[Luis Fuentes]

Hola

Al final de tu respuesta 88 dices "Pero con la observación de que consideras \( x_0 \) , \( y_0 \) positivos."

No se pueden considerar \( x_0 \) , \( y_0 \) ambos  positivos porque no se cumpliría la identidad de Bèzout.

Relee con calma mi mensaje. Para considerar ambos positivos estoy reescribiendo la indentidad de Bezout como:

\( -a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \) (ojo al signo menos que ahora acompaña al primer término).

Si quieres mantener la identidad de Bezout tal como tu la escribes, sin ese signo menos:

\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)

Entonces está mal que escribas:

valores de \(  K \)  positivos según:

\( K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}  \) ; \( K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

Fíjate que en ese caso si \( K_1=K_2=k \) tendrías:

\( a=b^{n-1}k-x_0c^{n} \)
\( b=y_0c^n-ka^{n-1} \)

\( a^n+b^n=a^{n-1}a+b^{n-1}b=a^{n-1}b^{n-1}k-a^{n-1}x_0c^{n}+b^{n-1}y_0c^n-kb^{n-1}a^{n-1}=c^n(-a^{n-1}x_0+b^{n-1}y_0) \)

Para que esa expresión termine siendo finalmente \( c^n \) necesitas que:

\( -a^{n-1}x_0+b^{n-1}y_0=1 \) (con el signo menos delante)

y NO que:

\( a^{n-1}x_0+b^{n-1}y_0=1 \) (sin el signo menos).

Saludos.

[minette]

Hola,

Veamos si consigo explicarme bien.

\( a^{n-1}(\pm x_{0})+b^{n-1}(\mp y_{0})=1 \)
 

\( a^{n-1}(\pm x_{0})c^{n}+b^{n-1}(\mp y_{0})c^{n}=c^{n} \)
 

las infinitas raíces de esta ecuación para \( x_{0}= \) negativo; \( y_{0}= \) positivo son:

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}  \) ; \( x=a\rightarrow K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1} \)   ; \( y=b\rightarrow K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Si \(  x_{0}= \) positivo ; \( y_{0}= \) negativo

\( x=(+x_{0})c^{n}+Kb^{n-1} \)  ; \( x=a\rightarrow K=\frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(-y_{0})c^{n}-Ka^{n-1} \)  ; \( y=b\rightarrow K=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

Creo que es lo mismo que tu me indicas. Gracias

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,

Veamos si consigo explicarme bien.

\( a^{n-1}(\pm x_{0})+b^{n-1}(\mp y_{0})=1 \)
 

\( a^{n-1}(\pm x_{0})c^{n}+b^{n-1}(\mp y_{0})c^{n}=c^{n} \)
 

las infinitas raíces de esta ecuación para \( x_{0}= \) negativo; \( y_{0}= \) positivo son:

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}  \) ; \( x=a\rightarrow K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1} \)   ; \( y=b\rightarrow K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

Está bien, salvo con el matiz de que tal como lo escribes \( x_0 \) finalmente no es negativo sino positivo; lo que es negativo es \( -x_0 \) que es lo que usas en la fórmula.

Lo que quieres decir es que el coeficente que multiplica a \( a^{n-1} \) en la ecuación de Bezout es negativo.

Saludos.

[minette]

Hola

Cuando escribo

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1} \)
 

Empleo \( -x_0 \)

lo que ocurre es que al despejar

\( K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

forzosamente en esta fracción \( x_0 \) aparece como positivo. Y si aparece como positivo es porque inicialmente es \( (-x_0) \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Cuando escribo

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1} \)
 

Empleo \( -x_0 \)

lo que ocurre es que al despejar

\( K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

forzosamente en esta fracción \( x_0 \) aparece como positivo. Y si aparece como positivo es porque inicialmente es \( (-x_0) \).

No sé si merece la pena seguir con este detalle, en mi opinión no. Pero en fin.

Lo que quiero decir es que tu aparentemente confundes que una variable tome un valor positivo o negativo, con que esa variable lleve delante en una ecuación el signo más o el signo menos.

Por ejemplo si tenemos la ecuación:

\( x+y=2 \)

los valores \( x=-5 \) e \( y=7 \) cumplen la ecuación. Y en ese caso \( x \) es negativo.

Si ahora reescribirmos la ecuación como:

\( -x+y=2 \)

entonces ahora la solución análoga es \( x=5 \) e \( y=7 \). Ahora x es positivo.

Saludos.

[minette]

Hola

Gracias.

Saludos.

[minette]

Hola,

Aunque con retraso, con bastante retraso, voy a contestar a la respuesta 86 de el_manco.

Conozco bien, creo que bastante bien, la historia de los distintos intentos de demostrar el UTF.

Todos los intentos se han basado en demostrarlo para un valor concreto del exponente n. O bien para una gama concreta de valores de \( n \): de tal valor a tal otro valor.

Pero, que yo sepa, nadie ha traducido, digámoslo así la expresión \( a^n+b^n\neq{c^n} \)  a otra, tal que demostrándola valdría para TODOS los valores de \( n \). Excepción hecha de Wiles.

Si estoy equivocada, por favor, hacédmelo notar.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Aunque con retraso, con bastante retraso, voy a contestar a la respuesta 86 de el_manco.

Conozco bien, creo que bastante bien, la historia de los distintos intentos de demostrar el UTF.

Todos los intentos se han basado en demostrarlo para un valor concreto del exponente n. O bien para una gama concreta de valores de \( n \): de tal valor a tal otro valor.

Los intentos a los que me refiero y que se parecen a los tuyos no los encontrarás en la literatura, porque aunque son valorables desde el punto de vista personal (que alguien discurra algo para enfrentarse al Teorema de Fermat es digno de elogio), son irrelevantes desde el punto de vista científico, porque como ocurre en tu caso ni han llegado a buen puerto ni hay ningún indicio de que puedan facilitar la prueba.

Si estoy equivocada, por favor, hacédmelo notar.

Si puedes encontrar muchos de ellos en este foro. Por ejemplo:

 - Aquí: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=29191.0. Sin entrar en detalles reduce la ecuación a otra (con ciertas condiciones de los coeficientes):

\( (x-y)(y-pqr)M=p^nq^nr^n \)

 En ese mismo hilo hay otros enfoques, todos fallidos.

- Aquí: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=15138.0. Se propone la formulación equivalente:

La idea es la siguiente, sean A un número racional comprendido entre 0 y 1 y sea la sucesión:

\( A_n=(1-A^n)^{1/n} \)

Bastaría demostrar que:

\( (A_n \not\in{Q})\Rightarrow{}(A_{n+1}\not\in{Q})  \)            Todos los términos que siguen a uno irracional son a su vez irracionales

 
 pero no se puede concluir nada útil de ahí.

 Está bien la idea (pulida)... pero no lleva a nada. No se puede llevar a cabo.

 - Aquí: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=51372.0 Otra reformulación que no lleva a nada:

Donde parto de la convención de considera (Z,X,Y) como números naturales, primos entre sí, y siendo (Z,Y) impares, X par.

\( (Z,X,Y)\in{N}

mcd (Z,X,Y) =1 \)

De ahí defino los otros términos: a,b,r, A, B, R

\( r= x+y-z

a= x-r = z-y

b= y-r = z-x
 \)

De manera similar defino a A, B, R


\( R= X^{n-1} + Y^{n-1} - Z^{n-1}

A= Z^{n-1} - Y^{n-1}

B= Z^{n-1} - X^{n-1}
 \)

Y como ya habréis deducido, se cumple el caso

\( Z^n= X^n+Y^n \)

sí y sólo si:

\( rR= aB+bA \)

- Aquí: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=39466.0. Nueva reformulación inútil:

1) Fijado \( n\geq 3 \) supongamos que existe una solución no trivial entera de:

 \( x^n+y^n=z^n \)

 2) Si logramos encontrar un número primo \( p \) tal que:

 2.1) \( x^n\equiv -y^n \) mod \( p \).
 2.2)  \( p \) no dividiendo a \( z \).

 Entonces módulo \( p \) tendríamos que:

 \( x^n+y^n\equiv 0\not\equiv z^n \)

 y por tanto es imposible la igualdad supuesta en uno.

 Entonces "sólo" debemos de justificar la existencia de ese \( p \) primo en las condiciones 2.1) 2.2).

 Y en fin.. si rebuscas en la sección que tenemos en el foro dedicada al Teorema de Fermat todavía hay más.,,

Saludos.

[minette]

Hola

Dadas las fracciones

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)  ; \(  \frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Si estas fracciones son iguales también lo serán sus cuadrados. Y, recíprocamente, si sus cuadrados no son iguales, las fracciones tampoco lo serán.

Suponiendo que los cuadrados son iguales se llega a:

\( c^{n}(2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1})+a^{2n}=c^{2n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})+b^{2n} \)
 

dividiendo por \( c^{n} \)  :

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}+a^{n}=c^{n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})+b^{n} \)
 

Siendo \( b^{n}>a^{n} \)   para que la igualdad sea posible

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}>c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}y_{0}b^{n-1}>c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 
\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}(x_{0}a^{n-1}+1)>c^{n}(x_{0}a^{n-1}+1)+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)

\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}>c^{n}x_{0}a^{n-1}+c^{n}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

dividiendo por \( x_{0}a^{n-1} \)   :

\( 2a^{n}+2b^{n}+\frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}>c^{n}+\frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+c^{n} \)
 

\( \frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}>\frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}
 \)

\( \frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+a^{n} \)  ?\(  \frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+b^{n} \)
 

Para que el ? sea = :

\( \frac{2b^{n}-c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}=b^{n}-a^{n} \)
 

\( 2b^{n}-c^{n}  \)  ? \( (b^{n}-a^{n})x_{0}a^{n-1} \)
 

\( b^{n}-a^{n} \)  ?\(  (b^{n}-a^{n})x_{0}a^{n-1} \)
 

\( 1<x_{0}a^{n-1} \)
 

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Repites un error que ya has cometido antes varias veces:

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)  ; \(  \frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Si estas fracciones son iguales también lo serán sus cuadrados. Y, recíprocamente, si sus cuadrados no son iguales, las fracciones tampoco lo serán.

Suponiendo que los cuadrados son iguales se llega a:

\( c^{n}(2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1})+a^{2n}=c^{2n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})+b^{2n} \)
 

dividiendo por \( c^{n} \)  :

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}+a^{n}=c^{n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})+b^{n} \)
 

Siendo \( b^{n}>a^{n} \)   para que la igualdad sea posible

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}>c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}y_{0}b^{n-1}>c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 
\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}(x_{0}a^{n-1}+1)>c^{n}(x_{0}a^{n-1}+1)+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)

\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}>c^{n}x_{0}a^{n-1}+c^{n}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

dividiendo por \( x_{0}a^{n-1} \)   :

\( 2a^{n}+2b^{n}+\frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}>c^{n}+\frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+c^{n} \)
 

\( \frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}>\frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}
 \)

\( \frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+a^{n} \)  ?\(  \frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+b^{n} \)

Partes de la igualdad en azul, de la cuál extraes un trozo de los términos de izquierda y derecha afirmando que uno es mayor que el otro. Eso es correcto.

Pero el problema es que luego manipulas esa desigualdad entre esos trozos, la simplificas, incluso la divides por algo y luego pretendes que al volverle a sumar los factorez que dejaste fuera originalmente se mantenga la igualdad, lo cuál no tiene porque ser así.

Para entenderlo mejor, es como si dices que:

\( 8+9=4+13 \)

Como \( 9<14 \) entonces:

\( 8>4 \)

Dividimos por \( 4 \):

\( 2>1  \)

y ahora pretendes que al volver a sumar \( 9 \) y \( 13 \) se tenga la igualdad:

\( 2+9=1+14 \)

lo cual obviamente no se cumple.

Saludos.