Hola
Me declaro culpable de haber organizado este lío.
Tenía que haber iniciado este hilo así:
Se trata de demostrar que las fracciones
\( \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}} \) y \( \frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
NO son iguales.
Multiplicando en cruz se llega a \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
con lo cual se demuestra que no son iguales.
Con esta convicción trataba de demostrar la desigualdad de las dos fracciones por otro camino y decía: Si FUERAN iguales
\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
o bien
\( b^{n-1}(y_{0}c^{n}+b)=a^{n-1}(x_{0}c^{n}-a) \)
como \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
El factor \( (y_{0}c^{n}+b) \) No puede ser igual, ni tampoco mayor, al factor \( (x_{0}c^{n}-a) \).
Tiene que ser
\( (y_{0}c^{n}+b)<(x_{0}c^{n}-a) \)
Si fueran iguales:
\( y_{0}c^{n}+b=x_{0}c^{n}-a \)
\( b+a=c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
lo cual es imposible:
\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
Si \( y_{0}c^{n}+b>x_{0}c^{n}-a \)
\( b+a>(x_{0}-y_{0})c^{n} \)
Lo cual es imposible
Entonces la única posibilidad es
\( y_{0}c^{n}+b<x_{0}c^{n}-a \)
\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
Lo cual es cierto
\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
\( b^{n}+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^{n}+b^{n})(x_{0}-y_{0}) \)
\( b^{n}+b^{n-1}a=(a^{2n-1}+a^{n-1}b^{n})(x_{0}-y_{0}) \)
Si prescindimos del factor \( (x_{0}-y_{0}) \) positivo
\( b^{n}+b^{n-1}a=a^{2n-1}+a^{n-1}b^{n} \)
El término \( b^{n}<a^{n-1}b^{n} \)
El término \( b^{n-1}a \) ? \( a^{2n-2}\cdot a \)
\( b^{n-1} \) ? \( a^{2n-2} \)
\( b^{n-1} \) ? \( a^{n-1}a^{n-1} \)
sacando raiz \( b^{n-1} \) :
\( b<a^{2} \)
Saludos.
