Hola Feriva
Fernando Moreno me dice que visite el hilo en que tú escribes "cometes el mismo error que minette ha venido cometiendo últimamente".
Te ruego por favor contestes a mi respuesta 250 del hilo "¿Qué es lo correcto?".
Saludos.
Hola, minette. La verdad es que tendría que seguir despacio muhcas cosas de las que has escrito para poderte dar una respuesta decente, pero como me lo ruegas no puedo negarme; intentaré ver algo sobre la marcha.
No voy a rebatir ni dejar de rebatir lo que afirmas, sólo te comento cosas.
La ecuación \( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n}
\) (1)
Si a,b son primos entre sí, tiene infinitas soluciones
Sí, si existieran enteros se podría elegir que fueran coprimos, porque para que exista la igualdad con compuestos, primero tiene que existir otra con coprimos; así es, ciertamente.
Coprimos quiere decir lo que quiere decir, son números que no tienen ningún factor en común, así que existe una igualdad tal que el mcd de los sumandos es 1; lo avala la identidad de Bézout. Y la ecuación tendrá infinitas soluciones; cierto también.
Pero cuando se pone la condición de coprimos es para usarla de alguna manera; considerando divisores, paridad y cosas así para intentar llegar a alguna contradicción.
Si no se usan esas cosas, sólo se está diciendo la frase “son coprimos”, que es como decir cualquier otra cosa, como decir que son naturales, reales, reales no enteros... lo que sea.
Porque también existirían infinitas soluciones si no fueran coprimos, la condición para que la ecuación diofántica tenga soluciones no es que sean coprimos, sino que el máximo común divisor de “a” y “b” divida a “c”.
Es algo obvio, el máximo común divisor es un factor común que se puede poner fuera de un paréntesis, por ejemplo:
si “a=2” y “b=14”
\( 2\cdot6+14\cdot3=2(6+21)
\); donde 2 es el máximo divisor común de “a” y “b”.
Entonces claro, \( 2(6+21)=54
\), el factor de fuera divide a 54 (el de dentro también, claro, pero no nos intersa para esto).
Pero siempre puedo dividir a los dos lados por 2 y por 3, y tendré otros números pero una ecuación equivalente de coprimos.
Esta condición es necesaria tenerla en cuenta porque hay ecuaciones que no son diofánticas, como ésta:
\( 2x+4y=7
\)
Si la miras, parece una ecuación diofántica, pero si la miras más despacio te das cuenta de que dos pares no pueden sumar un impar. ¿Tiene soluciones? Sí, pero no enteras, enteras es imposible por lo dicho.
Otro ejemplo podría ser éste mismo:
\( 3x+9y=25
\)
Resulta que a=3 y b=9, los dos múltiplos de tres, así que sumarán un múltiplo de 3, pero 25 no lo es, es imposible que existan soluciones enteras entonces.
Sin embargo existen muchas soluciones.
Cierto es que en estos casos no son coprimos “a” y “b”, pero también podría ser alguno de ellos un no entero, que no tiene primos en común con nadie porque los no enteros no se descomponen en primos; y también habría infinitas soluciones; basta dividir esa última ecuación entre 3
\( x+3y=\dfrac{25}{3}
\)
y queda un no entero por ahí pero sigue teniendo infinitas soluciones.
Si yo demostrara (en igualdades así, sin potencias y con letras) que no pueden existir enteros y solamente usando que “pueden ser comprimos y tener infinitas soluciones...” no podría estar bien, porque no estaría caracterizando esas palabras usadas (enteros, coprimos) y entonces estaría diciendo que no existe solución para esto mismo \( x+3y=\dfrac{25}{3}
\); porque realmente no le habría dicho a los números que no pueden ser no enteros; me lo habría dicho yo, con mis palabras, y me deducción estaría negando también para números no enteros.
Pero con esto no estoy rebatiendo lo que dices porque en lo tuyo hay potencias, usas desigualdades...
Llego hasta aquí, no voy más adelante; te lo dejo simplemente para que repienses si no se te escapa nada.
Saludos.
