Hola
En mi respuesta 250 cito:
\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) para \( n\geq{3} \)
\( n \) es el mayor valor que cumple el signo > .
Te pongo un ejemplo con la terna \( (11,12,13) \):
\( 11^2+12^2>13^2 \)
\( 11^3+12^3>13^3 \)
\( 11^4+12^4>13^4 \)
\( 11^5+12^5>13^5 \)
\( 11^6+12^6<13^6 \)
Por tanto \( n-1=5 \) ; \( n=6 \)
Sustituyendo:
\( \displaystyle\frac{x_0c^6+a}{b^5}\neq{}\displaystyle\frac{y_0c^6-b}{a^5} \)
No cabe feriva \( n=1,2,3... \)
Para esta terna \( (11,12,13) \) el caso \( n=2 \) está quitado.
Y si \( n=3 \):
\( a^2+b^2>c^2 \).
Saludos.
Sí, ya voy viendo lo que quieres decir, aunque tengo alguna duda.
\( 11^{5}x+12^{5}y=4757545
\)
En efecto es menor que \( 13^{6}
\), pero tomas un caso particular donde las bases son consecutivas, 11 y 12, hay muchos casos distintos donde una base puede ser bastante más pequeña que la otra; y yo ahí no sé qué puede pasar, sinceramente no lo veo claro (no digo que tú no lo veas).
Porque, sean como sean las bases, incluso en este caso que citas, siempre, siempre, existe “k”, porque es una ecuación diofántica de enteros, ya que, se usa \( c^{6}
\) y no “c”:
\( x_{0}=-21229
\)
\( y_{0}=13740
\)
\( k=405888
\).
La demostración sigue consistiendo entonces en poder afirmar que la raíz del entero \( c^{6}
\) o la raíz enésima del entero \( c^{n}
\), no puede ser un entero.
Pongo un ejemplo con bases separadas más distanciadas:
\( 2^{2}x+101^{2}y=104060417
\)
\( x_{0}=386363;\,\, y_{0}=-3
\)
\( k=-39022669
\)
(si no me he equivocado, prueba a ver).
La pregunta es cómo podrías afirmar en este caso particular (sin hacer la cuenta) que la raíz cúbica de 104060417 no es un entero.
Saludos.
