tal que:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) (*)

No puede saberse a priori si se tendrá:

\( b^{2n}+b^{2n}>c^{2n} \) ó \( b^{2n}+b^{2n}<c^{2n} \)

La forma rigurosa de demostrar mi afirmación es mostrar ejemplos de uno y otra situación.

Para \( a=600 \), \( b=1997 \), \( c=1999 \)  y \( n=5  \) se tiene (*) pero \( b^{2n}+b^{2n}>c^{2n} \).

Sin embargo, para  \( a=15 \), \( b=17 \), \( c=19 \)  y \( n=5  \) se tiene (*) pero \( b^{2n}+b^{2n}<c^{2n} \). 

Saludos.

[minette]

Hola

Parece que te extraña el uso del adjetivo “válida”

Si estamos hablando de \( b^{2n}+b^{2n}?c^{2n} \)
 

no caben tus ejemplos (no son válidos):

\( 600^{4}+1997^{4}>1999^{4} \)
 

\( 600^{5}+1997^{5}<1999^{5} \)
 

porque \( 600\neq1997 \)
 

ni tampoco

\( 15^{4}+17^{4}>19^{4} \)
 

\( 15^{5}+17^{5}<19^{5} \)
 

porque \( 15\neq17 \)
 

Por otro lado el exponente 5 no es par.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Parece que te extraña el uso del adjetivo “válida”

No es que me estrañe, es que si no se aclara en que criterio estás considerando para determinar la validez o no, no tiene sentido. En alguno casos se sobrentiende el criterio; en los que yo te he comentado no se entiende.

Si estamos hablando de \( b^{2n}+b^{2n}?c^{2n} \)
 
no caben tus ejemplos (no son válidos):

\( 600^{4}+1997^{4}>1999^{4} \)
 

\( 600^{5}+1997^{5}<1999^{5} \)
 

porque \( 600\neq1997 \)
 

ni tampoco

\( 15^{4}+17^{4}>19^{4} \)
 

\( 15^{5}+17^{5}<19^{5} \)
 

porque \( 15\neq17 \)
 

Por otro lado el exponente 5 no es par.

Intenta leer de manera comprensiva.

Tu planteamiento es. Dar enteros \( a,b,c \) y luego el mayor entero tal que:

(1) \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
(2) \( a^n+b^n<c^n \)

 y luego investigar que ocurre con:

(3) \( b^{2n}+b^{2n} \) y \( c^{2n} \)

 Entonces en mi primer ejemplo he tomado:

\( a=600 \), \( b=1997 \), \( c=1999 \)  y \( n=5  \)

 Muestro que se cumple (1) y (2)

(1) \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) es decir \( 600^{5-1}+1997^{5-1}>1999^{5-1} \).
(2) \( a^n+b^n<c^n \) es decir \( 600^{5}+1997^{5}<1999^{5} \).

 Y respecto a (3) se tiene:

(3) \( b^{2n}+b^{2n}>c^{2n} \) es decir \( 1997^{10}+1997^{10}>1999^{10} \)

 En el segundo ejemplo:

  \( a=15 \), \( b=17 \), \( c=19 \)  y \( n=5  \)

 De nuevo muestro que se cumple (1) y (2)

(1) \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) es decir \( 15^{5-1}+17^{5-1}>19^{5-1} \).
(2) \( a^n+b^n<c^n \) es decir \( 15^{5}+17^{5}<19^{5} \).

 Pero ahora respecto a (3) se tiene:

(3) \( b^{2n}+b^{2n}<c^{2n} \) es decir \( 17^{10}+17^{10}<19^{10} \)
 
 Es decir bajo las hipótesis (1) y (2) no puede concluirse a priori en que sentido irá la desigualdad (3).

 Espero que ahora hayas entendido porqué en cada uno de los dos ejemplos escribí las desigualdades (1) y (2): para mostrar que estamos en las hipótesis que tu misma estableciste:

Como cuestión aparte, aunque relacionada con la principal,expongo esta:

(1) \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

Siendo \( n \)  el mayor valor que produce la desigualdad con el signo \( > \)

Supongo que (2) \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)

[...] 

Mi pregunta es si (3) \( b^{2n}+b^{2n}?c^{2n} \)
 
¿cúal es el interrogante \( = ; >;< \) ?

Saludos.

[minette]

Hola

Perdona mi cortedad. Tienes toda la razón. Si yo fuera contemporánea de Pierre de Fermat, creo que nadie me exigiría que demostrase su UTF no sólo para enteros positivos sino también para reales (encima mezclándolos).

Cuando en mis dos primeras partes de mi intento

\( a^{2}+b^{2}<c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

\( a^{2}+b^{2}=c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

para \( n\geq3 \)
 

creo recordar que dijistes que eso también era correcto para reales. Es como si tuvieses un poco la obsesión de incluir a los reales en mi intento. Cosa que jamás se me ha pasado por la cabeza.

En cuanto a la tercera parte de mi intento: \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)  acabas de poner un ejemplo de que mi intento no funciona cuando

\( n=3 \)  ; \( a=2 \)  ;\(  b=3 \) ; \( c=\sqrt[3]{2^{3}+3^{3}} \)

No acabo de entenderlo.
 

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Si yo fuera contemporánea de Pierre de Fermat, creo que nadie me exigiría que demostrase su UTF no sólo para enteros positivos sino también para reales (encima mezclándolos).

Nadie te "exige" que demuestres el UTF para números reales, porque de hecho en ese caso es falso. La ecuación de Fermat si tiene soluciones no triviales en los reales.

Lo único que "exijo" a  una prueba del Teorema de Fermat es que sea correcta; y todos tus intentos están mal, rematadamente mal. Y te lo he indicado en cada caso.

Lo de los reales es un comentario adicional, un bonus; que si entendieses te haría comprender más rápidamente que con el tipo de argumentos que usas es imposible que llegues a nada útil.

Pero ha queda claro que eres incapaz de entender ese matiz. Olvídalo si quieres.

Cuando en mis dos primeras partes de mi intento

\( a^{2}+b^{2}<c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

\( a^{2}+b^{2}=c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

para \( n\geq3 \)
 

creo recordar que dijistes que eso también era correcto para reales.

Si, es correcto.

Es como si tuvieses un poco la obsesión de incluir a los reales en mi intento. Cosa que jamás se me ha pasado por la cabeza.

No tengo tal obsesión; en absoluto. Al contrario, lo que digo es que deberías de usar de manera decisiva que tus variables son enteros. Y no lo haces. Al no hacerlo eres tu, y no yo, la que pese a que simplemente afirmes que tus números son enteros, dejas la puerta abierta a que tu supuesta demostración debiera de funcionar también para los reales.

En cuanto a la tercera parte de mi intento: \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)  acabas de poner un ejemplo de que mi intento no funciona cuando

\( n=3 \)  ; \( a=2 \)  ;\(  b=3 \) ; \( c=\sqrt[3]{2^{3}+3^{3}} \)

No acabo de entenderlo.

¿Exactamente qué no entiendes? Ese ejemplo lo puse porque afirmaste:

Respecto a la desigualdad de las dos fracciones, la afirmo para todos los números reales.

Supongo que te refieres a las fracciones:

\( \dfrac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}} \) y \( \dfrac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)

Lo que digo es que si tomas los valores:

\( n=3 \)  ; \( a=2 \)  ;\(  b=3 \) ; \( c=\sqrt[3]{2^{3}+3^{3}} \)

entonces las dos fracciones son iguales.

Así que si tu afirmas la desigualdad para todos los números reales, esa afirmación es falsa.

Saludos.

[minette]

Hola

Te repito este párrafo:

Perdona mi cortedad. Tienes toda la razón. Si yo fuera contemporánea de Pierre de Fermat, creo que nadie me exigiría que demostrase su UTF no sólo para enteros positivos sino también para reales (encima mezclándolos).

Contéstame por favor.

Saludos.