[minette]

Hola

Comprobemos y observemos ahora la dificultad de demostrar la desigualdad (2)

\( y_{0}b^{n-1}(2b^{n}-c^{n})\rightarrow POSITIVO \)
 

\( x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n})\rightarrow NEGATIVO \)
 

\( y_{0}b^{n-1}(2b^{n}-c^{n})-x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n})\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

Si aplicamos \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \):
 

\( y_{0}b^{n-1}(b^{n}-a^{n})-x_{0}a^{n-1}(b^{n}-a^{n})\neq\frac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{(b^{n}+a^{n})} \)
 

dividiendo po r\(  (b^{n}-a^{n}) \):
 

\( y_{0}b^{n-1}-x_{0}a^{n-1}=1 \)
 

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n}  \) la podemos presentar así:

\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n}  \) (1) (ECUACIÓN DIOFÁNTICA LINEAL)

Aplicando Bèzout \( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)

Creo que ahí te has comido un signo menos (que si pones en las siguientes ecuaciones):

 \( a^{n-1}\color{red}(-x_{0})\color{black}+b^{n-1}y_{0}=1 \)
 

Multiplicando por \(  c^{n} \)

\( a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n} \)
 
Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtienen así:

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0}c^{n})-Ka^{n-1}=b\rightarrow K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

\( K_{1}  \) ha de ser igual a \( K_{2} \)  y ser un entero.

\( a^{n}=a^{n-1}\cdot a \)  ; \( b^{n}=b^{n-1}\cdot b \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)
 

Siendo el paréntesis 1 ; si la conjetura de Fermat es cierta los valores de \( K \)  han de ser distintos.

Igualamos las fracciones, elevamos al cuadrado, multiplicamos en cruz y dividimos por \( c^{n} \) :

(hasta ahora no nos hemos movido de los enteros).

Y es así como llegamos a

(2) \( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1}=\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

Hasta aquí, ¿ves esto correcto?

De acuerdo.

Sólo un matiz tu dices: "hasta ahora no nos hemos movido de los enteros". Bien pero eso no contradice el hecho de que todos los razonamientos que has hecho siguen siendo igualmente válidos para números NO enteros.

Spoiler

Con esto quiero decir que aunque yo comience un argumento, el que sea, como: "Sean \( x,y \) enteros; entonces \( x^2-y^2=(x-y)(x+y) \)", eso no contradice que esa misma identidad \( x^2-y^2=(x-y)(x+y) \) sea también cierta para \( x,y \) NO enteros. De manera que en lo ahí escrito el razonamiento sería válido para enteros y para no enteros.

[cerrar]

Comprobemos y observemos ahora la dificultad de demostrar la desigualdad (2)

\( y_{0}b^{n-1}(2b^{n}-c^{n})\rightarrow POSITIVO \)
 

\( x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n})\rightarrow NEGATIVO \)
 

\( y_{0}b^{n-1}(2b^{n}-c^{n})-x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n})\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

Si aplicamos \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \):
 

\( y_{0}b^{n-1}(b^{n}-a^{n})-x_{0}a^{n-1}(b^{n}-a^{n})\neq\frac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{(b^{n}+a^{n})} \)
 

dividiendo po r\(  (b^{n}-a^{n}) \):
 

\( y_{0}b^{n-1}-x_{0}a^{n-1}=1 \)
 

Aquí haces unas cuentas con la igualdad (2) para terminar llegando de nuevo a la igualdad de Bezout de la que habías partido. Es un razonamiento circular que no lleva a ninguna conclusión útil.

Saludos.

[minette]

Hola

Gracias el_manco.

Me pones el ejemplo \( x^2-y^2 \).

Te recuerdo que trabajo con una ecuación diofántica lineal:

Se llama ecuación diofántica lineal a cualquier ecuación algebraica de dos incógnitas, cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan raices enteras, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números enteros.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Me pones el ejemplo \( x^2-y^2 \).

Te recuerdo que trabajo con una ecuación diofántica lineal:

Se llama ecuación diofántica lineal a cualquier ecuación algebraica de dos incógnitas, cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan raices enteras, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números enteros.

Pues sigues sin entender. Ya no sé como explicarlo. Un último intento.

Comienzas así:

La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n}  \) la podemos presentar así:

\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n}  \) (1) (ECUACIÓN DIOFÁNTICA LINEAL)

Esa ecuación sigue teniendo sentido aunque \( a,b,c,x,y \) no sean enteros.

Aplicando Bèzout \( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)

Aunque \( a,b \) no sean enteros igualmente existen números reales \( x_0,y_0 \) verificando la igualdad de Bezout. Luego sigue teniendo sentido para números reales.
 

Multiplicando por \(  c^{n} \)
 
\( a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n} \)

Si multiplicas por \( c^n \) la ecuación de Bezout llegas a la que indicas independientemente de que \( a,b,c,x_0,y_0 \) sean o no enteros.
 

Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtienen así:

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0}c^{n})-Ka^{n-1}=b\rightarrow K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

Igualmente las raíces de la ecuación (1) se pueden obtener así incluso en el caso de que todos los números implicados sean reales.
 

\( K_{1}  \) ha de ser igual a \( K_{2} \)  y ser un entero.

\( k_1 \) ha de ser igual \( k_2 \) aunque no sean enteros.

\( a^{n}=a^{n-1}\cdot a \)  ; \( b^{n}=b^{n-1}\cdot b \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)

Esas tres igualdades siguen siendo ciertas aunque los números implicados no sean enteros....
 
Y en fin.. etcétera..etcétra..etcétera...

Saludos.

[minette]

Hola

Si yo consigo demostrar que \( K_1\neq{K_2} \) (y lo superdifícil que es lograrlo me sugiere que es un  muy buen camino) habré demostrado el UTF.

Fermat siempre se refirió a enteros en su conjetura y habría aceptado mi demostración.

El hecho de que esa demostración no es válida para números no enteros, a Fermat le hubiera importado muy poco.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Si yo consigo demostrar que \( K_1\neq{K_2} \) (y lo superdifícil que es lograrlo me sugiere que es un  muy buen camino) habré demostrado el UTF.

Si, eso no te lo discuto (salvo la percepción de que eso sea un buen camino, que yo no la tengo; pero es es subjetivo e intrascendente).

Si logras demostrar que \( k_1\neq k_2 \) habrás demostrado el UTF.

Todo lo que te comento no es para negar lo anterior. Lo que quiero decir que si en tu candidata demostración, no usas en algún momento de manera decisiva que los números de manejas son enteros, seguro que por en medio esa demostración tiene un error.

Fíjate que si la demostración estuviese bien, eso no iba a ocurrir. Es decir si está bien, con toda seguridad en algún sitio tendrías que usar de manera decisiva el carácter entero de los números implicados. Es decir tiene que haber algún paso ineludible que sea cierto para números enteros, pero no para números reales.

En tus intentos recientes no hay tal paso: eso es un indicio de que estaban mal. No debes de olvidar además que en todo los casos e independientemente de estas últimas reflexiones te he mostrado el error concreto.

Si por fin entiendes todo esto, en tus futuros intentos de demostraciones deberías de comprobar tu misma si hay algún paso en el que usas de manera decisiva (no vale simplemente decir "que son enteros", sino dejar claro que si no fuesen enteros ese paso en concreto ya no sería cierto) que las variables son enteras; porque si no lo encuentras, ten por seguro que tu intento de demostración está mal.

Saludos.

[minette]

Hola el_manco

Paso a referirme a tu respuesta 42.

No intento rebatirla porque, vieniendo de quien viene, tiene que ser correcta.

Me limito a hacer unas cuentas en relación a la terna (5,8,9).

\( n=3 \)   ; \( x_{0}=-23 \)   ; \( y_{0}=+9 \)
 

\( 2x_{0}a^{2n-1}=+143750 \)
 

\( 2y_{0}b^{2n-1}=+589824 \)
 

\( Suma =  +733574 \)
 


\( c^{n}y_{0}b^{n-1}=-419904 \)
 

\( c^{n}x_{0}a^{n-1}=-419175 \)
 

\( Suma =-839079 \)
 

Con lo cual la suma de los cuatro términos es \( -105505 \)
 

Recurriendo a las fracciones:

\( \frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}}=1,916 \)
 

La diferencia a favor negativo es \( +143750  -419175=-275425 \)
 

Esta cifra \( -275425    \)se deduce también así:

\( 143750x1,916=275425  \) (con signo negativo)

La diferencia a favor positivo es \( 589824-419904=+169920 \)
 

\( \frac{2b^{n-c^{n}}}{2b^{n}}=0,288085937 \)
 

La cifra +169920   se deduce también así:

\( 589824x0,288085937=+169920 \)
 

Finalmente

\( -275425+169920=-105505 \)
 

Una vez he dividido los cuatro sumandos por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}  \)  me limito a aplicar la propiedad asociativa de la suma.

Por favor te ruego tus comentarios al respecto.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

No intento rebatirla porque, vieniendo de quien viene, tiene que ser correcta.

Me limito a hacer unas cuentas en relación a la terna (5,8,9).

\( n=3 \)   ; \( x_{0}=-23 \)   ; \( y_{0}=+9 \)
 

\( 2x_{0}a^{2n-1}=+143750 \)
 

\( 2y_{0}b^{2n-1}=+589824 \)
 

\( Suma =  +733574 \)
 


\( c^{n}y_{0}b^{n-1}=-419904 \)
 

\( c^{n}x_{0}a^{n-1}=-419175 \)
 

\( Suma =-839079 \)
 

Con lo cual la suma de los cuatro términos es \( -105505 \)
 

Recurriendo a las fracciones:

\( \frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}}=1,916 \)
 

La diferencia a favor negativo es \( +143750  -419175=-275425 \)
 

Esta cifra \( -275425    \)se deduce también así:

\( 143750x1,916=275425  \) (con signo negativo)

La diferencia a favor positivo es \( 589824-419904=+169920 \)
 

\( \frac{2b^{n-c^{n}}}{2b^{n}}=0,288085937 \)
 

La cifra +169920   se deduce también así:

\( 589824x0,288085937=+169920 \)
 

Finalmente

\( -275425+169920=-105505 \)
 

Una vez he dividido los cuatro sumandos por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}  \)  me limito a aplicar la propiedad asociativa de la suma.

Por favor te ruego tus comentarios al respecto.

Pues no sé que quieres que te comente. Lo que yo dije en mi respuesta 42 que resumo aquí:

¡Pero, y esta es la clave, el primer par con el \( y_0 \) simplificado, es decir, multiplicado por \( y_0 \) y el segundo multiplicado por \( x_0 \)! Pretendes que la comparación que haces entre esas dos magnitudes multiplicadas por factores distintos te se mantenga en la expresión inicial, olvidando que los has perturbado de manera diferente.

La comparativa que haces de unos términos antes de multiplicarlos o dividirlos por unos ciertos factores diferentes, no tiene porqué mantererse. No nos permite concluir nada. Dependiendo de los números concretos habrá casos en los que se mantenga y habrá casos en los que no se mantenga.

Así que el ejemplo no aporta nada.

Saludos.

[minette]

Hola

Supongamos que \( \frac{A}{A'}\neq{}\frac{B}{B'} \)
 

y también que \( \frac{C}{A'}\neq\frac{D}{B'} \)
 

Queremos demostrar estas desigualdades suponiendo sus igualdades:

\( \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'} \)
 

\( \frac{C}{A'}=\frac{D}{B'} \)
 

Si esto ocurre: \( \frac{A}{A'}+\frac{C}{A'}=\frac{B}{B'}+\frac{D}{B'} \)
 

Pero entonces se comprueba que

\( \frac{A}{A'}+\frac{C}{A'}\neq\frac{B}{B'}+\frac{D}{B'} \)
 

Cabe inferir entonces que \( \frac{A}{A'}\neq\frac{B}{B'} \)
 

o bien que \( \frac{C}{A'}\neq\frac{D}{B'} \)
 

¿Puede ocurrir que estas dos desigualdades se den simultáneamente?

Datos:\(  A>B \);   \( A'>B' \)  ; \(  C>D \)  ; \(  A>C \)   ; \(  B<D \)
 

todas las letras son enteros. Y las fracciones también.

Saludos.

[feriva]

 
¿Puede ocurrir que estas dos desigualdades se den simultáneamente?

Datos:\(  A>B \);   \( A'>B' \)  ; \(  C>D \)  ; \(  A>C \)   ; \(  B<D \)
 
todas las letras son enteros. Y las fracciones también.

Hola, minette, cuánto tiempo sin verte.

Pues creo que sí, si no me he equivocado al buscar los ejemplos:

\( \dfrac{A}{A^{'}}=\dfrac{8000}{40}
  \)

\( \dfrac{B}{B^{'}}=\dfrac{38}{19}
  \)

\( \dfrac{C}{A^{\prime}}=\dfrac{800}{40}
  \)

\( \dfrac{D}{B^{\prime}}=\dfrac{57}{19}
  \)

Creo que se cumplen las condiciones que pones.

Saludos.