Pero sin operar tanto, minette, yo puedo dar valores arbitrarios a “a” y “b”, etc; por ejemplo:
\( a^{3}=\pi\Rightarrow a=\pi^{1/3}=1,464...
\)
\( b^{3}=e\Rightarrow b=e^{1/3}=1.395...
\)
\( c^{3}=\pi+e=5,859...\Rightarrow c=1,802...
\)
\( x_{0}=3
\)
sustituyendo aquí
\( {\displaystyle \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}}} \)
Tienes
\( {\displaystyle \frac{1,464...-3\cdot5,859...}{1,395^{2}...}=\frac{-1,395..-y_{0}\cdot5,859}{1,464^{2}...}}
\)...
Y si se despeja sale un valor para \( y_{0}
\) (a lo mejor me he equivocado al sustituir valores o algo, pero eso no cambia que exista, y se pueden dar infinitos valores de manera que esa “y” tenga solución).
Si me dices que hay números irracionales, sí, es cierto, pero qué tiene que ver con que exista o no la igualdad a partir de considerar si son mayores o menores; los irracionales también cumplen ser mayores o menores, es una propiedad que sirve para ellos al igual que para los racionales y, mira, sí existe eso; luego tu consideración tiene que estar mal, porque, si no, funcionaría también para esos valores irracionales, ya que, la relación de orden que usas es más general, no es sólo para enteros ni racionales.
Como te darás cuenta, ese hecho, considerar signos o números mayores y menores, no puede explicar qué pasa con los racionales, no explica por qué no pueden ser racionales y, por ende, por qué no puden ser enteros.
Para demostrar esto es necesario suponer cuestiones de divisibilidad; y usarlas fuertemente; es decir, de manera que impliquen decisivamente deducciones que nos puedan acercar a la demostración.
Piensa que si tuviera soluciones enteras, dividiendo la ecuación por un mismo número, la igualdad las tendría racionales, con decimales, existirían; luego la diferencia en estos tipos de números es diabólicamente esquiva, porque hay que dilucidar por qué esa "cantidad" de decimales no puede ser tan grande como se quiera y finita, pero sí infinita:
para que lo veas, en eso no sería diferente de lo que pasa aquí
\( 3^{2}+4^{2}=5^{2}
\)
\( \dfrac{3^{2}}{1231}+\dfrac{4^{2}}{1231}=\dfrac{5^{2}}{1231}
\)
es evidente que las soluciones enteras, si existen, obligan a que existan infinitas igualdades relacionadas de número con decimales, racionales no enteros; luego eso no puede existir para lo que queremos demostrar; y lo que buscamos realmente es, entonces, demostrar que los decimales, la cantidad de éstos, tiene que ser infinita para que no implique la existencia de soluciones enteras (de ahí que sea tan difícil escapar al método de descenso al infinito para demostrar estas cosas; casi no queda más remedio)
Saludos.
