[minette]

Hola

Dada una igualdad con sus dos miembros numéricamente MUY ELEVADOS, y dada una desigualdad con sus dos miembros numéricamente MUY BAJOS, si sumamos sus dos primeros miembros por un lado, y sus dos segundos miembros por otro, el signo de entre estas dos sumas es SIEMPRE el mismo de la desigualdad.

Saludos.
 

[minette]

Hola

Reproduzco la respuesta 328 de Maite_ac que no ha tenido respuesta:

Hola Luis

Quiero añadir lo siguiente:

Si minette hubiera afirmado que quería demostrar el UTF partiendo SÓLO de \( a^2+b^2>c^2 \) entonces tu objecciónes perfectamente válida.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Dada una igualdad con sus dos miembros numéricamente MUY ELEVADOS, y dada una desigualdad con sus dos miembros numéricamente MUY BAJOS, si sumamos sus dos primeros miembros por un lado, y sus dos segundos miembros por otro, el signo de entre estas dos sumas es SIEMPRE el mismo de la desigualdad.

Es que nadie dice lo contrario y ni siquiera hace falta aludir a si son o no elevados.

Si se tiene:

\( A=B \)
\( C>D \)

Entonces:

\( A+C>B+D \)

Nadie discute tal cosa.

Quiero añadir lo siguiente:

Si minette hubiera afirmado que quería demostrar el UTF partiendo SÓLO de \( a^2+b^2>c^2 \) entonces tu objecciónes perfectamente válida.

Eso tendrá respuesta cuando se indique exactamente que objecciones son válidas o dejan de serlo y porqué.

Saludos.

[minette]

Hola

Maite_ac en su respuesta 327 pregunta: ¿Por qué interfieres el caso \( a^2+b^2>c^2 \) con el \( a^2+b^2=c^2 \)  siendo que este último ya está demostrado?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Maite_ac en su respuesta 327 pregunta: ¿Por qué interfieres el caso \( a^2+b^2>c^2 \) con el \( a^2+b^2=c^2 \)  siendo que este último ya está demostrado?

Ya respondí a eso. Lo dijo en este mensaje:

MENSAJE COMPLETO

Hola Luis

Perdona mi cortedad. Tú te empeñas, poniendo el ejemplo de la terna \( (3,4,5) \),   en desacreditar mi argumento totalmente válido para la infinidad de ternas que cumplen

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1}  \)  para \(  n\geq3 \)
 

incluso recurriendo a números reales, cosa fuera de lugar.

E incluso prescindiendo de que minette tiene demostrado el caso \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)  para un exponente \( n>2 \)  .

Veamos

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Entonces

\( a^{n}+a^{n-1}+b^{n}+b^{n-1}>c^{n}+c^{n-1} \)
 

¿Estás de acuerdo, Luis, con esta suma?

Expresando esta desigualdad de otra forma

\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
 

Si \(  a^{n}+b^{n}?c^{n} \)  , siendo \(  n>n-1 \)   entonces

\( a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)
 

entonces si \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)   volvemos al razonamiento anterior.

¿Se puede abordar el UTF en estas tres fases:

\( a^{2}+b^{2}<c^{2} \)
 

\( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)
 

\( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)  ?

¿Por qué interfieres el caso \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)   con el \(  a^{2}+b^{2}=c^{2} \)   siendo que este último ya está demostrado?

Saludos.

[cerrar]

 Y le respondí inmediatamente. En particular le dije:

Si vuelves a leer de manera comprensiva los tres enlaces que te indiqué verás que doy otras muchas razones que muestran que tu argumento está mal, independientemente del ejemplo para \( n=2 \). Por ejemplo:

Más aun, tu comienzas tomando el \( n-1 \) natural  más grande para el cuál \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \). Nada impide entonces que pudiera existir un exponente no natural \( t \) con \( n-1<t<n \) tal que \( a^t+b^t>c^t \) y menos aun impide que se de esa desigualdad para exponentes \( t_1,t_2,t_3 \) reales y distintos, hecho sobre el cual no dice nada tu suposición inicial sobre la maximalidad de \( n-1 \).

Hasta aquí, de acuerdo. Pero...

pero esto no es posible por lo dicho al principio de que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) siendo \( n-1 \) el mayor valor que hace esta desigualdad tenga el signo >.

Entonces \( a^{n-1}(1+a)=a^t \) siendo \( t \) (entero o no) \( > n-1 \) Etcétera para \( b^{n-1}(1+b) \) y \( c^{n-1}(1+c) \).

¿Por que no va a ser posible la desigualdad (*)?. Fíjate que si \( a^{n-1}(1+a)=a^t \), entonces no tiene porque ocurrir que \( b^{n-1}(1+b)=b^t \) con el mismo valor de \( t \).

\( 5 \) es el mayor exponente natural \( m \) tal que \( 11^m+12^m>13^m \), pero NO es el mayor exponente real tal que  \( 11^m+12^m>13^m \). Por ejemplo:

\( 11^{5.1}+12^{5.1}>13^{5.1} \)
 

Y por cierto, ¿es tu argumento o el de minette?.

Sea como sea no acabáis de comprender (ni tu ni minette) que el hecho de que yo diga "solo lo uso para naturales" o "solo lo hago para \( n>2 \)" no impide que ciertos pasos intermedios sigan siendo ciertos para reales o \( n\leq 2 \). Por poner un ejemplo genérico: que \( n>1 \), \( a>b \Rightarrow{} a^n>b^n \) es cierto para reales,.... por más que yo diga que lo uso sólo para naturales.

 Añado algo más.

 Mi sensación es que continuamente no entendéis que el hecho de que unas premisas y una conclusión sean ciertas, no quiere decir que el argumento que se supone que llevó de unas a otras sea correcto.

 Por ejemplo. Uno puede considerar las premisas:

 A- Los felinos tienen cuatro patas.
 B- Un gato tiene cuatro patas.

 y de ahí decir: "por tanto

 C- Un gato es un felino".

 Es cierto que un felino tiene cuatro patas, es cierto que un gato tiene cuatro patas, y es cierto que un gato es un felino, pero lo que no está bien es que el hecho de que un gato sea un felino se deduzca únicamente que del hecho de que el gato y los felinos tengan cuatro patas.

 Siguiendo con la analogía cuando yo te digo que para \( n=2 \) o para los irracionales tu "argumento" claramente falla, es como si yo te dijese en este caso si tu razonamiento estuvise bien se podría deducir que:

 A- Los felinos tienen cuatro patas.
 B- Un perro tiene cuatro patas.

y por tanto:

 C- Un perro es un felino.

Lo cual ahora es falso; un perro no es un felino. Y tu simplemente dices, "no es que yo ya dije antes que los perros no eran felinos". ¿Y qué?. Lo que digo es que el mismo esquema de razonamiento que empleas para los gatos, empleados para los perros lleva a una conclusión errónea. Entonces el esquema de razonamiento está mal.

Saludos.

[minette]

Hola

La desigualdad \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) mantiene el signo \( > \) siempre que el exponente no sea mayor a \( (n-1) \).

Dada ésta premisa veamos que ocurre con esta suma:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
\( a^n+b^n=c^n \)

\( a^{n-1}+a^n+b^{n-1}+b^n?c^{n-1}+c^n \)

¿Alguien me puede decir qué hay detrás del \(  ? \) Si es \( > \), \( < \), ó = \( ? \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

La desigualdad \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) mantiene el signo \( > \) siempre que el exponente no sea mayor a \( (n-1) \).

Dada ésta premisa veamos que ocurre con esta suma:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
\( a^n+b^n=c^n \)

\( a^{n-1}+a^n+b^{n-1}+b^n?c^{n-1}+c^n \)

¿Alguien me puede decir qué hay detrás del \(  ? \) Si es \( > \), \( < \), ó = \( ? \)

No hay ninguna duda ni nadie lo discute, incluso sin la premisa inicial. De:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
\( a^n+b^n=c^n \)

se deduce que:

\( a^{n-1}+a^n+b^{n-1}+b^n>c^{n-1}+c^n \)

Eso lo pusiste tu y es correcto como ya te indiqué varias veces.

Spoiler

Si se tiene:

\( A=B \)
\( C>D \)

Entonces:

\( A+C>B+D \)

Nadie discute tal cosa.

[cerrar]

Tu fallo es pensar que \( a^{n-1}+a^n+b^{n-1}+b^n>c^{n-1}+c^n \) contradice que \( n-1 \) sea el mayor natural tal que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \). No, no lo contradice (te he puesto ejemplos donde falla; te he dicho que más allá de los ejemplos si piensas que es cierto debes dar una demostración; etcétera).

Tendrías una contradicción si encontrases un \( m>n-1 \) natural tal que \( a^m+b^m>c^m \).

Saludos.

[minette]

Hola Luis

En tu respuesta 366 dices textualmente "te he puesto ejemplos donde falla".

Por favor ¿serías tan amable de repetir esos ejemplos?

Saludos.

[feriva]

Se trata de una regla algebraica básica, minette.

Dadas una igualdades o desigualdades, o mezcla de ambas, puedes sumar los miembros, cada uno con el de su lado

\( 5,5=4+1+0,5
  \)

\( 3,2=2+1+0,2
  \)

Así pues, sumas \( 5,5+3,2
  \) y \( 4+1+0,5+2+1+0,2
  \) y los comparas.

Lógicamente, la suma sigue siendo igual, el equilibrio no se rompe sean cuales sean los números; y ya ves que no depende de que sean enteros, pueden ser de cualquier tipo, pueden incluso ser mezcla de enteros y no enteros y esto funcionará siempre para ambas relaciones.

Cuando las dos cosas de la izquierda son mayores que las de la derecha, pues al sumar, la suma izquierda también será mayor que la derecha, es bastante obvio.

En el caso de que una de las relaciones sea de igualdad y la otra no, al sumar se mantiene el signo de la que no es igual, de la inecuación. Es muy fácil de ver si lo piensas con este ejemplo:

\( 2,5>1
  \)

\( 0=0
  \)

Al sumar te queda la primera \( 2,5>1
  \), la otra es como si no existiera.

Que se mantenga esa desigualdad no es debido en particular a que la otra sea una igualdad entre dos ceros, sino simplmente a que es una igualdad, sin más particularidad, y, entonces, no desequilibra la otra y por eso se mantiene la misma relación; con lo que se mantiene el signo, claro.

Con otro ejemplo:

\( 1,7<6,9
  \)

\( 3,3345=3,3345
  \)

La suma del lado izquierdo será menor que la del lado derecho, pues lo que manda es esto \( 1,7<6,9
  \), la otra relación no va a cambiar nada; piensa en una balanza, si hay un platillo más bajo y añadimos un mismo peso en ambos platillos, sigue igual, el platillo más bajo sigue siendo el más bajo. Supongo que lo habrás hecho muchas veces o lo habrás visto hacer muchas veces en las tiendas.

Y piensa que normalmente las cosas que se pesan no siempre vienen dadas por una cantidad entera de gramos o kilos. Sin embargo, funciona igualmente de una manera u otra.

Esto te debe indicar ya, con claridad, que tal herramienta no sirve para distinguir lo que quieres, ya que, el comportamiento de la balanza no es distinto cuándo la cantidad de gramos es entera o no, sólo detecta el equilibrio o desequilibrio. En conclusión, con una balanza (o sólo con esa herramienta) no se puede demostrar el UTF. No seas tan obstinada, busca algo más.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

En tu respuesta 366 dices textualmente "te he puesto ejemplos donde falla".

Por favor ¿serías tan amable de repetir esos ejemplos?

Aquí, aunque tu me dirás que para \( n=2 \) no vale; y yo te diré que no usas de manera relevante en tu afirmación que \( n \) sea o no sea dos. Y tu no lo entenderás. Y yo no se explicarlo mejor... 

\( 3+4>5 \)
\( 3^2+4^2=5^2 \)

Sumando:

\( 3(3+1)+4(4+1)>5(5+1) \)

O esto otro que no es un ejemplo exactamente de ese último intento de razonamiento pero si de uno análogo:

Pero, te regalo un contraargumento adicional, y sin usar reales: para \( n=2 \) de hecho es falsa.

Y te regalo otro ejemplo para \( n=3 \):

\( a=2058260 \)
\( b=5434196 \)
\( c=5530891 \)

Se cumple que el mayor exponente entero para el cual \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) es \( n-1=2 \).

Y sin embargo:

\( a^3+a+b^3+b>c^3+c \)

Y te recuerdo algo que debes de entender; pero ya te lo explicado muchas veces... y nada. Tu argumento está mal (o cuando menos es profundamente incompleto) y no tengo que darte ningún ejemplo donde claramente falla la afirmación que haces para justificar que está mal. Al contrario eres tu quien debes de razonar porqué está bien, porque no das ningún motivo.

 Como te dije antes del hecho de que \( n-1 \) sea el mayor natural tal que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) sólo te permite afirmar que no puede darse \( a^{m}+b^{m}>c^{m} \), para \( m>n-1 \) natural. Sólo eso. Cualquier otra conclusión que quieras sacar tienes que justificarla, demostrarla.

 Vuelvo a recordarte lo que ya te dije aquí:

Hola

Fuera de recordatorios sigo con lo mismo y creo que mejor.

Siendo \( n>n-1\rightarrow a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)
 

quedan dos opciones \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  ; \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

Primera opción

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

\( a+b>c \)
 

Al sumar \( {a^{n}+a+b^{n}+b>c^{n}+c} \)  y esto es imposible.

¿Por qué es imposible? No das ningún motivo. Con ese tipo """demostraciones""" yo tengo una más fácil.

Si \( a,b,c,n\in \mathbb{N} \) y \( n>2 \) entonces \( a^n+b^n\neq c^n \) porque es imposible que \( a^n+b^n=c^n \).

¡Voilà! """Demostración""" del UTF en una línea...

Saludos.

P.D. feriva: en mi opinión nada de lo que comentas tiene que ver con el error de razonamiento de minette. Ella sabe lo que ocurre al sumar la igualdad y desigualdad; ahí razona correcto. El problema es que cree que eso contradice una premisa anterior.