[Luis Fuentes]

Hola

Un millón de gracias por tu respuesta 378

Pero, ojo, debería de hacerte reflexionar.

¿Tu razonamiento estaba bien antes y está mal ahora porque yo encontrarse el ejemplo? ¿Y si no hubiese querido o no hubiese tenido tiempo de buscarlo? ¿O si no hubiese sido capaz de encontrarlo aun existiendo (hubo que rebuscar un poco)? ¿Sería por ello más correcto o incorrecto tu razonamiento?.

Saludos.

[minette]

Hola Luis

Mi primera reflexión es que mi pretendida demostración no es válida.

Sólo tú, en función de lo que te ha costado encontrar la terna (137,307,310) podrías hacer una estimación en porcentajes de cuando mi pretendida demostración funciona y cuando no funciona. Igual que en la historia del UTF ha habido demostraciones parciales por ejemplo hasta un determinado valor de \( n \). Etcétera.

Al encontrar el ejemplo, eso desautoriza mi demostración. Pero, el problema, valga la redundancia, es que nadie me ha demostrado con letras que mi demostración no es válida.

Tú, con toda la razón del mundo, me repites "debes demostrarla".

Y yo también debería poder pedir una demostración (no un ejemplo de una terna) con letras, digámoslo así, de que no es válida.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Nada, veo que sigues sin entender la cosa.

Mi primera reflexión es que mi pretendida demostración no es válida.

Eso desde luego. Pero ya no lo era antes de que te pusiese el ejemplo. Porque hacías una afirmación que no estaba justificada, es decir, una conjetura.

El ejemplo luego mostró, no sólo que no estaba justificada, sino que era falsa.

Sólo tú, en función de lo que te ha costado encontrar la terna (137,307,310) podrías hacer una estimación en porcentajes de cuando mi pretendida demostración funciona y cuando no funciona. Igual que en la historia del UTF ha habido demostraciones parciales por ejemplo hasta un determinado valor de \( n \). Etcétera.

No tiene sentido. Si me costó 20 minutos le asigno..., ¿qué porcentaje?... ¿y si me costó 20 días? ….¿y si viene otro más listo y lo encuentra al instante?... En fin.... Y no tiene nada que ver con haber probado el teorema para un determinado valor de \( n \). No es el caso.

Yo me ayudé de un programita de ordenador que me hice para barrer ejemplos; una vez hecho es fácil encontrarlos.

Al encontrar el ejemplo, eso desautoriza mi demostración. Pero, el problema, valga la redundancia, es que nadie me ha demostrado con letras que mi demostración no es válida.

Tú, con toda la razón del mundo, me repites "debes demostrarla".

Y yo también debería poder pedir una demostración (no un ejemplo de una terna) con letras, digámoslo así, de que no es válida.

Es es un error de concepto brutal; eres tu la que debe de demostrar que tu prueba es correcta. ¿Cómo? Reduciendo cada afirmación a otra serie de afirmaciones bien ya probadas o bien cuya veracidad es inmediata a partir de las definiciones de  los conceptos que se manejan. Eso es una demostración. Basta que alguien te diga: "ese paso no está justificado" para que o bien tu muestres que si está probado en tal o cual libro, o a partir de tal o cual definición, o que lo desmenuces más en otros pasitos más pequeños que si estén demostrados.

Te voy a poner un ejemplo.

Teorema de Fermat: No existen naturales \( a,b,c,n \) con \( n>2 \) tales que \( a^n+b^n=c^n. \)

Prueba: Si existiesen naturales en esas condiciones despejando tendríamos:

\( b^n=c^n-a^n \)
\( b=\sqrt[n]{c^n-a^n}
 \)
pero es imposible que la raíz enésima de una diferencia de potencias enésimas de naturales sea natural. Q.E.D.

Contesta a esto y de paso por una vez intercambiamos los papeles: ¿he demostrado el Teorema de Fermat? ¿si ?¿no? En caso negativo, ¿qué está mal en mi demostración?.

Saludos.

[feriva]

Pero, el problema, valga la redundancia, es que nadie me ha demostrado con letras que mi demostración no es válida.

A lo mejor me equivoco (Luis dirá, si acaso) pero aunque lo demostraras perfectamente (para potencias enteras y todos los requisitos) yo no veo que quedase demostrado el teorema con eso.

Creo que no es suficiente, porque entiendo que podríamos partir también de \( a^{n}+b^{n}<c^{n}
  \) en vez de \( a^{n}+b^{n}>c^{n}
  \) y darse la igualdad para “n-1” ó para “n+1” (con “n” igual o mayor que 3 cuando se toma “n-1” e igual o mayor que 2 si se toma n+1).

Con esto te quiero decir que no sé cuál sería la razón para que no pudiera ser así, no que no sea así.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Pero, el problema, valga la redundancia, es que nadie me ha demostrado con letras que mi demostración no es válida.

A lo mejor me equivoco (Luis dirá, si acaso) pero aunque lo demostraras perfectamente (para potencias enteras y todos los requisitos) yo no veo que quedase demostrado el teorema con eso.

¿Aún que demostrara perfectamente exactamente qué?.

Creo que no es suficiente, porque entiendo que podríamos partir también de \( a^{n}+b^{n}<c^{n}
  \) en vez de \( a^{n}+b^{n}>c^{n}
  \) y darse la igualdad para “n-1” ó para “n+1” (con “n” igual o mayor que 3 cuando se toma “n-1” e igual o mayor que 2 si se toma n+1).

Con esto te quiero decir que no sé cuál sería la razón para que no pudiera ser así, no que no sea así.

No; ella ya ha razonado previamente que para estudiar el caso \( n \) puede suponer que \( n-1 \) es el mayor entero tal que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \).  Y eso está bien. El problema es que después afirma que no puede darse una determinada desigualdad y ahí hay dos errores: 1) lo afirma sin nada que lo justifique 2) la afirmación es falsa.

Saludos.

[feriva]

¿Aún que demostrara perfectamente exactamente qué?.

Hola, Luis. Quiero decir esto: supongamos que ella demostrara que (para enteros a,b,c,n con n>2) dada la inecuación \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1}
  \), entonces en todo caso \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}
  \).

Veo que es necesario para que su cumpla el teorema (es obvio, pues no puede darse la igualdad) pero mi pregunta es si sería suficiente (suponiendo que se pudiera demostrar).

No; ella ya ha razonado previamente que para estudiar el caso \( n \) puede suponer que \( n-1 \) es el mayor entero tal que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \).

Ahí está lo que no veo, no veo que esa suposición sea suficiente (en caso de demostrarse lo que decía) para que quede demostrado en general, porque, por ejemplo

\( 3+4>5
  \)

\( 3^{2}+4^{2}=5^{2}
  \)

\( 3^{3}+4^{3}<5^{3};\,27+64<125
  \)

\( 3^{4}+4^{4}<5^{4};\,81+256<625
  \)

...

O sea, veo que dado una cierta tripleta, lo mismo ocurre que la relación puede ser siempre “menor que” excepto algún caso en el que se dé la igualdad, como ocurre aquí para n=2, con lo que, por mucho que se considere \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1}
  \), no se analiza eso otro.

¿O es que ella ha comprobado que si \( a^{n-1}+b^{n-1}<c^{n-1}
  \) entonces \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}
  \)? Si es así, ¿cómo se demuestra eso rigurosamente?; seguro que es fácil, pero no me sale ahora.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¿O es que ella ha comprobado que si \( a^{n-1}+b^{n-1}<c^{n-1}
  \) entonces \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}
  \)? Si es así, ¿cómo se demuestra eso rigurosamente?; seguro que es fácil, pero no me sale ahora.

Si; no se si ha llegado a escribir una demostración rigurosa, pero lo ha explicado (hace ya tiempo) y es fácil de justificar.

En concreto es fácil de ver que si \( a^n+b^n=c^n \) entonces necesariamente \( a^{n-1}+b^{n-1}<c^{n-1} \) y \( n-1 \) es el mayor entero con esta propiedad.

Por eso para estudiar si es posible la igualdad \( a^n+b^n=c^n \) es correcto poner entre las hipótesis que \( n-1 \) es el mayor entero verificando \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \).

Esa propiedad es cierta incluso para números reales.

Una justificación sencilla de esto es la siguiente. La función \( f(x)=x^t \) es:

- si \( t>1 \) estrictamente convexa, cumple \( f(x)=0 \) y por tanto estrictamente superaditiva es decir: \( f(x)+f(y)<f(x+y) \)

- si \( t<1 \) estrictamente cóncava, cumple \( f(x)=0 \) y por tanto estrictamente subaditiva es decir: \( f(x)+f(y)>f(x+y) \)

Entonces si supones \( x=a^n, \quad y=b^n,\quad x+y=c^n \) y \( t=m/n \) se verifica:

- si \( m>n \) entonces \( f(a^n)+f(b^n)<f(c^n) \) es decir \( a^m+b^m<c^m \).
- si \( m<n \) entonces \( f(a^n)+f(b^n)>f(c^n) \) es decir \( a^m+b^m>c^m \).

Saludos.

[feriva]

Una justificación sencilla de esto es la siguiente. La función \( f(x)=x^t \) es:

- si \( t>1 \) estrictamente convexa, cumple \( f(x)=0 \) y por tanto estrictamente superaditiva es decir: \( f(x)+f(y)<f(x+y) \)

Ah, gracias, Luis, de acuerdo entonces.

Saludos.

[minette]

Hola

Estoy tratando de escribir, casi podría decir dibujar, TODAS las ternas que contienen, como término menor 137. Son mogollón y me limitaré a exponeros el número de ellas pues si las pongo todas ocuparé varias páginas.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy tratando de escribir, casi podría decir dibujar, TODAS las ternas que contienen, como término menor 137. Son mogollón y me limitaré a exponeros el número de ellas pues si las pongo todas ocuparé varias páginas.

Quizá te ahorraría trabajo, explicar primero que pretendes con eso. Sinceramente no creo que ayude en nada. Y además a que tipo de ternas te refieres. Es decir términos con término menor 137, cumpliendo... ¿que cosa?.

Y por otra parte para buen entendimiento en el debate es fundamental que respondas a esto:

Teorema de Fermat: No existen naturales \( a,b,c,n \) con \( n>2 \) tales que \( a^n+b^n=c^n. \)

Prueba: Si existiesen naturales en esas condiciones despejando tendríamos:

\( b^n=c^n-a^n \)
\( b=\sqrt[n]{c^n-a^n}
 \)
pero es imposible que la raíz enésima de una diferencia de potencias enésimas de naturales sea natural. Q.E.D.

Contesta a esto y de paso por una vez intercambiamos los papeles: ¿he demostrado el Teorema de Fermat? ¿si ?¿no? En caso negativo, ¿qué está mal en mi demostración?.

En general es bueno que contestes a todas mis objecciones.

Saludos.