El estudio de las ternas pitagóricas (A,B,C) se puede simplificar para el caso de las ternas primitivas, es decir, las ternas en las que \( A, B, C \) son coprimos; dado que, en caso de no serlo, siempre existe una terna primitiva asociada, a la cual podemos llegar simplemente dividiendo por el máximo común divisor:
\( \cancel{d^2}A^2+\cancel{d^2}B^2=\cancel{d^2}C^2 \)
Obviamente, si se demuestra para un cierto caso que no existen ternas primitivas, entonces no pueden existir ternas compuestas; por lo que concluiremos que no existen ternas pitagóricas para ese caso.
Dada la igualdad \( A^2+B^2=C^2 \), se puede demostrar fácilmente —recordando que hacemos la consideración de que los tres son coprimos— que \( A^2 \) y \( B^2 \) han de tener paridad opuesta (par e impar), por lo que \( C^2 \) va a ser impar; el mismo análisis se puede hacer para \( A \), \( B \) y \( C \), dado que las raíces de los cuadrados perfectos pares son también pares; y análogamente ocurre con los impares.
Para verlo, supongamos primero que ambos son pares; en ese caso \( C^2 \) también será par, por lo que los tres serán divisibles por 2 y, en consecuencia, no serán primos relativos; luego queda descartado que ambos sean pares.
Supongamos ahora que \( A \) y \( B \) son ambos impares; en ese caso tendríamos:
\( A=2k_1+1 \) \( B =2k_ 2+1 \)
\( A^2+ B^2=C^2\Rightarrow(2k_1+1)^2+(2k_2+1)^2=C^2 \)
desarrollando llegamos a
\( (2k_1+1)^2+(2k_2+1)^2= 4({k_ 1}^2+k_ 1+{k_ 2}^2+k_ 2)+2=C^2 \)
Y resulta que 2 divide a \( C \), por lo que 4 debería dividir a \( C \cdot C=C^2 \), sin embargo, esto a la vez resulta imposible, ya que:
\( \dfrac{4({k_ 1}^2+k_ 1+{k_ 2}^2+k_ 2)+2}{4}= ({k_ 1}^2+k_ 1+{k_ 2}^2+k_ 2)+0,5 \)
y no puede ser un entero dado que \( k_1 \) y \( k_2 \) son enteros, puesto que consideramos una terna pitagórica.
Entonces, podemos suponer indistintamente que \( A \) es par y \( B \) impar o al revés; elijamos que \( A \) es par y \( B \) impar (da lo mismo porque es cuestión de letras y el orden de los factores no altera la suma).
Ahora despejemos:
\( A^2=C^2-B^2=(C+B)(C-B) \)
Dado que “B” y “C” son impares, tenemos que \( (C+B) \) y \( (C-B) \) son necesariamente pares; al igual que lo es “A”.
Hagamos entonces estos cambios de variable:
\( A=2R,\,\,\,C-B=2S,\,\,\, C+B=2T \)
Sustituyendo en la penúltima igualdad (en la de suma por diferencia, diferencia de cuadrados) tenemos:
\( (2R)^2=(2S)(2T) \) o sea \( R^2=ST \)
Por otra parte, como \( C-B=2S,\,\,\,C+B=2T \) despejando en cada igualdad “C” vemos que
\( C+C=2C=2S+B+(2T-B)=2S+2T \) es decir
\( C=S+T \)
y operando de igual forma con “B” podemos obtener
\( B=T-S \).
Recopilando: \( R^2=ST \) \( C=S+T \) \( B=T-S \).
Como “B” y “C” son coprimos, también tienen que serlo “S” y “T”, dado que de lo contrario existiría un número que dividiría a \( S+T \) y a \( T-S \); es decir, a “C” y a “B”; y entonces no serían coprimos.
Sin embargo \( ST \) es un cuadrado, y entonces, si \( S \) y \( T \) son coprimos, también tienen que ser cuadrados (existe demostración, pero se puede observar trivialmente).
Hagamos pues \( S=M^2 \) y \( T=N^2 \)
Luego sustituyendo aquí \( C=S+T \) \( B=T-S \) queda
\( B=N^2-M^2 \) y \( C=M^2+N^2 \)
Ahora, operando \( A^2=C^2-B^2=(M^2+N^2)^2-(N^2-M^2)^2 \) llegamos a
\( A=2NM \)
Y se puede comprobar que, en efecto, desarrollando
\( (2NM)^2+(N^2-M^2)^2= (M^2+N^2)^2 \)
o sea
\( A^2+B^2= C^2 \)
De esta forma queda demostrado el teorema —atribuido, creo, a Diofanto— que dice:
El conjunto de las ternas pitagóricas es el conjunto de las ternas (y de los múltiplos de las ternas) de la forma
\( (2NM)\,\,(N^2-M^2)\,\,(N^2+M ^2) \) con “N” y “M” coprimos y de paridad distinta.
(quien dice “M” y “N”, dice otras letras, como “a” y “b”, eso es igual).
…...............................................................................................
Ahora, a partir de este teorema, si tenemos la expresión \( (x^2)^2+(y^2)^2=z^2 \), ésta implica necesariamente la existencia de la terna \( (x^2,y^2,z) \) y de las siguientes igualdades:
\( x^2=2NM \) \( y^2=N^2-M^2 \) \( z=N^2+M^2 \)
o con otras letras
\( x^2=2ab \) \( y^2=a^2-b^2 \) \( z=a^2+b^2 \)
Si no existiera la posibilidad de este cambio de variable —por absurdo— entonces no existiría la expresión \( (x^2)^2+(y^2)^2=z^2 \) para números enteros, es decir \( (x^2,y^2,z) \) no sería terna pitagórica. Esto implicaría, también necesariamente, la inexistencia de la expresión \( (x^4+y^4=k^4) \) siendo \( k^4=z^2 \) y, por tanto, implicaría la demostración de (UTF)4.
En la demostración toma la igualdad \( y^2=a^2-b^2 \) y despeja:
\( y^2+b^2= a^2 \)
Una vez más, \( y,b,a \) supone la existencia de una terna pitagórica y, por tanto, podremos aplicar el teorema de Dioafanto haciendo:
\( b=2cd \) \( y=c^2-d^2 \) \( a=c^2+d^2 \), con “c” y “d” coprimos.
Sustituyendo tendremos
\( x^2=2ab=(2^2cd)(c^2+d^2 ) \) con \( c,d,(c^2+d^2 ) \) coprimos.
Entonces, si el producto formado por los factores primos entre sí \( (2^2cd) \) y \( (c^2+d^2 ) \) son iguales a un cuadrado (concretamente a \( x^2 \)) resulta que ambos tienen que ser un cuadrado; y a la vez como \( (2^2cd) \) está formado por los factores “c” y “d” éstos tendrán que ser un cuadrado (por ser primos entre ellos, con 2, y con el otro factor). Y también el factor \( c^2+d^2 \) será un cuadrado
(aunque esto es trivial, se puede ver una demostración aquí:
http://gaussianos.com/descenso-infinito-un-metodo-de-demostracion-poco-conocido/)
Luego nada nos impide hacer: \( c=e^2,\,\,\,d=f^2,\,\,\,c^2+d^2=g^2 \)
Y por las igualdades anteriores \( a=c^2+d^2=e^4+f^4=c^2+d^2=g^2 \)
o sea, queda claro que
\( e^4+f^4=g^2 \)
Como \( z=a^2+b^2 \) entonces \( z>a^2 \) y como \( a^2=g^2 \) entonces \( z>g^2;\,\,\,z>g \).
Habíamos partido de la terna que da lugar a la expresión \( (x^4+y^4=z^2 \) y hemos encontrado otra terna que da lugar a una expresión de la misma forma pero con valores más pequeños: \( e^4+f^4=g^2 \). Nada impide, tampoco, repetir el procedimiento con esta nueva igualdad hasta llegar a una expresión de la misma forma con valores menores; y así sin fin. Pero los números naturales están acotados por la izquierda y resultará en algún momento que los valores serán no enteros y menores que la unidad; esto implica, en general, que no exista una terna que lleve a la forma \( e^4+f^4=g^2 \) (da igual con qué letras lo representemos, pues no hemos partido de valores concretos, sino de una generalidad).
