[minette]

Hola Feriva

Gracias por todo

Saludos.

[feriva]

Hola Feriva

Gracias por todo

Saludos.

De nada, minette.

Para no quedarme con mal sabor de boca por mi respuesta poco comprometida, si puedo contestarte haciendo la suposición (que creo que es la que haces) de que los números sean positivos y distintos. En ese caso, evidentemente, si cambiamos uno o varios números, siempre de manera que la terna pitagórica no la transformemos en otra terna también pitagórica, las desigualdades que dices se cumplen; la una o la otra, pues no puede darse la igualdad porque entonces tendríamos otra terna pitagórica; condición que de antemano hemos vetado.

O sea, que lo que dices, con esas precisiones previas que lo dejan tan claro (y que es a lo que me refería al decirte que lo argumentaras más) lo puedes afirmar tranquilamente, nadie te lo va a negar.

Saludos.

 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola

Muchísimas gracias el_manco.

De tu respuesta 22 me quedo con: "Si trabajas bajo la hipótesis de que \( a^2+b^2=c^2 \), entonces se cumple que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \), independientemente de que los números \( a<b<c \), sean o no enteros (bajo la única premisa de que sean positivos).

Trabajo ahora bajo la hipótesis \( a^2+b^2<c^2 \)

Está demostrado que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \) siendo \( c>b>a \).

Vamos a suponer que para otra clase de números cumpliendo \( a^2+b^2<c^2 \) y \( c>b>a \) se llega a \( a^n+b^n<c^n \) \( n\geq{3} \)

Pregunto este último hecho ¿influye o invalida la demostración inicial?

No entiendo la pregunta. ¿Por qué habría de invalidar demostración alguna, si esa otra "clase de números" sigue cumpliendo la misma propiedad que afirmabas al principio.

Sea como sea de nuevo la afirmación en rojo es trivialmente cierta para cualesquiera números positivos (enteros o no).

Saludos.

[minette]

Hola el_manco

Gracias por tu respuesta 32.

Contesto a tu respuesta 18:

\( [c^nx_0(c^n-2a^n)+a^{n+1}] \) ? \( [c^ny_0(2b^n-c^n)+b^{n+1}] \)

\( a, b, c, x_0, y_0, n   \) son ENTEROS

El interrogante que separa estas dos expresiones sea \( =, > \)  o \( < \) no se altera en absoluto si cuando se traspone un término de la derecha a la izquierda o de la izquierda a la derecha se le cambia el signo\(  + \) por\(  - \), o bien \( - \) por \( + \) .

Dicho esto repaso mi respuesta 12 al final \( b^{n+1}(x_0-y_0)>a^{n+1} \)

falta multiplicar primer miembro por \( b^{n-1} \) y segundo miembro por \( a^{n-1} \) :

\( b^{2n}(x_0-y_0)>a^{2n} \)

Cabe añadir que siendo \( K_1>K_2 \), al ser ambos valores \( K_1 \) y \( K_2 \) negativos, entonces \( K_1<K_2 \)

Esto se comprueba perfectamente con ejemplos numéricos.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Contesto a tu respuesta 18:

\( [c^nx_0(c^n-2a^n)+a^{n+1}] \) ? \( [c^ny_0(2b^n-c^n)+b^{n+1}] \)

\( a, b, c, x_0, y_0, n   \) son ENTEROS

El interrogante que separa estas dos expresiones sea \( =, > \)  o \( < \) no se altera en absoluto si cuando se traspone un término de la derecha a la izquierda o de la izquierda a la derecha se le cambia el signo\(  + \) por\(  - \), o bien \( - \) por \( + \) .

Dicho esto repaso mi respuesta 12 al final \( b^{n+1}(x_0-y_0)>a^{n+1} \)

falta multiplicar primer miembro por \( b^{n-1} \) y segundo miembro por \( a^{n-1} \) :

\( b^{2n}(x_0-y_0)>a^{2n} \)

Sigues incidiendo en el mismo error aquí comentado; es cierto que el carácter =,>,< de la expresión azul no cambia si se transponen términos; pero es que tu no quieres sólo analizar esa expresión, sino una más compleja donde cada uno de los términos a izquierda y derecha aparecen multiplicados por \( a^{n-1} \) unos y por \( b^{n-1} \) los otros.

Si transpones términos y sigues multiplicando a izquierda y derecha por \( a^{n-1} \) y por \( b^{n-1} \), entonces dado que los factores han cambiado de lado ya no estás manejando la expresión que pretendías analizar porque al haber cambiado elementos de lado, términos que antes eran multiplicados por \( a^{n-1} \) ahora lo son por \( b^{n-1} \) y viceversa.

Saludos.

[minette]

Hola

Si las fracciones\(  \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{-y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

también serán iguales \( \frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
 

\( \frac{x_{0}^{2}c^{2n}-2x_{0}c^{n}a+a^{2}}{b^{2n-2}}=\frac{y_{0}^{2}c^{2n}+2y_{0}c^{n}b+b^{2}}{a^{2n-2}} \)
 

\( x_{0}^{2}c^{2n}a^{2n-2}-2x_{0}c^{n}a^{2n-1}+a^{2n}=y_{0}^{2}c^{2n}b^{2n-2}+2y_{0}c^{n}b^{2n-1}+b^{2n} \)
 

\( x_{0}^{2}c^{2n}a^{2n-2}-y_{0}^{2}c^{2n}b^{2n-2}+a^{2n}=2x_{0}c^{n}a^{2n-1}+2y_{0}c^{n}b^{2n-1}+b^{2n} \)
 

\( c^{2n}(x_{0}a^{n-1}+y_{0}b^{n-1})+a^{2n}=2x_{0}c^{n}a^{2n-1}+2y_{0}c^{n}b^{2n-1}+b^{2n} \)
 

\( c^{n}x_{0}a^{n-1}+c^{n}y_{0}b^{n-1}+\frac{a^{2n}}{c^{n}}=2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{n}} \)
 

\( c^{n}x_{0}a^{n-1}+c^{n}y_{0}b^{n-1}-2x_{0}a^{2n-1}-2y_{0}b^{2n-1}=\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

dividido por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \)
 

\( \frac{c^{n}x_{0}a^{n-1}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{c^{n}y_{0}b^{n-1}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}-\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}-\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}=\frac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n)}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( +\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}-\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}-\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}=\frac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( +\frac{c^{n}}{2a^{n}2y_{0}b^{2n-1}}?-\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}   \); \( (positivo)\frac{c^{n}}{2a^{n}}>1(negativo) \)
 

\( +\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}?-\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}  \) ; \( \frac{c^{n}}{2b^{n}}positivo<1(negativo) \)
 

\( \frac{c^{n}}{2a^{n}}-\frac{2a^{n}}{2a^{n}}=\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)   diferencia a favor \( positivo \)

\( \frac{2b^{n}}{2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2b^{n}}=\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}  \)  diferencia a favor \( negativo  \)

diferencia a favor \( positivo \) \( > \) diferencia a favor \(  negativo \)

\( \frac{b^{n}-a^{n}}{2a^{n}}-\frac{b^{n}-a^{n}}{2b^{n}}=\frac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

dividido por \( (b^{n}-a^{n}) \)
 

\( \frac{1}{2a^{n}}-\frac{1}{2b^{n}}=\frac{b^{n}+a^{n}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( \frac{1}{a^{n}}-\frac{1}{b^{n}}=\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( \frac{b^{n}}{a^{n}b^{n}}-\frac{a^{n}}{a^{n}b^{n}}=\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( \frac{b^{n}-a^{n}}{a^{n}b^{n}}=\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( (b^{n}-a^{n})2x_{0}a^{2n-1}y_{0}b^{2n-1}=a^{n}b^{n} \)
 

\( (b^{n}-a^{n})2x_{0}a^{n-1}y_{0}b^{n-1}>1 \)
 

primer miembro >   segundo miembro

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

\( \color{blue}+\dfrac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}+\dfrac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}-\dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}-\dfrac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}=\dfrac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}\color{black} \)
 

\( +\dfrac{c^{n}}{2a^{n}2y_{0}b^{2n-1}}?-d\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}   \); \( (positivo)\dfrac{c^{n}}{2a^{n}}>1(negativo) \)
 

\( +\dfrac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}?-\dfrac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}  \) ; \( \dfrac{c^{n}}{2b^{n}}positivo<1(negativo) \)
 

\( \dfrac{c^{n}}{2a^{n}}-\dfrac{2a^{n}}{2a^{n}}=\dfrac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)   diferencia a favor \( positivo \)

\( \dfrac{2b^{n}}{2b^{n}}-\dfrac{c^{n}}{2b^{n}}=\dfrac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}  \)  diferencia a favor \( negativo  \)

diferencia a favor \( positivo \) \( > \) diferencia a favor \(  negativo \)

\( \color{red}\dfrac{b^{n}-a^{n}}{2a^{n}}-\dfrac{b^{n}-a^{n}}{2b^{n}}=\dfrac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}}\color{black} \)

En el paso de la igualdad que marco en azul, a la igualdad que marco en rojo, has omitido los factores \( x_0 \) e \( y_0 \) que aparecían en los denominadores del primer término.

Por tanto la igualdad en rojo está mal, no tiene nada que ver con la inicial.

Saludos.

[minette]

Hola,

Parto de las fracciones

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Elevamos al cuadrado, multiplicamos en cruz y dividimos por \(  c^{n} \)  :

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1}\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

Dividimos por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \)
 

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}=positivo \)
 

comparamos los términos positivos con los negativos:

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}} \);  \( \rightarrow1 (positivo)  <\frac{c^{n}}{2a^{n}}(negativo) \)
 

\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}} \);  \( \rightarrow1 (positivo) >\frac{c^{n}}{2b^{n}}(negativo) \)
 

\( \frac{c^{n}}{2a^{n}}-\frac{2a^{n}}{2a^{n}}=\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)   Diferencia a favor de \( Negativo  \)

\( \frac{2b^{n}}{2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2b^{n}}=\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}  \) Diferencia a favor de \( Positivo \)

Siendo los numeradores de las fracciones iguales, \( \frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} (Negativo)>\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} (Positivo) \)
 

Entonces los cuatro términos del primer miembro suman \( NEGATIVO\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)  \( POSITIVO \)   entero o decimal.
 


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Elevamos al cuadrado, multiplicamos en cruz y dividimos por \(  c^{n} \)  :

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1}\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

Dividimos por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \)
 

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}=positivo \)
 

comparamos los términos positivos con los negativos:

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}} \);  \( \rightarrow1 (positivo)  <\frac{c^{n}}{2a^{n}}(negativo) \)
 

\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}} \);  \( \rightarrow1 (positivo) >\frac{c^{n}}{2b^{n}}(negativo) \)
 

\( \frac{c^{n}}{2a^{n}}-\frac{2a^{n}}{2a^{n}}=\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)   Diferencia a favor de \( Negativo  \)

\( \frac{2b^{n}}{2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2b^{n}}=\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}  \) Diferencia a favor de \( Positivo \)

Siendo los numeradores de las fracciones iguales, \( \frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} (Negativo)>\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} (Positivo) \)
 

Entonces los cuatro términos del primer miembro suman \( NEGATIVO\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)  \( POSITIVO \)   entero o decimal.

Esencialmente el mismo razonamiento que pretendías hacer antes (aunque trasponiendo términos) y por tanto exactamente el mismo error que te apunté: al final omites los factores \( x_0 \) e \( y_0 \) del denominador.

Es un poco desesperante este intercambio de mensajes porque no pareces asimilar nada de lo que indico; en ningún momento dejas claro si has comprendido mi crítica. No dices nada. Ni que estés de acuerdo ni que no.

Simplemente intentas rehacer sin más el argumento; pero el hecho de que repitas una y otra vez el error hacer evidente que no lo entiendes.

Saludos.

[minette]

Hola el_manco,

Perdóname por incomodarte tanto.

Creo que no me sé explicar.

Si yo comparo las fracciones

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2a^{n}2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

Creo que el ? (sea el que sea) continuará el mismo si multiplico ambos miembros (ambas fracciones) por

\( 2y_{0}b^{2n-1} \)  quedando:

\( \frac{1}{1}?\frac{c^{n}}{2a^{n}} \)
 

por ese hecho desaparece el factor \( y_{0} \)
 

Saludos