Hola. Antes de nada, quisiera aclarar que cuando participé en este hilo por primera vez, en mi respuesta anterior, no me di cuenta de que llevabais nada más y nada menos que 280 respuestas en más de dos años. Yo pensé que lo que planteó minette era para abrir el hilo, ya que su pregunta me aparecía en una página nueva. Pido disculpas, entonces, si ya habéis hablado de algo que estoy aquí pasando por alto.
En cuanto a la pregunta de minette, yo diría que la igualdad no puede darse, ya que si \( 3a^n=2b^n \) se tendría:
\( 3c^n=3a^n+3b^n=5b^n\;\Rightarrow{}\;\displaystyle\frac{b}{c}=\sqrt[ n]{\displaystyle\frac{3}{5}}\not\in{\mathbb{Q}} \)
Y eso es absurdo.
Por otro lado, si no impones ninguna condición entre los valores \( a \) y \( b \) y hallases una solución a la ecuación del enunciado, cosa que según lo que estás intentando demostrar sólo es posible para \( n=2 \), se puede considerar, sin pérdida de generalidad \( a>b \) y entonces se tendrá \( 3a^n>2b^n \).
En cuanto a si se puede dar la otra desigualdad, pues si no excluyes el caso \( n=2 \), pueden darse ambas situaciones. Por ejemplo en la terna \( (a,b,c)=(3,4,5) \) puedes conseguir ambas desigualdades permutando la \( a \) con la \( b \), como dice robinlambada. Aunque esto no pasa siempre, por ejemplo con la terna \( (a,b,c)=(20,21,29) \) se da:
\( 3\cdot{20^2}=1200>882=2\cdot{21^2} \)
Y si permutamos, lo mismo:
\( 3\cdot{21^2}=1323>800=2\cdot{20^2} \)
Fíjate, robinlambada, en que la relación que se quiere demostrar no es simétrica.
Para \( n>2 \) no se me ocurre una demostración elemental a partir de las condiciones del enunciado de que siempre se dé \( 3a^n>2b^n \), ni tampoco de que \( a<b\;\Rightarrow{}\;3a^n<2b^n \). Y me parece que estos últimos casos son, precisamente, los que tienen más interés.
Saludos.
