Estamos cambiando puntos de vista sobre el UTF y no caben más que NATURALES.
Hola, minette. Caben también los números que se nos cuelen en un momento dado.
Mira esto:
Por mi anterior respuesta teníamos que para tres números consecutivos, fueran cuales fueran, la igualdad se podía expresar así:
\( (a+1)^{n}-(a+2)^{n}=-a^{n}
\)
Ahora, si n=5, entonces
\( (a+1)^{5}-(a+2)^{5}=-a^{5}
\)
que se puede desarrollar o bien por medio del binomio de Newton o bien con paciencia (multiplicando (a+1) cinco veces, etc). O, mucho más cómodo, se puede hacer con Wolfram:
\( 5a^{4}-30a^{3}-70a^{2}-75a-31=-a^{5}
\)
\( a^{5}-5a^{4}-30a^{3}-70a^{2}-75a=31
\)
Si “a” es entero, divide a 31, luego sólo puede ser a=31 ó a=-31, por ser primo; ya que, “a” ha de ser distinto de 1 ó -1 por razones triviales.
Pero, evidentemente no es cierto, “a” no puede valer 31 con ningún signo; lo puedes calcular con Wolfram, arroja el valor; a=9,19...
Luego no existen tres naturales consecutivos que cumplan eso con n=5.
Pero lo más importante es que, en realidad, no he utilizado el Wolfram previamente; lo he hecho así:
De momento, no digo que “a” sea entero en principio.
Tomamos la expresión
\( a^{5}-5a^{4}-30a^{3}-70a^{2}-75a=31
\).
“a” es factor común a todos los sumandos de la izquierda, por tanto, suponiendo “a” entero, puedo dividir a ambos lados por “a” de forma que quede un supuesto entero.
O sea, partimos de esto tal cual lo tenía, del lado izquierdo:
\( a^{5}-5a^{4}-30a^{3}-70a^{2}-75a
\)
Ahora, si “a” es entero, repito, al dividirlo entre “a” queda
\( a^{4}-5a^{3}-30a^{2}-70a-75
\),
que serían sumas de productos de enteros.
Pero en el otro lado, al dividir también por “a”, queda un 1 positivo o negativo:
\( a^{4}-5a^{3}-30a^{2}-70a-75=\pm1
\); porque si fuera entero sólo podría ser a=31 ó a=-31.
Entonces despejo 75 y divido entre “a” a los dos lados otra vez suponiendo a=31:
\( a^{3}-5a^{2}-30a-70=\dfrac{\pm1+75}{31}
\)
Lo de la izquierda, sustituyendo “a” por 31 ó -31, es un entero (es obvio, hasta lo puedes comprobar); lo de la derecha no lo es; no lo es ya tomemos en el numerador 75+1= 76 ó 75-1= 74.
Y ahora sí puedo afirmar con rigor (salvo despistes por ahí) que no existen tres números consecutivos que cumplan eso para "n=5"
La diferencia entre este argumento para negar la cuestión en particular y los que tú estás empelando es que en éste, para empezar, se usa una letra y con eso se generaliza el caso para tres números consecutivos; pero, lo más importante, no se dice “a” es entero, se dice “si “a” fuera entero” y, finalmente, se cierran las salidas hasta comprobar que no puede serlo; por una cuestión obvia de divisibilidad en la que ha sido invitado estelar el primo 31.
Saludos.
