[minette]

Hola

Gracias Feriva por tu respuesta.

Voy a ser mas concreta:

Supongamos que \( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

y también que \( \frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
 

Supongo ahora que estas dos desigualdades son igualdades.

Entonces la suma de los dos primeros miembros ha de ser igual a la suma de los dos segundos miembros:

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}+\frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}}+\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
 

\( \frac{2x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{2y_{0}c^{n}}{a^{n-1}}\rightarrow2x_{0}c^{n}a^{n-1}=2y_{0}c^{n}b^{n-1} \)
 

\( x_{0}a^{n-1}\neq y_{0}b^{n-1} \)
 

Cabe inferir entonces que \( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

o bien que \( \frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
 

¿Puedo ocurrir que estas dos desigualdades se den simultáneamente?

Saludos.

[feriva]

Hola

Gracias Feriva por tu respuesta.

 
¿Puedo ocurrir que estas dos desigualdades se den simultáneamente?

De nada.

Pues lo que puedo hacer es operar un poco y mirar a ver qué veo:

\( {\displaystyle \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}}}
  \)

Multiplicando en cruz

\( a^{n-1}x_{0}c^{n}+a^{n}\neq b^{n-1}y_{0}c^{n}-b^{n}
  \)

despejando

\( a^{n}+b^{n}\neq b^{n-1}y_{0}c^{n}-a^{n-1}x_{0}c^{n}
  \)

y sacando factor común

\( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})
  \)

llegamos aquí:

\( \left(\dfrac{a}{c}\right)^{n}+\left(\dfrac{b}{c}\right)^{n}\neq b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0}
  \)

Con la otra llegaríamos aquí:

...

\( \left(\dfrac{a}{c}\right)^{n}+\left(\dfrac{b}{c}\right)^{n}\neq a^{n-1}x_{0}-b^{n-1}y_{0}
  \)

Sumando ambas tenemos

\( 2\left(\dfrac{a}{c}\right)^{n}+{\color{red}2}\left(\dfrac{b}{c}\right)^{n}\neq0
 
  \)

o sea

\( a^{n}+b^{n}\neq0\Rightarrow a^{n}\neq-b^{n}
  \)

Y hasta aquí llego, eso es lo que pasa, si no me he equivocado.

Saludos.

[minette]

Hola Feriva

Aunque el paréntesis \( (\displaystyle\frac{b}{c})^n \) le falta un 2 delante, o sea \( 2(\displaystyle\frac{b}{c})^n \), tu razonamiento es correcto:

La suma de dos igualdades produce una desigualdad. Entonces, como mínimo, una de las dos igualdades es una desigualdad.

Insisto en mi pregunta:

¿Puede ser que ambas presuntas igualdades fueran desigualdades?

Espero no molestarte si digo que echo de menos la opinión de el_manco.

Saludos.

[feriva]

Espero no molestarte si digo que echo de menos la opinión de el_manco.

Saludos.

 En absoluto, cómo me va a molestar eso; quién no echa de menos la opinión de el_manco cuando tiene una duda.

 Yo no sé decirte más, eso eso es lo que veo.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Puede ser que ambas presuntas igualdades fueran desigualdades?

Lo que has razonado es que no es posible que simultáneamente se cumpla que:

\( \dfrac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}=\dfrac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

y

\( \dfrac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}=\dfrac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)

Queda abierta cualquier otra posiblidad: que las dos sean desigualdades, o que lo sea una sola de ellas.

Saludos.

[minette]

Hola

Dada la ecuación diofántica

\( 25x+64y=1 \)
 

Demostrar quelos valores de \( x \), \(  y \)   se obtienen así:

\( x=64T+41 \)
 

\( y=-25T-16 \)
 

Siendo \( T  \)  un entero positivo o negativo.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Dada la ecuación diofántica

\( 25x+64y=1 \)
 

Demostrar quelos valores de \( x \), \(  y \)   se obtienen así:

\( x=64T+41 \)
 

\( y=-25T-16 \)
 

Siendo \( T  \)  un entero positivo o negativo..

Está explicado aquí en general:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=26781.0

¿Hay algún paso que no entiendas?.

Saludos.

[feriva]

Demostrar quelos valores de \( x \), \(  y \)   se obtienen así:

Hola, minette. Me acuerdo de haberte puesto algo en otro post sobre esto, pero como no tengo sueño me he entretenido en hacerlo... y, vaya por Dios, no me da eso, he demostrado otra cosa (aunque funciona también).

Primero dividimos el mayor entre el menor, después el divisor (el menor) entre el resto que ha quedado y así sucesivamente hasta que el resto es el anterior a cero.

\( 25x+64y=1 \)

1ª \( \dfrac{64}{25}\Rightarrow64=2\cdot25+14
  \)

2ª \( \dfrac{25}{14}\Rightarrow25=1\cdot14+11
  \)

3ª \( \dfrac{14}{11}\Rightarrow14=1\cdot11+3
  \)

4ª \( \dfrac{11}{3}\Rightarrow11=3\cdot3+2
  \)

5ª \( \dfrac{3}{2}\Rightarrow3=1\cdot2+1
  \)

...

Ahora, en la quinta ecuación, vamos a ir susituyendo sucesivamente los restos de la 4ª, 3ª, etc., tal como se ve según el color azul que va indicando los cambios:

4ª \( 11-3\cdot3={\color{blue}2}\Rightarrow
  \)

5 ª\( 3=1\cdot{\color{blue}2}+1\Rightarrow
  \)

5ª \( 3=1\cdot({\color{blue}11-3\cdot3})+1
  \)

...

3ª \( 14-1\cdot11={\color{blue}3}
  \)

5ª \( 3=(11-3\cdot{\color{blue}3})+1
  \)

5ª \( 3=(11-3\cdot{\color{blue}(14-11)})+1
  \)

5ª \( 14-1\cdot11=-3\cdot14+4\cdot11+1
  \)

En este punto basta cambiar sólo uno de los treses del producto, pues va a quedar en cualquier caso, como se ve, un múltiplo de 11 y otro de 14, y después vamos a cambiar en función de esos restos. Pero no hay que dejar de sustituir el del otro lado de la igualdad porque, si no, ya no lo podríamos cambiar después (ya no se pone el 3 en función de nada porque ya se ha usado); y, además, viendo esto, es el momento adecuado para despejar el mcd, que es 1 en este caso y lo tenemos ahí esperando.

5ª \( -1=-3\cdot14+4\cdot11-14+11
  \)

5ª \( -1=-4\cdot14+5\cdot11
  \)

5ª \( 1=4\cdot14-5\cdot11
  \)

...

2ª \( 25-14={\color{blue}11}
  \)

5ª \( 1=4\cdot14-5\cdot11
  \)

5ª \( 1=4\cdot14-5\cdot({\color{blue}25-14})
  \)

5ª \( 1=9\cdot14-5\cdot25
  \)

...

1ª \( 64-2\cdot25={\color{blue}14}
  \)

5ª \( 1=9\cdot({\color{blue}64-2\cdot25})-5\cdot25
  \)

5ª \( 1=9\cdot({\color{blue}64-2\cdot25})-5\cdot25
  \)

5ª \( 1=-23\cdot25+9\cdot64
  \)

Ésa es una solución particular, con coeficientes 9 y -23 para los números 64 y 25 respectivamente

(en cuanto a la demostración de la general, aparte del enlace de el_manco, te la puse yo también por ahí en el otro post )

Tendríamos entonces

\( x=-23+64t
  \)

\( y=9-25t
  \)

de tal forma que

\( (-23+64t)\cdot25+(9-25t)\cdot64=1
  \)

Saludos.

[minette]

Hola Feriva

En el hilo que me recomienda el_manco no llego a encontrar la demostración.

Respecto a tí, yo también recuerdo que fuste tú quien me facilitó las formulas que cito.

He intentado encontrarlas otra vez pero no me ha sido posible.

No entiendo cómo han podido desaparecer.

Saludos.

[feriva]

Hola Feriva

No entiendo cómo han podido desaparecer.

Saludos.

Hola, minette.

No habrá desaparecido, lo que pasa es que el foro ya es como la biblioteca de Alejandría, se pierde uno.

Pero no importa porque he encontrado el borrador que tenía guardado:

Para demostrarlo planteamos un sistema de dos ecuaciones

\( ax+by=c
   \)

\( ax_{0}+by_{0}=c
   \)

Porque \( x_{0}  \) es también “x”, es uno de los valores de “x”, y lo mismo pasa con “y”, así que ambas expresiones darán un mismo resultado “c”.

Restando a la primera ecuación la segunda, y sacando factores comunes “a” y “b”, tenemos:

\( a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=c-c
   \)

\( a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0
   \)

y de ahí llegamos a

\( a(x-x_{0})=-b(y-y_{0})
   \)

o lo que es igual

\( a(x-x_{0})=b(y_{0}-y)
   \)

Ahora dividimos entre el m.c.d de “a” y “b” (al que llamamos “d”) a los dos lados:

\( \dfrac{a}{d}(x-x_{0})=\dfrac{b}{d}(y_{0}-y)
   \)

Al hacer esto, los valores “a” y “b” han sido divididos por todos sus factores comunes, así que “a/d” y “b/d” son coprimos.

Entonces, si ahora dividimos entre (a/d) a los dos lados, nos queda

\( (x-x_{0})=\dfrac{(\dfrac{b}{d})(y_{0}-y)}{(\dfrac{a}{d})}
   \)

Como \( (x-x_{0})
   \) es un entero, el otro miembro de la igualdad también lo es, y al no dividir “a/d” a “b/d”, por ser coprimos, tiene que dividir a \( (y_{0}-y)
  \) para que \( (x-x_{0})
  \) sea entero, como es obvio.

Esto implica, naturalmente, que \( (y_{0}-y)
  \) se pueda expresar en función de este divisor suyo \( \dfrac{a}{d}
   \) multiplicado por un cierto entero “k”:

\( y_{0}-y=k\cdot\dfrac{a}{b}
   \)

de donde despejando tenemos el valor de “y”:

\( y=y_{0}-k\cdot\dfrac{a}{d}
  \)

Con el mismo razonamiento, siguiendo los pasos análogos, llegaremos a obtener la expresión para “x”:


Saludos.