Hola
Recapitulemos,
La identidad de Bèzout:
\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)
no tiene una unicidad de valores para \( x_{0} \), \( y_{0} \) .
\( a \) , \( b \) son enteros primos entre sí.
Puede darse \( x_{0} \)= negativo ; \( y_{0} \)= positivo.
valores de \( K \) positivos según:
\( K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \) ; \( K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
En realidad si partes de:
\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)
tendrías que:
\( a^{n-1}x_0c^n+b^{n-1}y_0c^n=c^n \)
Las distintas soluciones enteras de la ecuación \( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^n \) son de la forma:
\( (x,y)=(x_0c^n,y_0c^n)+k(b^{n-1},-a^{n-1}) \)
Si pretendemos que \( (a,b) \) sea solución:
\( (a,b)=(x_0c^n,y_0c^n)+k(b^{n-1},-a^{n-1}) \)
Y de ahí despejando \( k \):
\( k=\dfrac{a-x_0c^n}{b^{n-1}}=K_1 \)
\( k=\dfrac{y_0c^n-b}{a^{n-1}}=K_2 \)
Lo que pasa es que tu quieres decir otra cosa. Si \( x_0 \) es negativo e \( y_0 \) positivo, reescribes la ecuación de Bezout de otra forma para que \( x_0,y_0 \) siempre sean ambos números positivos quedándote:
\( -a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)
\( -a^{n-1}x_0c^n+b^{n-1}y_0c^n=c^n \)
Ahora las distintas soluciones enteras de la ecuación \( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^n \) son de la forma:
\( (x,y)=(-x_0c^n,y_0c^n)+k(b^{n-1},-a^{n-1}) \)
Si nuevamente pretendemos que \( (a,b) \) sea solución:
\( (a,b)=(-x_0c^n,y_0c^n)+k(b^{n-1},-a^{n-1}) \)
Y de ahí despejando \( k \):
\( k=\dfrac{a+x_0c^n}{b^{n-1}}=K_1 \)
\( k=\dfrac{y_0c^n-b}{a^{n-1}}=K_2 \)
que es lo que has escrito. Pero con la observación de que consideras \( x_0,y_0 \) positivos. Está bien con el matiz que he indicado.
Lo mismo para el otro caso.
Saludos.
