Lo he intentado, pero hace mucho que no entraba y hace tiempo publicaba demasiado mensajes..., je, je... ya buscaré
Y ahoro sigo con el busilis del asunto, yendo al grano.
CASO 3
Dado la fórmula propuesta,
\( Z^n= X^n+Y^n + aB + bA -rR \)
miré de encontrar un solución a la imposibilidad del caso 3 y empecé a hacer números.
Tenía de demostrar la imposibilidad de la siguiente igualdad:
\( rR = aB+ bA \)
donde en el caso 3 sería
\( rR = a (Z^2-X^2) + b (Z^2-Y^2) \)
AQUÍ HABÍA UN ERROR, PERO DEJO MI PROPUESTA COMO ESTABA, PUES DA UNA IDEA DE POR DONDE VAN LOS TIROS Spoiler
Aquí noto que puedo continuar manipulando de la siguiente manera
\( rR = a (Y^2 + R) + b (X^2 + R) \) AQUÍ ESTÁ EL ERROR: Correctamente sería \( rR = a (Y^2 - R) + b (X^2 - R) \), una simple suma, pues.
pues es equivalente, y me queda derivando que:
\( -sR = aY^2 + b X^2 \)
y continuo con las igualdades propuestas de \( a=j+s ; b=k+s \)
\( -sR = (j+s)Y^2 + (k+s) X^2
-sR = jy^2 +sY^2 + kX^2+sX^2 = jy^2 + kX^2+s(Y^2+ X^2)
-sR = jy^2 + kX^2 + s(Z^2 - R)
\)
llegando a la sorprende conclusión:
\( jY^2 + kX^2 = - sZ^2 \)
Y me digo, tate que ya lo tengo:
Esta igualdad sólo es posible cumplirla al mismo tiempo que \( Y^3 + X^3 = Z^3 \) si y sólo si \( j=y ; k = x ; -s=z \)
o bien\( j=-y ; k=- x ; s=Z \)
¿Cómo sería posible? Aparentemente, resulta complicado que se igualen esos números de esa manera pues:
\( Z = (a+b+r) = (2j +2k + 3s)
etc... \)
Pero entonces me volví al caso 2 y descubrí que igualmente me encontraba con una fórmula pareja:
\( jY + kX = - sZ \)
y que además en el caso 2 sabía que se cumplía.
y si miraba a casos superiores, como el 5, también salía similar:
\( jY^4 + kX^4 = - sZ^4 \)
y se puede deducir más generalmente que
Para que se cumpla la igualdad
\( Z^n = X^n + Y^n
ha de cumplirse igualmente la igualdad
jY^{n-1} + X^{n-1} = -sZ^{n-1} \)
Y sabiendo que estas igualdades serían posibles sólo en el caso 2 (dejo el 1 por trivial) y no en el resto de los casos, mi
CONCLUSIÓN:
Es la siguiente
Se puede conseguir infinitas ternas de tres números enteros (Z,X,Y) que a su vez coincida con otra terna de enteros (j,k,s) en la forma
\( j=y ; k = x ; -s=z \) o bien
\( j=-y ; k=- x ; s=Z \)
Pero entonces, se cumpliría sólo en un caso, en el caso 2, pues si se cumple
\( jY + kX = - sZ \)
y además se cumple que
\( Z^2 = X^2 + Y^2 \)
no se cumpliría nunca
\( Z^3 = X^3 + Y^3;
Z^4 = X^4 + Y^4;
Z^5 = X^5 + Y^5;
...
\)
en definitiva, no se cumpliría
\( Z^n = X^n + Y^n \)
para cualquier n>2
Y ahí lo dejo, a ver qué os parece....
salu2
....
donde en el caso 3 sería
\(
rR = a (Z^2-X^2) + b (Z^2-Y^2) \)
que queda en:
\( rR = a (Y^2 - R) + b (X^2 - R)
rR = aY^2 + bX^2 + (a+b)(-R)
(r+a+b)R = ZR = aY^2 + bX^2 \)
Es decir, que para que se cumpla
\( Z^3 = X^3 + Y^3 \)
ha de cumplirse igualmente
\( ZR = aY^2 + bX^2 \)
y de manera más general,
\( Z^n = X^n + Y^n
sí y sólo si
ZR = aY^{n-1} + bX^{n-1} \)
Y hasta aquí podemos advertir una cosa. ¿Qué hace diferente el caso 2 del resto de casos?
Spoiler
(Ya he comentado que el caso 1 es trivial, si bien igualmente cumple la fórmula
\( ZR = aY^0 + bX^0 \)
donde R = 1, r=0 )
¡Incluso el caso 0 funcionaría!
Pues a primera vista se advierte: el caso 2 es el único que cumple la igualdad \( r=R \). El resto de los casos no: siempre R es superior a r: \( R>r \) para todo \( n>2 \)
"Desgraciadamente"
, no puedo llegar a la misma conclusión de mi error (que, creo, si alguien no me corrige, era una conclusión correcta desde el punto de vista lógico), pues \( R \) no está unido a la terna \( (X,Y,Z) \) como sí lo está \( (r,a,b) \).
Pero sí dejo apuntado que al menos se demuestra que el caso 2 es ESENCIALMENTE diferente que el resto de casos por encima de él. Y ahí puede residir la singularidad de su caso.
....
Bueno, ahí lo dejo por ahora, tengo poco tiempo estos días, pero se agradecen comentarios, caminos paralelos y pedruscos varios.... ;-D
salu2
