Hola
Supongamos que las dos siguientes fracciones son iguales:
\( \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
entonces
\( a^{n}-x_{0}c^{n}a^{n-1}=-b^{n}-y_{0}c^{n}b^{n-1} \)
\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(x_{0}a^{n-1}-y_{0}b^{n-1}) \)
de aquí \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
Con lo cual las dos fracciones son iguales
Otro razonamiento:
\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
como \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
para que la igualdad sea posible
\( -b-y_{0}c^{n}<a-x_{0}c^{n} \)
\( x_{0}c^{n}-y_{0}c^{n}<a+b \)
\( c^{n}(x_{0}-y_{0})<a+b \)
como \( x_{0}>y_{0} \) esta desigualdad es imposible y por tanto las dos fracciones no son iguales.
Pero si lo anterior no es cierto será cierto \( -b-y_0c^n>a-x_0c^n \) y entonces la igualdad no es posible.
Por ejemplo \( 5>3 \) y también \( -3>-5 \) pero \( 5\cdot (-3)=3\cdot (-5) \).
Hola el_manco
En tu razonamiento (respuesta 3) das por cierta la desigualdad
\( -b-y_{0}c^{n}>a-x_{0}c^{n} \) sin nada que lo justifique . Idem para \( y_{0}c^{n}+b<x_{0}c^{n}-a \).
En el inicio de este hilo escribo
\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
¡Ojo! Pero enseguido escribo:
para que la igualdad sea posible.
Es decir: he supuesto arriba el signo = .
Finalmente terminas:
\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
\( b+y_{0}c^{n}<x_{0}c^{n}-a \)
Nada autoriza a afirmar, como haces, que el producto de los dos primeros miembros de las citadas desigualdades sea igual al producto de los segundos miembros.
como \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
para que la igualdad sea posible
\( -b-y_{0}c^{n}<a-x_{0}c^{n} \)
Pero si lo anterior no es cierto será cierto \( -b-y_0c^n>a-x_0c^n \) y entonces la igualdad no es posible.
Tenía que haber iniciado este hilo así:
Se trata de demostrar que las fracciones
\( \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}} \) y \( \frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
NO son iguales.
Multiplicando en cruz se llega a \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
con lo cual se demuestra que no son iguales.
Con esta convicción trataba de demostrar la desigualdad de las dos fracciones por otro camino y decía: Si FUERAN iguales
\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
o bien
\( b^{n-1}(y_{0}c^{n}+b)=a^{n-1}(x_{0}c^{n}-a) \)
como \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
El factor \( (y_{0}c^{n}+b) \) No puede ser igual, ni tampoco mayor, al factor \( (x_{0}c^{n}-a) \).
Tiene que ser
\( (y_{0}c^{n}+b)<(x_{0}c^{n}-a) \)
Si fueran iguales:
\( y_{0}c^{n}+b=x_{0}c^{n}-a \)
\( b+a=c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
lo cual es imposible:
\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
Si \( y_{0}c^{n}+b>x_{0}c^{n}-a \)
\( b+a>(x_{0}-y_{0})c^{n} \)
Lo cual es imposible
Entonces la única posibilidad es
\( y_{0}c^{n}+b<x_{0}c^{n}-a \)
\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
Lo cual es cierto
\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
\( b^{n}+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^{n}+b^{n})(x_{0}-y_{0}) \)
La igualdad que dices "no sé a qué viene ni de donde sale (y por tanto lo que sigue)", viene del producto de las dos desigualdades:
\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
\( b+a<c^n(x_0-y_o) \)
y si pongo el signo = es porque no te gusta que ponga el ? para esperar hasta el final determinar el signo real del ?
\( b^n+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^n+b^n)(x_0-y_0) \)
Entonces para saber si la desigualdad inicial es posible (y no se produce la igualdad) multiplicamos el primer miembro por \( a^{n-1} \) y el segundo por \( b^{n-1} \)
\( a^{n-1}(b^{2n}-a^{2n})(x_{0}-y_{0}) \) ? \( (b^{n+1}-a^{n+1})b^{n-1} \)
Gracias Feriva
Te informo:
\( a, b, c, n, x_o, y_o \) son ENTEROS.
\( n\geq{3} \).
Te ruego, a partir de lo anterior, reformules tu respuesta 15.
Perdona por haberme olvidado de estos datos:
\( c>b>a \)
\( a+b>c \)
\( x_0>y_0 \)
Te ruego, a partir de lo anterior, reformules tu respuesta 15.
Me ciño ahora al caso
\( a^2+b^2=c^2 \)
Está demostrado que
\( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \)
Vamos a suponer que para otra clase de números se cumple \( a^n+b^n=c^n \) \( n\geq{3} \)
Pregunto, ¿este hecho invalida que \( a^n+b^n<c^n \) para \( a, b, c, n\geq{3} \) enteros?
Hola
Gracias Feriva por tu respuesta 20 con su spoiler. Has trabajado mucho para mí. Gracias otra vez.
Ahora por favor te pido a tí, y a todos los usuarios y moderadores que contestéis a la pregunta que formulo en mi respuesta 19.
quedo con: "Si trabajas bajo la hipótesis de que \( a^2+b^2=c^2 \), entonces se cumple que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \), independientemente de que los números \( a<b<c \), sean o no enteros (bajo la única premisa de que sean positivos).
Cualquier variación que hagas en cualquier terna pitagórica llegará a...
Dicho esto si estás de acuerdo en que dados tres enteros \( a,b,c \) ; con \( c>b>a \) ; con sus cuadrados SÓLO pueden darse estas tres posibilidades:
\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \)
Para argumentar la afirmación anterior creo que basta la lógica del Sentido Común.
se refiere a ternas pitagóricas exclusivamente. Cualquier variación que hagas en cualquier terna pitagórica llegará a
\( a^2+b^2<c^2 \)
ó
\( a^2+b^2>c^2 \)
siempre con \( c>b>a \)
Hola Feriva
Gracias por todo
Saludos.
Hola
Muchísimas gracias el_manco.
De tu respuesta 22 me quedo con: "Si trabajas bajo la hipótesis de que \( a^2+b^2=c^2 \), entonces se cumple que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \), independientemente de que los números \( a<b<c \), sean o no enteros (bajo la única premisa de que sean positivos).
Trabajo ahora bajo la hipótesis \( a^2+b^2<c^2 \)
Está demostrado que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \) siendo \( c>b>a \).
Vamos a suponer que para otra clase de números cumpliendo \( a^2+b^2<c^2 \) y \( c>b>a \) se llega a \( a^n+b^n<c^n \) \( n\geq{3} \)
Pregunto este último hecho ¿influye o invalida la demostración inicial?
Contesto a tu respuesta 18:
\( [c^nx_0(c^n-2a^n)+a^{n+1}] \) ? \( [c^ny_0(2b^n-c^n)+b^{n+1}] \)
\( a, b, c, x_0, y_0, n \) son ENTEROS
El interrogante que separa estas dos expresiones sea \( =, > \) o \( < \) no se altera en absoluto si cuando se traspone un término de la derecha a la izquierda o de la izquierda a la derecha se le cambia el signo\( + \) por\( - \), o bien \( - \) por \( + \) .
Dicho esto repaso mi respuesta 12 al final \( b^{n+1}(x_0-y_0)>a^{n+1} \)
falta multiplicar primer miembro por \( b^{n-1} \) y segundo miembro por \( a^{n-1} \) :
\( b^{2n}(x_0-y_0)>a^{2n} \)
\( \color{blue}+\dfrac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}+\dfrac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}-\dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}-\dfrac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}=\dfrac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}\color{black} \)
\( +\dfrac{c^{n}}{2a^{n}2y_{0}b^{2n-1}}?-d\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}} \); \( (positivo)\dfrac{c^{n}}{2a^{n}}>1(negativo) \)
\( +\dfrac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}?-\dfrac{1}{2x_{0}a^{2n-1}} \) ; \( \dfrac{c^{n}}{2b^{n}}positivo<1(negativo) \)
\( \dfrac{c^{n}}{2a^{n}}-\dfrac{2a^{n}}{2a^{n}}=\dfrac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \) diferencia a favor \( positivo \)
\( \dfrac{2b^{n}}{2b^{n}}-\dfrac{c^{n}}{2b^{n}}=\dfrac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} \) diferencia a favor \( negativo \)
diferencia a favor \( positivo \) \( > \) diferencia a favor \( negativo \)
\( \color{red}\dfrac{b^{n}-a^{n}}{2a^{n}}-\dfrac{b^{n}-a^{n}}{2b^{n}}=\dfrac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}}\color{black} \)
\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
Elevamos al cuadrado, multiplicamos en cruz y dividimos por \( c^{n} \) :
\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1}\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
Dividimos por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \)
\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}=positivo \)
comparamos los términos positivos con los negativos:
\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}} \); \( \rightarrow1 (positivo) <\frac{c^{n}}{2a^{n}}(negativo) \)
\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}} \); \( \rightarrow1 (positivo) >\frac{c^{n}}{2b^{n}}(negativo) \)
\( \frac{c^{n}}{2a^{n}}-\frac{2a^{n}}{2a^{n}}=\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \) Diferencia a favor de \( Negativo \)
\( \frac{2b^{n}}{2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2b^{n}}=\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} \) Diferencia a favor de \( Positivo \)
Siendo los numeradores de las fracciones iguales, \( \frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} (Negativo)>\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} (Positivo) \)
Entonces los cuatro términos del primer miembro suman \( NEGATIVO\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \) \( POSITIVO \) entero o decimal.
Perdóname por incomodarte tanto.
Creo que no me sé explicar.
Si yo comparo las fracciones
\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2a^{n}2y_{0}b^{2n-1}} \)
Creo que el ? (sea el que sea) continuará el mismo si multiplico ambos miembros (ambas fracciones) por
\( 2y_{0}b^{2n-1} \) quedando:
\( \frac{1}{1}?\frac{c^{n}}{2a^{n}} \)
por ese hecho desaparece el factor \( y_{0} \)
A ver si consigo que me entiendas.
Tenemos una suma de cuatro sumandos:
\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
Dos sumandos son negativos y dos positivos.
La suma de los cuatro será cero, negativa o positiva.
Y segruirá ocurriendo lo mismo si dividimos los cuatro sumando por \( +2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \) quedando:
\( +\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}} \)
Ocurre que la suma de los valores absolutos de los dos sumandos negativos es mayor que la suma de los dos sumandos positivos. Con lo cual la suma de los cuatro es negativa.
Supongamos, por un momento, que del os tres casos:
\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \)
sólo existieran los dos casos primeros, con lo cual el UTF está demostrado: No existen tres enteros, \( a,b,c \) que cumplan \( a^n+b^n=c^n \) para \( n\geq{3} \). Te pregunto, si existieran tres números reales que cumplieran \( a^n+b^n=c^n \) para \( n\geq{3} \), este hecho ¿invalidaría la demostración para números enteros a los que SÓLO se refería FERMAT?
"Tu problema es que en lo que tu haces utilizas argumentos donde en nada influye que en los números sean reales o enteros, pero que llevan a una conclusión falsa para números reales. Por tanto los argumentos tienen que estar mal."
Te pregunto ¿te refiere al caso \( a^2+b^2>c^2 \)?
Si efectivamente te refieres al caso
\( a^2+b^2>c^2 \)
En todas mis respuestas SIEMPRE cito:
\( a,b,c \) \( n\geq{3} \) enteros
cuando \( a^2+b^2>c^2 \).
En más de una ocasión te has referido a que pierdo el tiempo tratando de demostrar el UTF.
Supongo que quieres decir que no voy a conseguir demostrar el UTF.
Si piensas que para desligar los números enteros de los reales hay que recurrir a las curvas elípticas y las formas modulares que Wiles copió de los matemáticos japoneses Taniyama-Shimura creo, en mi opinión, que estás en un error.
Si yo consigo demostrar (de modo irreprochable) el caso \( a^2+b^2>c^2 \) para números enteros (que es lo que pedía Fermat)
¿por qué insistes en que esa demostración está mal basándote en que hay números reales que cumplen \( a^n+b^n=c^n \)?
La conjetura de Fermat se refería ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE a números enteros.
Debes saber que no sólo no pierdo el tiempo sino que además lo paso muy bien intentándolo como si fuera un crucigrama super-difícil.
La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) la podemos presentar así:
\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n} \) (1) (ECUACIÓN DIOFÁNTICA LINEAL)
Aplicando Bèzout \( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)
Multiplicando por \( c^{n} \)
\( a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n} \)
Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtienen así:
\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
\( y=(+y_{0}c^{n})-Ka^{n-1}=b\rightarrow K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
\( K_{1} \) ha de ser igual a \( K_{2} \) y ser un entero.
\( a^{n}=a^{n-1}\cdot a \) ; \( b^{n}=b^{n-1}\cdot b \)
\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)
Siendo el paréntesis 1 ; si la conjetura de Fermat es cierta los valores de \( K \) han de ser distintos.
Igualamos las fracciones, elevamos al cuadrado, multiplicamos en cruz y dividimos por \( c^{n} \) :
(hasta ahora no nos hemos movido de los enteros).
Y es así como llegamos a
(2) \( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1}=\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
Hasta aquí, ¿ves esto correcto?
Comprobemos y observemos ahora la dificultad de demostrar la desigualdad (2)
\( y_{0}b^{n-1}(2b^{n}-c^{n})\rightarrow POSITIVO \)
\( x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n})\rightarrow NEGATIVO \)
\( y_{0}b^{n-1}(2b^{n}-c^{n})-x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n})\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
Si aplicamos \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \):
\( y_{0}b^{n-1}(b^{n}-a^{n})-x_{0}a^{n-1}(b^{n}-a^{n})\neq\frac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{(b^{n}+a^{n})} \)
dividiendo po r\( (b^{n}-a^{n}) \):
\( y_{0}b^{n-1}-x_{0}a^{n-1}=1 \)
Me pones el ejemplo \( x^2-y^2 \).
Te recuerdo que trabajo con una ecuación diofántica lineal:
Se llama ecuación diofántica lineal a cualquier ecuación algebraica de dos incógnitas, cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan raices enteras, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números enteros.
La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) la podemos presentar así:
\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n} \) (1) (ECUACIÓN DIOFÁNTICA LINEAL)
Aplicando Bèzout \( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)
Multiplicando por \( c^{n} \)
\( a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n} \)
Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtienen así:
\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
\( y=(+y_{0}c^{n})-Ka^{n-1}=b\rightarrow K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
\( K_{1} \) ha de ser igual a \( K_{2} \) y ser un entero.
\( a^{n}=a^{n-1}\cdot a \) ; \( b^{n}=b^{n-1}\cdot b \)
\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)
Si yo consigo demostrar que \( K_1\neq{K_2} \) (y lo superdifícil que es lograrlo me sugiere que es un muy buen camino) habré demostrado el UTF.
No intento rebatirla porque, vieniendo de quien viene, tiene que ser correcta.
Me limito a hacer unas cuentas en relación a la terna (5,8,9).
\( n=3 \) ; \( x_{0}=-23 \) ; \( y_{0}=+9 \)
\( 2x_{0}a^{2n-1}=+143750 \)
\( 2y_{0}b^{2n-1}=+589824 \)
\( Suma = +733574 \)
\( c^{n}y_{0}b^{n-1}=-419904 \)
\( c^{n}x_{0}a^{n-1}=-419175 \)
\( Suma =-839079 \)
Con lo cual la suma de los cuatro términos es \( -105505 \)
Recurriendo a las fracciones:
\( \frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}}=1,916 \)
La diferencia a favor negativo es \( +143750 -419175=-275425 \)
Esta cifra \( -275425 \)se deduce también así:
\( 143750x1,916=275425 \) (con signo negativo)
La diferencia a favor positivo es \( 589824-419904=+169920 \)
\( \frac{2b^{n-c^{n}}}{2b^{n}}=0,288085937 \)
La cifra +169920 se deduce también así:
\( 589824x0,288085937=+169920 \)
Finalmente
\( -275425+169920=-105505 \)
Una vez he dividido los cuatro sumandos por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \) me limito a aplicar la propiedad asociativa de la suma.
Por favor te ruego tus comentarios al respecto.
¡Pero, y esta es la clave, el primer par con el \( y_0 \) simplificado, es decir, multiplicado por \( y_0 \) y el segundo multiplicado por \( x_0 \)! Pretendes que la comparación que haces entre esas dos magnitudes multiplicadas por factores distintos te se mantenga en la expresión inicial, olvidando que los has perturbado de manera diferente.
¿Puede ocurrir que estas dos desigualdades se den simultáneamente?
Datos:\( A>B \); \( A'>B' \) ; \( C>D \) ; \( A>C \) ; \( B<D \)
todas las letras son enteros. Y las fracciones también.
Hola
Gracias Feriva por tu respuesta.
¿Puedo ocurrir que estas dos desigualdades se den simultáneamente?
Espero no molestarte si digo que echo de menos la opinión de el_manco.
Saludos.
¿Puede ser que ambas presuntas igualdades fueran desigualdades?
Dada la ecuación diofántica
\( 25x+64y=1 \)
Demostrar quelos valores de \( x \), \( y \) se obtienen así:
\( x=64T+41 \)
\( y=-25T-16 \)
Siendo \( T \) un entero positivo o negativo..
Demostrar quelos valores de \( x \), \( y \) se obtienen así:
Hola Feriva
No entiendo cómo han podido desaparecer.
Saludos.
Partiendo de la ecuación
\( 25x +64y=1 \)
no consigo demostrar que los valores \( x \) , \( y \) se deduzcan así:
\( x=64T+41 \)
\( y=-25T-16 \)
Perdona mi inepcia el_manco.
En el hilo que me recomiendas en tu respuesta 66 iniciado por tí, me preguntas si hay algún paso que no entienda.
Partiendo de la ecuación
\( 25x +64y=1 \)
no consigo demostrar que los valores \( x \) , \( y \) se deduzcan así:
\( x=64T+41 \)
\( y=-25T-16 \)
Os ruego vuestra opinión sobre mi respuesta 73.
Recordemos: Cuando \( y_{0} \) positivo; \( x_{0} \) negativo:
\( K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \) ; \( K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
se obtienen valores de \( K_{1} \) , \( K_{2} \) positivos
para este caso \( y_{0}b^{n-1}-x_{0}a^{n-1}=1 \)
Cuando \( x_{0} \) positivo; \( y_{0} \) negativo
\( K_{1}^{\text{´}}=\frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}} \) ; \( K_{2}^{\text{´}}=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
se obtienen valores de \( K_{1} \) , \( K_{2} \) negativos
en este caso
\( x_{0}a^{n-1}-y_{0}b^{n-1}=1 \)
Recordemos también que según mi respuesta 60
o bien \( K_{1}\neq K_{2} \)
o \( K_{1}^{\text{´}}\neq K_{2}^{\text{´}} \)
Voy a ser mas concreta:
Supongamos que \( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
y también que \( \frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
Supongo ahora que estas dos desigualdades son igualdades.
Entonces la suma de los dos primeros miembros ha de ser igual a la suma de los dos segundos miembros:
\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}+\frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}}+\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
\( \frac{2x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{2y_{0}c^{n}}{a^{n-1}}\rightarrow2x_{0}c^{n}a^{n-1}=2y_{0}c^{n}b^{n-1} \)
\( x_{0}a^{n-1}\neq y_{0}b^{n-1} \)
Cabe inferir entonces que \( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
o bien que \( \frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
¿Puedo ocurrir que estas dos desigualdades se den simultáneamente?
Dejando aparte la veracidad o no de la afirmación de minette según la cual demostrar la desigualdad de las dos fracciones supone demostrar el UTF, sólo como simple ejercicio de matemáticas, me resulta superextraño que con los grandísimos matemáticos que actúan en Rincón Matemáticos, nadie lo ha intentado ni tan siquiera pedir datos para abordarlo..
Por favor, el_manco, ¿puedes redactar tu respuesta 80 de otro modo que me resulte más asequible de entender?
En mi opinión, la respuesta 82 de el_manco es un hito, todo lo minúsculo que se quiera, que se apunta Rincón Matemático, y del que es autora minette, al afirmar que demostrar la desigualdad de las dos fracciones es tan difícil como demostrar \( a^n +b^n \neq{c^n} \).
En mi opinión también, demostrar la desigualdad de las dos fracciones equivale a demostrar \( a^n +b^n\neq{c^n} \).
Pienso que Euler lo hubiera conseguido.
Creo que procede expresar la siguiente acepción del término hito según el DRAE:
"Persona, cosa o hecho clave y fundamental dentro de un ámbito o contexto."
Recapitulemos,
La identidad de Bèzout:
\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)
no tiene una unicidad de valores para \( x_{0} \), \( y_{0} \) .
\( a \) , \( b \) son enteros primos entre sí.
Puede darse \( x_{0} \)= negativo ; \( y_{0} \)= positivo.
valores de \( K \) positivos según:
\( K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \) ; \( K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
Al final de tu respuesta 88 dices "Pero con la observación de que consideras \( x_0 \) , \( y_0 \) positivos."
No se pueden considerar \( x_0 \) , \( y_0 \) ambos positivos porque no se cumpliría la identidad de Bèzout.
valores de \( K \) positivos según:
\( K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \) ; \( K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
Hola,
Veamos si consigo explicarme bien.
\( a^{n-1}(\pm x_{0})+b^{n-1}(\mp y_{0})=1 \)
\( a^{n-1}(\pm x_{0})c^{n}+b^{n-1}(\mp y_{0})c^{n}=c^{n} \)
las infinitas raíces de esta ecuación para \( x_{0}= \) negativo; \( y_{0}= \) positivo son:
\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1} \) ; \( x=a\rightarrow K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1} \) ; \( y=b\rightarrow K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
Cuando escribo
\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1} \)
Empleo \( -x_0 \)
lo que ocurre es que al despejar
\( K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
forzosamente en esta fracción \( x_0 \) aparece como positivo. Y si aparece como positivo es porque inicialmente es \( (-x_0) \).
Aunque con retraso, con bastante retraso, voy a contestar a la respuesta 86 de el_manco.
Conozco bien, creo que bastante bien, la historia de los distintos intentos de demostrar el UTF.
Todos los intentos se han basado en demostrarlo para un valor concreto del exponente n. O bien para una gama concreta de valores de \( n \): de tal valor a tal otro valor.
Si estoy equivocada, por favor, hacédmelo notar.
La idea es la siguiente, sean A un número racional comprendido entre 0 y 1 y sea la sucesión:\( A_n=(1-A^n)^{1/n} \)
Bastaría demostrar que:\( (A_n \not\in{Q})\Rightarrow{}(A_{n+1}\not\in{Q}) \) Todos los términos que siguen a uno irracional son a su vez irracionales
pero no se puede concluir nada útil de ahí.
Donde parto de la convención de considera (Z,X,Y) como números naturales, primos entre sí, y siendo (Z,Y) impares, X par.
\( (Z,X,Y)\in{N}
mcd (Z,X,Y) =1 \)
De ahí defino los otros términos: a,b,r, A, B, R
\( r= x+y-z
a= x-r = z-y
b= y-r = z-x
\)
De manera similar defino a A, B, R
\( R= X^{n-1} + Y^{n-1} - Z^{n-1}
A= Z^{n-1} - Y^{n-1}
B= Z^{n-1} - X^{n-1}
\)
Y como ya habréis deducido, se cumple el caso
\( Z^n= X^n+Y^n \)
sí y sólo si:
\( rR= aB+bA \)
1) Fijado \( n\geq 3 \) supongamos que existe una solución no trivial entera de:
\( x^n+y^n=z^n \)
2) Si logramos encontrar un número primo \( p \) tal que:
2.1) \( x^n\equiv -y^n \) mod \( p \).
2.2) \( p \) no dividiendo a \( z \).
Entonces módulo \( p \) tendríamos que:
\( x^n+y^n\equiv 0\not\equiv z^n \)
y por tanto es imposible la igualdad supuesta en uno.
Entonces "sólo" debemos de justificar la existencia de ese \( p \) primo en las condiciones 2.1) 2.2).
\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \) ; \( \frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
Si estas fracciones son iguales también lo serán sus cuadrados. Y, recíprocamente, si sus cuadrados no son iguales, las fracciones tampoco lo serán.
Suponiendo que los cuadrados son iguales se llega a:
\( c^{n}(2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1})+a^{2n}=c^{2n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})+b^{2n} \)
dividiendo por \( c^{n} \) :
\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}+a^{n}=c^{n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})+b^{n} \)
Siendo \( b^{n}>a^{n} \) para que la igualdad sea posible
\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}>c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}y_{0}b^{n-1}>c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}(x_{0}a^{n-1}+1)>c^{n}(x_{0}a^{n-1}+1)+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}>c^{n}x_{0}a^{n-1}+c^{n}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
dividiendo por \( x_{0}a^{n-1} \) :
\( 2a^{n}+2b^{n}+\frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}>c^{n}+\frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+c^{n} \)
\( \frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}>\frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}
\)
\( \frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+a^{n} \) ?\( \frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+b^{n} \)
\( c^{n}-2a^{n}>c^{n}-2b^{n} \)
el factor \( y_{0}b^{n-1} \) es mayor en 1 al factor \( x_{0}a^{n-1} \)
El factor \( (c^{n}-2a^{n}) \) es mayor al factor \( (c^{n}-2b^{n}) \)
en \( c^{n}-2a^{n}-c^{n}+2b^{n}=2b^{n}-2a^{n} \)
Por tanto
\( -y_{0}b^{n-1}(c^{n}-2b^{n})<x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n}) \)
En mi opinión no podemos prescindir de que \( (a,b,c) \) son miembros de una terna.
Por ejemplo \( a=5 \) ;\( b=8 \) ; \( c=9 \) .
si \( n=3 \)
Entonces\( (c^{n}-2b^{n}) \) NO \( (c-2b^{n}) \) como tú escribes; \( 9^{3}-2\cdot8^{3}=729-1024=-295 \)
el factor \( \underbrace{y_{0}b^{n-1}}_D \) es mayor en 1 al factor \( \underbrace{x_{0}a^{n-1}}_C \)
El factor \( \underbrace{(c^{n}-2a^{n})}_A \) es mayor al factor \( \underbrace{(c^{n}-2b^{n})}_B \)
en \( c^{n}-2a^{n}-c^{n}+2b^{n}=2b^{n}-2a^{n} \)
Por tanto
\( -\underbrace{y_{0}b^{n-1}}_D\underbrace{(c^{n}-2b^{n})}_B<\underbrace{x_{0}a^{n-1}}_C\underbrace{(c^{n}-2a^{n})}_A \)
Perdóname que insista. Los valores que das en tu ejemplo tienen que provenir, ineludiblemente, de valores provenientes de una terna. En este sentido creo imposible que \( (c^n-2a^n) \) sea igual a 5. Y también que \( c^n-2b^n \) sea igual a \( -4 \).
Lo que afirmo es que
\( DB<CA \)
Supongamos
\( c^n=729 \)
\( 2a^n=250 \)
\( 2b^n=1024 \)
\( c>b>a \) ; \( b+a>c \)
\( c^n-2a^n =729-250=479 \)
\( c^n-2b^n=729-1024=-295 \)
En general si
\( c^n>2a^n \)
\( c^n<2b^n \)
\( c^n-2a^n>c^n-2b^n \)
Para no ponerme pesada, me paro y espero tu respuesta.
En tu respuesta 107 dices:"Y creo que te basas (erróneamente) en:
\( (c^n-2b^n)<(c^n-2a^n) \)
Luego en tu respuesta 109 dices "Estoy totalmente de acuerdo en que \( c^n-2a^n>c^n-2b^n \)." Gracias.
Yo creo que te basas (erróneamente) en lo siguiente. Tienes:
\( (c^n-2b^n)<(c^n-2a^n) \)
\( -y_0b^{n-1}<x_0a^{n-1} \)
y crees que multiplicando término a término se mantiene la desigualdad. Pero no tiene porque ser cierto porque algunos términos son negativos y entonces no tienen porque conservarse las desigualdades. Ese hecho es lo que muestra mi ejemplo.
En mi respuesta 100 cerca del final escribo:
\( -y_0b^{b-1}(c^n-2b^n)<x_0a^{n-1}(c^n-2a^n) \)
Estos dos miembros están formados por un productos de dos factores. El factor \( y_0b^{n-1} \) es mayor al factor \( x_0a^{n-1} \) en 1.
El factor \( (c^n-2a^n) \) es mayor al factor \( (c^n-2b^n) \) en \( 2b^n-2a^n \) bastante mayor que 1.
Por favor repasa tu respuesta 107 pues creo que contiene algún error.
En tu respuesta 101, para contradecir mi desigualdad
\( -y_0b^{b-1}(c^n-2b^n)<x_0a^{n-1}(c^n-2a^n) \)
afirmas: "Es falso en general que."
En mi opinión no se debe recurrir a la generalidad aritmética, cuando tratamos una cuestión muy, pero que muy concreta:
Este razonamiento está mal. Es falso en general que:
\( A>0>B \) y \( D>C\quad \Rightarrow{}\quad -BD<AC \)
Por ejemplo: \( A=5 \), \( B=-4 \), \( D=2 \), \( C=1 \)
En tu caso:
\( A=\color{red}c^n\color{black}-2a^n \)
\( B=\color{red}c^n\color{black}-2b^n \)
\( D=y_0b^{n-1} \)
\( C=x_0a^{n-1} \)
Pones además un ejemplo que me reafirma:
\( -BD<AC \).
Yo creo, además, que en la desigualdad arriba citada, siendo el primer miembro el producto de dos factores negativos, podemos considerarlos ambos positivos sin que varíe su producto. Con ellos se ve más clara la desigualdad. El factor \( x_0a^{n-1} \) es menor en 1 al factor \( y_0b^{n-1} \). Y el factor \( (c^n-2a^n) \) es mayor a \( (c^n-2b^n) \) en \( 2b^n-2a^n \).
Para ver si consigo entenderte.
En el ejemplo que me pones
\( A-B=5-(-4)=9 \)
y la diferencia \( A-B-=2b^n-2a^n \) ha de ser par.
También escribes \( -BD<AC \):
\( -(-4\cdot{2)<5\cdot{1}}\rightarrow{}8<5 \)
En el hilo "Presunta demostración" iniciado por Maite_ac, se demuestra que la terna viable con valores más pequeños es la (5,8,9) para un exponente \( n=3 \), un \( x_0 = negativo \); \( y_0=positivo \).
Con estos datos:
\( -y_0b^{n-1}(c^n-2b^n)?x_0a^{n-1}(c^n-2a^n) \)
se llega a \( 169920<275425 \)
Para ternas mayores \( (a,b,c) \), la identidad de Bèzout con sus términos \( y_0b^{n-1}-x_0a^{n-1}=1 \) , serán cada vez mayores, como también el exponente \( n \) y los valores \( a,b,c \). Con lo cual la diferencia 1º miembro < 2º miembro también aumentará.
Para que tu ejemplo sea válido:
\( \displaystyle\frac{123123215}{123123214}<\displaystyle\frac{12312312357}{-12312312353} \)
y no lo es.
Por favor el_manco, dime si ves correcto esto.
1º miembro x \( a^{n-1}< \) 2º miembro x\( b^{n-1} \)
\( a^{n-1}(2x_0a^n+a-c^nx_0)<b^{n-1}(c^ny_0-2y_0b^n+b) \)
\( 2x_0a^n+a-c^nx_0 \) ? \( c^ny_0-2y_0b^n+b \)
\( 2x_0a^n+a+2y_0b^n \) ? \( c^nx_0+c^ny_0+b \)
\( 2x_0a^n+a+2y_0b^n \) ? \( a^nx_0+b^nx_0+a^ny_0+b^ny_0+b \)
\( x_0a^n+a+y_0b^n \) ? \( b^nx_0+a^ny_0+b \)
Buenos días
\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} ; \frac{y_{0}c^{n-b}}{a^{n-1}} \)
Elevándolas al cuadrado, multiplicando en cruz y dividiendo por \( c^{n} \) tenemos:
\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}+\frac{a^{2n}}{c^{n}} \) ?\( c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{n}} \)
\( a^{n-1}(2x_{0}a^{n}-c^{n}x_{0}+\frac{a^{n+1}}{c^{n}}) \) ? \( b^{n-1}(c^{n}y_{0}-2y_{0}b^{n}+\frac{b^{n+1}}{c^{n}}) \)
Trabajamos con los dos paréntesis:
\( c^{n}y_{0}>-c^{n}x_{0}\rightarrow diferencia c^{n}y_{0}+c^{n}x_{0} \) a favor 2º miembro
\( \frac{b^{n+1}}{c^{n}}>\frac{a^{n+1}}{c^{n}}\rightarrow diferencia \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{c^{n}} \) a favor 2º miembro
\( -2y_{0}b^{n}<2x_{0}a^{n}\rightarrow diferencia 2x_{0}a^{n}+2y_{0}b^{n} \) a favor 1º miembro
Comparamos las diferencias:
\( 2x_{0}a^{n}+2y_{0}b^{n} \) ? \( c^{n}y_{0}+c^{n}x_{0} \)
Hola,
Elevando al cuadrado las dos fracciones, multiplicando en cruz y dividiendo por \( c^{2n} \) llegamos a:
\( x_{0}a^{n-1}\frac{2a^{n}}{c^{n}}+y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}+\frac{a^{2n}}{c^{2n}} \) ? \( y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{2n}} \)
\( y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}-1)+x_{0}a^{n-1}(\frac{2a^{n}}{c^{n}}-1) \) ? \( \frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}} \)
si \( x_{0}a^{n-1}=y_{0}b^{n-1} \) y dividimos por \( y_{0}b^{n-1} \)
Elevando al cuadrado las dos fracciones, multiplicando en cruz y dividiendo por \( c^{2n} \) llegamos a:
\( x_{0}a^{n-1}\frac{2a^{n}}{c^{n}}+y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}+\frac{a^{2n}}{c^{2n}} \) ? \( y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{2n}} \)
\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \) ? \( \frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
\( \frac{x_{0}^{2}c^{2n}+a^{2}+2ax_{0}c^{n}}{b^{2n-2}} \) ? \( \frac{y_{0}^{2}c^{2n}-2y_{0}c^{n}b+b^{2}}{a^{2n-2}} \)
\( a^{2n-2}x_{0}^{2}c^{2n}+2x_{0}c^{n}a^{2n-1}+a^{2n} \) ? \( y_{0}^{2}c^{2n}b^{2n-2}-2y_{0}c^{n}b^{2n-1}+b^{2n} \)
\( c^{n}(2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1})+a^{2n} \) ? \( c^{2n}(y_{0}^{2}b^{2n-2}-x_{0}^{2}a^{2n-2})+b^{2n} \)
\( c^{n}(2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1})+a^{2n} \) ? \( c^{2n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})(y_{0}b^{n-1}-x_{0}a^{n-1})+b^{2n} \)
\( c^{n}(2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1})+a^{2n} \) ? \( c^{2n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})+b^{2n} \)
\( x_{0}a^{n-1}\frac{2a^{n}}{c^{n}}+y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}+\frac{a^{2n}}{c^{2n}} \) ? \( y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{2n}} \)
\( x_{0}a^{n-1}(\frac{2a^{n}}{c^{n}}-1)+y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}-1) ? \frac{b^{2n}}{c^{2n}}-\frac{a^{2n}}{c^{2n}} \)
Si \( x_{0}a^{n-1}=y_{0}b^{n-1} \) y dividimos por \( y_{0}b^{n-1} \)
\( \frac{2b^{n}}{c^{n}}-1+\frac{2a^{n}}{c^{n}}-1 \) ? \( \frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}y_{0}b^{n-1}} \)
\( \frac{2b^{n}+2a^{n}}{c^{n}}-2 \) ? \( \frac{b^{n}-a^{n}}{c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
\( \frac{b^{n}+a^{n}}{c^{n}}-1 \) ? \( \frac{b^{n}-a^{n}}{2c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
\( 0<\frac{b^{n}-a^{n}}{2c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
Yo supongo a propósito esa igualdad para observar que siendo
\( y_0b^{n-1}>x_0a^{n-1} \)
estoy beneficiando (digámoslo así) el valor del primer miembro; y, si aún así, el
primer miembro < segundo miembro más lo será usando \( x_0a^{n-1} \) que es menor.
Por otra parte es inmediato que si \( y_0b^{n-1}=x_0a^{n-1}+1 \) y \( a^n+b^n=c^n \)en (1) se tiene la igualdad; así es imposible que si operas adecuadamente esa expresión obtengas nada que niegue o contradiga la posibilidad de que esas tres igualdades se cumplan simultáneamente.
\( y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}-1) \) ? \( x_{0}a^{n-1}(1-\frac{2a^{n}}{c^{n}})+\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}} \)
\( x_{0}a^{n-1}=y_{0}b^{n-1} \)
\( \frac{2b^{n}}{c^{n}}-1 \) ? \( 1-\frac{2a^{n}}{c^{n}}+\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}y_{0}b^{n-1}} \)
\( \frac{2b^{n}+2a^{n}}{c^{n}} \) ? \( +2+\frac{b^{n}-a^{n}}{c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
\( \frac{b^{n}+a^{n}}{c^{n}} \) ? \( +1+\frac{b^{n}-a^{n}}{2c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
\( 0<\frac{b^{n}-a^{n}}{2c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
¿Me estás diciendo que es imposible demostrar la desigualdad de las dos fracciones?
Me preguntas qué fracciones. Son estas:
\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}} \) ; \( \displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)
Te repito mi pregunta:
¿Me estás diciendo que es imposible demostrar la desigualdad de las dos fracciones?
Por favor, respóndeme con un SI ó un NO.
Dado que has citado a Wiles, te diré que Wiles, aunque no se lo propusiera, ha demostrado la desigualdad de las dos fracciones; necesitando para ello cien folios.
Me baso en tu respuesta NO para animar a tantos buenos matemáticos de Rincón Matemático a que lo desmuestren con muchos menos folios.
Te cito textualmente: "no te estoy diciendo que en general sea imposible demostrar la desigualdad de las dos fracciones".
"Pero no hay ningún indicio de que sea más sencillo probar la desigualdad que propones, que la desigualdad original de Fermat."
En mi opinión hay que esforzarse en encontrar ese indicio.
Al fin y al cabo el mismo Fermat dejó escrito que poseía una demostración sencilla de su teorema.
El que no se haya encontrado no indica que no la tuviera.
Una cuestión Luis,
Si \( 2a^n+2b^n=2c^n \) porque \( a^n+b^n=c^n \)
Entonces en la proposición siguiente
\( 2a^n+2b^n-2c^n+T_1 \) ? \( T_2+T_3 \)
Se sigue que \( T_1 \) ? \( T_2+T_3 \)
o bien
\( a^n+b^n-c^n+\displaystyle\frac{T_1}{2} \) ? \( \displaystyle\frac{T_2}{2}+\displaystyle\frac{T_3}{2} \)
Hola
Elevando al cuadrado las dos fracciones, multiplicando en cruz y dividiendo por \( c^{2n} \) llegamos a:
\( y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}-1)+\frac{a^{2n}}{c^{2n}}?x_{0}a^{n-1}(1-\frac{2a^{n}}{c^{n}})+\frac{b^{2n}}{c^{2n}} \)
Prescindimos de las dos fracciones, las cuales \( \frac{b^{2n}}{c^{2n}}>\frac{a^{2n}}{c^{2n}} \)
\( y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}-y_{0}b^{n-1}?(y_{0}b^{n-1}-1)(1-\frac{2a^{n}}{c^{n}}) \)
\( y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}-y_{0}b^{n-1}?y_{0}b^{n-1}-y_{0}b^{n-1}\frac{2a^{n}}{c^{n}}-1+\frac{2a^{n}}{c^{n}} \)
\( y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}+\frac{2a^{n}}{c^{n}})?2y_{0}b^{n-1}-1+\frac{2a^{n}}{c^{n}} \)
\( y_{0}b^{n-1}\frac{2a^{n}}{c^{n}}>\frac{2a^{n}}{c^{n}}\rightarrow dif\frac{2a^{n}}{c^{n}}(y_{0}b^{n-1}-1) \) favor 1º mi.
\( 2y_{0}b^{n-1}>y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}\rightarrow dif2y_{0}b^{n-1}(1-\frac{b^{n}}{c^{n}}) \) favor 2º mi.
Comparamos las diferencias teniendo en cuenta el término -1 del segundo miembro
\( \frac{2a^{n}}{c^{n}}(y_{0}b^{n-1}-1)?2y_{0}b^{n-1}(1-\frac{b^{n}}{c^{n}})-1 \)
DIVIDO por 2 :\( \frac{a^{n}}{c^{n}}(y_{0}b^{n-1}-1)?y_{0}b^{n-1}(1-\frac{b^{n}}{c^{n}})-\frac{1}{2} \)
los factores \( y_{0}b^{n-1}<y_{0}b^{n-1} \)
comparo los factores \( \frac{a^{n}}{c^{n}}?1-\frac{b^{n}}{c^{n}}\rightarrow\frac{a^{n}}{c^{n}}?\frac{c^{n}-b^{n}}{c^{n}}\rightarrow\frac{a^{n}}{c^{n}}=\frac{a^{n}}{c^{n}} \)
estos dos factores son iguales a \( \frac{a^{n}}{c^{n}} \)
DIVIDO por \( \frac{a^{n}}{c^{n}} \) :
\( y_{0}b^{n-1}-1?y_{0}b^{n-1}-\frac{c^{n}}{2a^{n}} \)
\( y_{0}b^{n-1}+\frac{c^{n}}{2a^{n}}?y_{0}b^{n-1}+1\rightarrow\color{red}\frac{c^{n}}{2a^{n}}>1\rightarrow c^{n}>2a^{n}\color{black} \)
"Sí, ya lo sé. Desde el principio las fracciones que pones, son reescritura de la ecuación de Fermat, usando las técnicas de resolución de ecuaciones diofánticas de ecuaciones lineales".
Yo creo que lo que reconoces en este párrafo me lo atribuyo como mérito propio que nadie antes ha encontrado.
Dices que "no hay ningún indicio de que sea más sencillo probar la desigualdad que propones a la desigualdad original de Fermat: \( a^n+b^n\neq{c^n} \)"
Pienso Luis que lo anterior es algo subjetivo de lo que se puede discrepar.
\( \color{red}c^{4n}-b^{4n}-a^{4n}\color{black}-4a^{n}c^{3n}+4a^{2n}c^{2n}?-2a^{2n}b^{2n} \)
\( \color{red}2a^{2n}b^{2n}\color{black}-4a^{n}c^{3n}+4a^{2n}c^{2n}?-2a^{2n}b^{2n} \)
Luis eres un lince
Ha ocurrido que he dado a mi secretaria Mayte de dos cuartillas la que no era y que paso a transcribir:
\( c^{2n}+\color{red}2a^{n}b^{n}\color{black}+a^{2n}+2a^{2n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
\( c^{2n}+a^{2n}-4c^{n}a^{n}?b^{2n}-2a^{2n} \)
Dadas las expresiones
\( c^{2n}-2a^{n}c^{n}?b^{2n}-a^{2n} \)
\( c^{n}-2a^{n}?b^{n}-a^{n} \)
si sustituimos \( c^{n}=a^{n}+b^{n} \) , los dos interrogantes son \( = \)
.
Veamos que ocurre si restamos las expresiones:
\( c^{2n}-2a^{n}c^{n}-c^{n}+2a^{n}?b^{2n}-a^{2n}-b^{n}+a^{n} \)
\( c^{2n}-2a^{n}c^{n}-c^{n}+a^{n}?b^{2n}-a^{2n}-b^{n} \)
\( c^{n}(c^{n}-1)+a^{n}(a^{n}+1)?b^{n}(b^{n}-1)+2a^{n}c^{n} \)
\( c^{n}+\frac{a^{n}(a^{n}+1)}{c^{n}-1}?\frac{b^{n}(b^{n}-1)}{c^{n}-1}+\frac{2a^{n}c^{n}}{c^{n}-1} \)
\( c^{n}-\frac{2a^{n}c^{n}}{c^{n}-1}?\frac{b^{n}(b^{n}-1)}{c^{n}-1}-\frac{a^{n}(a^{n}+1)}{c^{n}-1} \)
Si hacemos \( c^{n}-1=c^{n} \) ; \( b^{n}-1=b^{n} \) ; \( a^{n}+1=a^{n} \)
\( c^{2n}-2a^{n}c^{n}?b^{2n}-a^{2n} \)
con lo cual llegamos a la primera de las dos expresiones iniciales
¿Qué conjeturas se pueden hacer de este hecho? En mi opinión la de que los dos interrogantes no pueden ser \( = \) .
De todas formas te adelanto que minette jamás ha manifestado su intención de demostrar la desigualdad \( a^n+b^n \neq{c^n} \) tanto para enteros como para reales
Si así lo hubiera hecho, minette estaría loca.
En ningún momento de sus respuestas se puede atisbar la citada intención.
- ¿Son los enteros números reales?
- ¿Wiles lo demostró para TODOS los números reales?
- El Teorema de Fermat causa fascinación por ser extremadamente simple de entender en su planteamiento.
- Su \( n \) es un número entero mayor que 2, entonces no existen números ENTEROS POSITIVOS, \( a,b,c \) tales que cumplan la igualdad
\( a^n+b^n=c^n \) Pierre de Fermat
Os ruego, a tí Luis y a todos los visitantes de este hilo, sobre todos los que han llegado a buen puerto en alguna cuestión matemática, que me expliquéis qué es una demostración troncal.
En mi caso concreto que números reales debo incluir: Racionales, Irracionales (algebraicos, trascendentes), Enteros (Naturales, Negativos), Fraccionarios (Exactos, Periódicos).
Según tú, Luis, Wiles demostró que \( a^n+b^n\neq{c^n} \) si \( n>2 \) sólo para enteros positivos y a mí me exiges que lo demuestre también para los reales para los que si es posible la igualdad.
Por favor Luis dime en concreto para que clase de números reales la desigualdad \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \) es falsa:
-Racionales enteros naturales primos.
-Racionales enteros naturales compuestos.
-Racionales enteros negativos.
-Racionales fraccionarios exactos.
-Racionales fraccionarios periódicos (puros o mistos).
-Irracionles algebraicos
-Irracionales trascendentes.
Es falsa para los racionales; y como los racionales contienen los enteros y éstos a su vez a los naturales, etc., pues sólo es cierta para los irracionales; dicho de otra manera, para los números de infinitas cifras.
Esa "aclaración" marcada en rojo, confunde más que clarifica. Yo diría dicho de otra manera cocientes de enteros. En otro caso te obliga a meterte en camisas de once varas.
Saludos.
Ahora, así como yo puedo poner la terna (5,8,9) como ejemplo de \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \). Te pido que me pongas dos ternas \( (r_{1},r_{2,}r_{3}) \)
para las cuales \( r^n_1+r^n_2= r^n_3 \).
Ahora, así como yo puedo poner la terna (5,8,9) como ejemplo de \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \). Te pido que me pongas dos ternas \( (r_{1},r_{2,}r_{3}) \)
para las cuales \( r^n_1+r^n_2= r^n_3 \).
Cuando pongo la terna \( (r_1, r_2, r_3) \) pensaba que los tres han de ser irracionales algebraicos o bien los tres irracionales trascendentes.
Cuando dices que mi demostración no es válida porque no tengo en cuenta los números reales, creía que no podemos mezclar enteros con irracionales.
¿Ha podido ocurrir que la demostración de Wiles no sea válida por no tener en cuenta los números reales? ¿Por no tener un argumento troncal que la ciña única y exclusivamente a enteros positivos?
Hola
En mi opinión Wiles trabajó con ecuaciones elípticas-modulares (curvas).
Este tipo de ecuaciones sólo pueden venir de \( a^n+b^n=c^n \) cuando \( a,b,c \) son única y exclusivamente números naturales.
Con lo cual los números reales quedan totalmente apartados de la cuestión.
Saludos.
Bueno, perdón por el off-topic.
Por favor Luis dime en concreto para que clase de números reales la desigualdad \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \) es falsa:
-Racionales enteros naturales primos.
-Racionales enteros naturales compuestos.
-Racionales enteros negativos.
-Racionales fraccionarios exactos.
-Racionales fraccionarios periódicos (puros o mistos).
-Irracionles algebraicos
-Irracionales trascendentes.
Por otro lado un millón de gracias por los muchos erroes que me has hecho notar a lo largo del tiempo.
Gracias y saludos.
En mi opinión Wiles trabajó con ecuaciones elípticas-modulares (curvas).
Este tipo de ecuaciones sólo pueden venir de \( a^n+b^n=c^n \) cuando \( a,b,c \) son única y exclusivamente números naturales.
Con lo cual los números reales quedan totalmente apartados de la cuestión.
Te pregunto si es correcto formular ternas mezclando racionales con irracionales para evidenciar que el Teorema de Fermat no se cumple.
Hola FerivaSi el teorema de Fermat es cierto para los exponentes primos tambien lo es para los compuestos.(*)
Me dices que las potencias (valor de \( n \)) han de ser números primos. La demostración que estoy intentando es válida para todo valor de \( n \) (sea par o impar).
No entiendo porqué dices "que no se puede apuntar tan alto".Lo que yo he entendido de feriva es que no se puede apuntar tan alto de una sola vez, es decir que hay que ponerse retos intermedios y paso a paso. "vista larga y paso corto" como dice un buen amigo mio. En este sentido que es el que creo tiene la frase de feriva, así es como avanza normalmente la ciencia, aunque a veces da pasos de gigantes.
De ser eso así la ciencia estaría estancada (no sólo las matemáticas).
Hola Feriva
Me dices que las potencias (valor de \( n \)) han de ser números primos. La demostración que estoy intentando es válida para todo valor de \( n \) (sea par o impar).
No entiendo porqué dices "que no se puede apuntar tan alto".
De ser eso así la ciencia estaría estancada (no sólo las matemáticas).
Por otro lado si en una terna tiene que haber mezcla, ¿como tendrías que formular un teorema concluyendo que \( a^n+b^n=c^n \)?
Saludos.
Por otro lado si en una terna tiene que haber mezcla, ¿como tendrías que formular un teorema concluyendo que [texx]a^n+b^n=c^n[/texx]?
Hola Feriva
Pues recuerdas mal: yo nunca he intentado demostrar el teorema de Fermat para \( n=4 \) ni para \( n=3 \). Aprovecho para decir que los intentos para un valor concreto de \( n \) (no quiero minimizar el trabajo de Euler), como tampoco para una gama de valores de \( n \), han sido históricamente inutiles para demostrar el Teorema. Y eso, básicamente, por haber restringido esos intentos a un caso particular siendo conscientes de ello. Y eso, insisto, la HISTORIA lo ha demostrado.
Intento de demostración del UTF.
Aunque Luis dice que no basta con que yo lo digo, AFIRMO que \( a,b,c \) son ENTEROS POSITIVOS (Naturales). Con los cuadrados de estos números puede ocurrir estos tres casos:
\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \) y no hay más casos.
recordemos que \( c>b>a \) ; \( b+a>c \)
CASO 1º \( a^2+b^2<c^2 \)
entonces \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \)
CASO 2º \( a^2+b^2=c^2 \)
entonces \( a^n+b^n <c^n \) para \( n>2 \)
Nos queda el caso \( a^2+b^2>c^2 \) que trataremos en otra respuesta.
El que yo haya participado en un hilo de otro forista no te autoriza a decir que yo he intentado demostrar los casos \( n=4 \) y \( n=3 \).
Conozco un poco bien la historia del Teorema de Fermat y puedo asegurar que las demostraciones parciales no han aportado nada a la demostración general.
Antes de seguir creo recordar, como inciso, que alguien ha intentado demostrar el caso \( n=4 \) usando las fórmulas que nos dan todas las ternas pitagóricas. Si ello es así, entramos de lleno en el caso antes visto de \( a^2+b^2=c^2 \) de donde se deduce que \( a^n+b^n<c^n \), incluido \( n=4 \).
Antes de seguir creo recordar, como inciso, que alguien ha intentado demostrar el caso \( n=4 \) usando las fórmulas que nos dan todas las ternas pitagóricas. Si ello es así, entramos de lleno en el caso antes visto de \( a^2+b^2=c^2 \) de donde se deduce que \( a^n+b^n<c^n \), incluido \( n=4 \).
Se me ha olvidado una cosa. Por un lado te pregunto ¿cuál es la demostración clásica que citas?
Por otro, es sabido que Pierre de Fermat realizo una demostración para el caso \( n=4 \). ¿es a ésta a la que llamas demostración clásica?
Hola Feriva
Se me ha olvidado una cosa. Por un lado te pregunto ¿cuál es la demostración clásica que citas?
debe cumplirse que existen enteros positivos p,q,p>q, sin factores comunes, y de distinta paridad,
tales que \( α=p^2−q^2, β=2pq, γ=p^2+q^2 \).
No discuto, Luis, que aplicando la terna \( (a^2,b^2,c^2) \) o ("algo análogo")? se llegue a demostrar el caso \( n=4 \) pero seguro que es un camino más largo y complicado que el referido por mí más arriba.
Dada una terna \( (a,b,c) \) de enteros positivos y dase también que \( a^2+b^2=c^2 \), entonces cumple decir que, por definición, la terna \( (a,b,c) \) es una terna pitagórica. ¿De acuerdo? Si ello es así, me ratifico en mí respuesta 191:
si \( a^2+b^2=c^2 \)
entonces \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \), incluído \( n=4 \).
Por favor dime qué es incorrecto en lo que escribí más arriba.
Dada una terna \( (a,b,c) \) de enteros positivos y dase también que \( a^2+b^2=c^2 \), entonces cumple decir que, por definición, la terna \( (a,b,c) \) es una terna pitagórica. ¿De acuerdo? Si ello es así, me ratifico en mí respuesta 191:
si \( a^2+b^2=c^2 \)
entonces \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \), incluído \( n=4 \).
No discuto, Luis, que aplicando la terna \( (a^2,b^2,c^2) \) o ("algo análogo")? se llegue a demostrar el caso \( n=4 \) pero seguro que es un camino más largo y complicado que el referido por mí más arriba.
Respecto a la tripleta \( (a\prime,b\prime,c\prime) \) que citas, te pregunto
\( (a')^2+(b')^2?(c')^2 \)
el ? es =, >, ó <.
Dices: "eso no impide que exista otra tripleta \( (a',b',c') \) que sí la cumpla". ¿Que cumpla qué?
Te concreto que me refiero ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE a demostraciones para \( n=4 \) basadas en las fórmulas
\( a=m^2-n^2 \)
\( b=2mn \)
\( c=m^2+n^2 \)
que permiten hallar todas las ternas primitivas pitagóricas con \( m>n \) primos entre sí. Es decir ternas que cumplan:
\( a^2+b^2=c^2 \)
Es decir \( (m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2 \) entonces
\( (m^2-n^2)^4+(2mn)^4<(m^2+n^2)^4 \)
Insistes en que no puede existir una demostración sencilla para \( n=4 \) porque YA existen otras demostraciones. Sin más argumentos.
A VER SI QUEDA CLARO: En ningún momento he manifestado mi intención de demostrar el caso \( n=4 \).
Dada una terna \( (a,b,c) \) de enteros positivos y dase también que \( a^2+b^2=c^2 \), entonces cumple decir que, por definición, la terna \( (a,b,c) \) es una terna pitagórica. ¿De acuerdo? Si ello es así, me ratifico en mí respuesta 191:
si \( a^2+b^2=c^2 \)
entonces \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \), incluído \( n=4 \).
No discuto, Luis, que aplicando la terna \( (a^2,b^2,c^2) \) o ("algo análogo")? se llegue a demostrar el caso \( n=4 \) pero seguro que es un camino más largo y complicado que el referido por mí más arriba.
No eres el primero que ha dicho que yo he intentado una demostración para los casos \( n=4 \) y \( n=3 \) (Feriva). Tú sólo para \( n=4 \).
Lo he demostrado para \( n>2 \), no sólo \( n=4 \), en los casos
\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
Me falta el caso \( a^2+b^2>c^2 \)
Si lo demuestro no sólo será para \( n=4 \) sino para todo valor de \( n>2 \).
La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) la podemos presentar así:
\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n} \) (1)
Estamos ante una ecuación diofántica.
Siendo \( a^{n-1} \) ,\( b^{n-1} \) primos entre sí, su \( m.c.d. \) es 1
En consecuencia (1) tiene infinitas soluciones pues \( 1\mid c^{n} \)
.
Por la identidad de Bèzout:
\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)
Siendo \( b>a\rightarrow x_{0}>y_{0} \) (valores absolutos)
Si \( x_{0}=negativo \) ; \( y_{0}=positivo \)
\( a^{n-1}(-x_{0})+b^{n-1}(+y_{0})=1 \)
\( a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n} \)
Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtienen así:
\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a \)
\( K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1}=b \)
\( K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
Conviene recordar (pese a su elementalidad) la exigencia de que cada valor dado a \( K \) ha de ser el mismo en las dos fórmulas anteriores; y, además, entero en el caso presente y positivo.
\( a^{n}=a^{n-1}\cdot a \)
\( b^{n}=b^{n-1}\cdot b \)
Sumando y sustituyendo \( a,b \) por las igualdades arriba citadas se llega a:
\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)
Siendo el paréntesis \( =1 \); si la conjetura de Fermat es cierta los valores de \( K \) han de ser distintos.
Demostrar que los valores de \( K \) son distintos es demostrar el UTF.
¿Estáis de acuerdo?
Me atrae mucho la soledad de quien no entiende nadie o casi nadie.
Efectivamente Luis. Lo hago porque de vez en vez surgen nuevos visitantes y nuevos administradores o moderadores por si pudieran aportar alguna sugerencia como robinlambada.
Hola feriva
Gracias por tus observaciones y consejos.
Recuerdo ahora una respuesta de Luis en la cual afirmaba que demostrar la desigualdad de las fracciones
\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\neq{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)
es imposible (o casi).
Esta dificultad me animó a creer que mi camino tiene sentido pues también es muy difícil demostrar \( a^n+b^n\neq{}c^n \) si \( n>2 \).
Saludos.
\( \frac{x_{0}c^{n+a}}{b^{n-1}}<\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
\( \color{blue}\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}\color{black}<\color{red}\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}}\color{black}+\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \)
\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}+\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}+\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}}+\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \)
Como no pones condiciones a esas letras, la desigualdad no revela nada, ¿quiénes son, que condiciones cumplen? Lo mismo puedes decir, con la boca, “son todos naturales” como que “son impares” como que “son no enteros”... No se ha definido nada, por tanto, lo que dices no es cierto (cuando una cosa no es cierta en todo caso, se dice que es falsa en general).
Feriva: las relaciones y significado de esas letras (no son cualesquiera) están explicadas en un mensaje anterior:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg406794#msg406794
Saludos.
Hola Luis
Si \( \displaystyle\frac{2b^n-c^n}{2b^n} \) es menor que \( \displaystyle\frac{c^n-2a^n}{2a^n} \) lo seguirá siendo si al segundo miembro le sumo un positivo entero o no, Y si no se lo sumo también.
Dime por favor si estás de acuerdo con esto para seguir contestándote.
Saludos.
P.D. minette: una vez más sabrías sin dudar que tu argumento está mal si fueses consciente de que en ningún paso has usado de manera decisiva el carácter entero de las variables.
Si \( \displaystyle\frac{2b^n-c^n}{2b^n} \) es menor que \( \displaystyle\frac{c^n-2a^n}{2a^n} \) lo seguirá siendo si al segundo miembro le sumo un positivo entero o no, Y si no se lo sumo también.
Dime por favor si estás de acuerdo con esto para seguir contestándote
Entonces si dudais de que \( a,b,c \) sean enteros, creo que tengo derecho, feriva, a dudar también de que \( z \) sea un entero como citas en tu respuesta 226. ¿Como demuestras de forma decisiva que \( z \) es entero?
Recuerdo que en los casos \( a^2+b^2<c^2 \) ; y \( a^2+b^2=c^2 \), Luis nunca me ha rebatido que \( a,b,c \) sean enteros.
Claro que \( a,b,c \) son variables: Pueden tener infinitos valores; pero todos pertenecen al conjunto de los números enteros.
¿Podría alguien decirme si la demostración de Wiles no fuera correcta por no tener en cuenta los números reales?
Recuerdo que en los casos \( a^2+b^2<c^2 \) ; y \( a^2+b^2=c^2 \), Luis nunca me ha rebatido que \( a,b,c \) sean enteros..
Yo te pido, por favor, me pongas un ejemplo (de una demostración, o del proceso matemático que sea) de como de un argumento troncal se derive la veracidad de una demostración.
creo que tengo derecho, feriva, a dudar también de que \( z \) sea un entero como citas en tu respuesta 226. ¿Como demuestras de forma decisiva que \( z \) es entero?
Me exijes, para aceptar que \( a,b,c \) son enteros, un "argumento troncal" del que, ineludiblemente, se derive que \( a,b,c \) son enteros
Yo te pido, por favor, me pongas un ejemplo (de una demostración, o del proceso matemático que sea) de como de un argumento troncal se derive la veracidad de una demostración.
De mi respuesta 221:
\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}+\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}+\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}} \)
Tenemos a la izquierda, primer miembro, una suma de dos sumandos. Asimismo tenemos a la derecha una suma de dos sumandos del segundo miembro.
Estas dos sumas permanecen exactamente igual así:
\( \frac{2b^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}+\frac{2a^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}+\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}} \)
¿De acuerdo?
Y de aquí, sin necesidad de multiplicar sino de COMPARAR:
\( \frac{2b^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}\rightarrow2b^{n}>c^{n} \)
\( \frac{2a^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}}?\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}}\rightarrow2a^{n}<c^{n} \)
\( 2b^{n}>c^{n}\rightarrow\frac{2b^{n}}{2b^{n}}>\frac{c^{n}}{2b^{n}}\rightarrow\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} \)
\( 2a^{n}<c^{n}\rightarrow\frac{2a^{n}}{2a^{n}}<\frac{c^{n}}{2a^{n}}\rightarrow\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)
\( \frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}<\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)
Mal. Esta expresión:\( \color{blue}\dfrac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}\color{black}<\color{red}\dfrac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}}\color{black}+\dfrac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \) (*)
No equivale la que inicialmente quieres comparar:Citar\( \dfrac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}+\dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\dfrac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}+\dfrac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}}+\dfrac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \) (**)[/size]
Los términos que he coloreado en la primera expresión los obtienes de la original uno multiplicando ciertos términos por \( 2y_0b^{2n-1} \) y otros por \( 2x_0a^{2n-1} \) (y el tercero dejándolo como está). Eso puede alterar por completo el carácter de igualdad o desigualdad.
\( \color{red}1+x_{0}a^{n-1}\color{black}+\frac{x_{0}b^{n}}{a}?\frac{c^{n}}{a^{n}}y_{0}b^{n-1}-\frac{b^{n}}{a^{n}} \)
\( \color{red}b^{n-1}\color{black}+\frac{x_{0}b^{n}}{a}?\frac{c^{n}}{a^{n}}y_{0}b^{n-1}-\frac{b^{n}}{a^{n}} \)
Me pregunto, si hubieras sido contemporáneo de Pierre de Fermat, cuando formuló lo que, tiempo después se llamo UTF, si te hubieras dirigido al matemático frances diciéndole: "en ningún sitio de lo que ha escrito es relevante que los números sean enteros".
Creo que estás influenciado por el caso \( n=4 \) que se basa en las ternas pitagóricas y por tanto se usan números enteros.
Pero, ¿Hay alguien que pueda asegurar que es imposible demostrar \( a^4+b^4\neq{c^4} \) por otro camino que no sea el descenso infinito?
Cuando Euler, después de muchos intentos -intentos fracasados- de demostrar \( a^3+b^3\neq{c^3} \) recurre a los números complejos nadie le puede decir que nos movemos exclusivamente en los enteros positivos. Aplica el descenso infinito con número complejos.
¿Por qué yo no puedo recurrir directamente a los enteros?
Si yo consigo demostrar la desigualdad de las dos fracciones habré demostrado el UTF tal como lo propuso Pierre de Fermat.
Objetar a esto que el método no es aplicable a números reales me parece una objeción difícil de entender.
Es como si una carrera de caballos ganada por un pura sangre, desvirtuáramos este triunfo en base a que un poni la corre en un tiempo menor.
Si consigo demostrar el UTF para enteros positivos: El UTF está demostrado.
Esto no lo empaña el hecho de que ese argumento no es aplicable a números reales.
De igual modo, un argumento aplicable a cuerpos sólidos, no se desvirtúa por el hecho de no ser aplicable a líquidos.
Nunca jamás Pierre de Fermat aludió en su conjetura a números reales. SÓLO a enteros positivos. Todos mis argumentos SI son aplicables a números reales. En los casos
\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
son aplicables a números reales, y en su momento me lo reconocistes.
¿Es que la expresión \( \sqrt[n ]{a^n}+\sqrt[n ]{b^n}=\sqrt[ n]{c^n} \) va a desvirtuar mis argumentos?
O ternas en que se mezclan artificiosamente distintas clases de reales, ¿los van a desvirtuar?
Todo esto para \( a,b,c \) enteros positivos, siendo \( c>b>a \) ; \( a+b>c \) .
Por favor, ¿alguien me puede transcribir este razonamiento para números reales?
Hola Feriva
Fernando Moreno me dice que visite el hilo en que tú escribes "cometes el mismo error que minette ha venido cometiendo últimamente".
Te ruego por favor contestes a mi respuesta 250 del hilo "¿Qué es lo correcto?".
Saludos.
La ecuación \( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n}
\) (1)
Si a,b son primos entre sí, tiene infinitas soluciones
Hola
Gracias feriva
No, feriva, son enteros positivos coprimos, y no otra cosa.
Claro que la condición es que el m.c.d. de \( a \) y \( b \) divida a \( "c" \). Pero, por favor, cíñete al caso de que m.c.d. es 1 .
Por favor, gracias por los casos que pones de no enteros; pero, por favor insisto, cíñete a que \( a,b \) son enteros positivos.
Muchas gracias otra vez.
Saludos.
Hola feriva
Ya que citas a Luis, quien insiste en que aunque yo demuestre
\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\neq{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^n-1} \)
esa demostración no es válida porque hay números reales que sí cumplen la igualdad de esas dos fracciones.
Insiste Luis en que no basta que yo afirme de \( a,b,c \) son enteros positivos. Tiene que haber, dice, un argumento troncal que garantice que \( a,b,c \) son enteros positivos.
Para mí el razonamiento de mi respuesta 250 es un argumento troncal, aunque para Luis no lo es. Al final de mi respuesta 250 pregunto, ¿alguien me puede transcribir este razonamiento para números reales? Es decir seguir paso a paso, todos los pasos mios con números reales para llegar a la igualdad de las dos fracciones.
Saludos.
Un cordial saludo, y lo siento, de verdad, no puedo decirte otra cosa.
Un cordial saludo, y lo siento, de verdad, no puedo decirte otra cosa.
Claro que podés feriva... todos podemos :)
Pero no estaría bien decir lo que no pienso :)
Ya que citas a Luis, quien insiste en que aunque yo demuestre
\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\neq{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^n-1} \)
esa demostración no es válida porque hay números reales que sí cumplen la igualdad de esas dos fracciones.
Insiste Luis en que no basta que yo afirme de \( a,b,c \) son enteros positivos. Tiene que haber, dice, un argumento troncal que garantice que \( a,b,c \) son enteros positivos.
Para mí el razonamiento de mi respuesta 250 es un argumento troncal, aunque para Luis no lo es. Al final de mi respuesta 250 pregunto, ¿alguien me puede transcribir este razonamiento para números reales? Es decir seguir paso a paso, todos los pasos mios con números reales para llegar a la igualdad de las dos fracciones.
Os voy a facilitar la cosa: supongamos \( n=5 \) entonces las fracciones son
\( \displaystyle\frac{x_0c^5+a}{b^4}=\displaystyle\frac{y_0c^5-b}{a^4} \)
por favor, os lo ruego, sustituid \( a,b,c \) por números reales concretos tales que se evidencie la igualdad de las dos fracciones.
Estas palabras tuyas Luis (aunque sean de tu subjetividad): "esa igualdad/desigualdad es más complicada que la inicial de Fermat", me llenan de satisfacción y orgullo
Ah, ya veo el error, mira (añado)
\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n}
\)
Si las incógnitas tienen el mismo valor que las bases "a y b" no son las que hacen la ecuación igual a 1, esto no es la identidad de Bezout con esos valores.
\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1
\)
En el ejemplo que te he puesto, la identidad de Bezout es
\( 3{\color{blue}x_{0}}+4{\color{blue}y_{0}}=1
\)
donde
\( 3({\color{blue}-1})+4({\color{blue}1})=1
\)
Estas palabras tuyas Luis (aunque sean de tu subjetividad): "esa igualdad/desigualdad es más complicada que la inicial de Fermat", me llenan de satisfacción y orgullo. Por favor permítemelo.
Os voy a facilitar la cosa: supongamos \( n=5 \) entonces las fracciones son
\( \displaystyle\frac{x_0c^5+a}{b^4}=\displaystyle\frac{y_0c^5-b}{a^4} \)
por favor, os lo ruego, sustituid \( a,b,c \) por números reales concretos tales que se evidencie la igualdad de las dos fracciones.
Lo que hace minette es considerar la resolución de la ecuación diofántica:
\( a^{n-1}x+n^{n-1}y=c^n \) (*)
Para ello busca enteros \( x_0,y_0 \) cumpliendo que:
\( -a^{n-1}x_0+b^{n-1}y_0=1 \)
Existen por ser \( a^{n-1},b^{n-1} \) coprimos.
Entonces multiplicando por \( c^n \), \( (-x_0c^n,y_0c^n) \) es una solución particular de (*) y \( (-x_0c^n+kb^{n-1},y_0c^n-ka^{n-1}) \) la general.
Como queremos que \( (a,b) \) sea solución:
\( a=-x_0c^n+kb^{n-1} \)
\( b=y_0c^n-ka^{n-1} \)
y despejando \( k \) en ambas e igualando:
\( \dfrac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}=\dfrac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)
*Pues ahora estoy aún más intrigado, minette; ¿qué tenías en la cabeza para afirmar que no se da la igualdad sabiendo que no conoces los valores de \( x_0 \) y \( y_0 \) y no sabes nada de ellos, no te das cuenta de que es totalmente gratuita la afirmación? Espero que a estas alturas entiendas ya todas las objeciones que se han hecho en el hilo; son incontestables.
No, gratuita no es. Si el Teorema de Fermat es cierto, es correcto que esa igualdad no puede darse (para valores enteros, en las condiciones descritas). El problema es que no ha sido capaz de probar que no puede darse, ni yo creo que sea más fácil esa nueva ecuación diofántica que la original de Fermat.
Hola
Antes de volver a intentar demostrar la desigualdad de las dos fracciones, quiero recordar que mi intento de demostrar el UTF consta de tres partes. Las dos primeras son correctas. Me falta la tercera.
Si consigo demostrar está última, es mi deseo que Rincón Matemático me acompañe en el éxito y divulgación de esta demostración del UTF. Y ello porque sin este foro me hubiera sido imposible lograrla.
Saludos.
Hola Luis
Contesto a tu respuesta 264.
Con tus datos \( a=2 \), \( b=3 \), \( c=\sqrt[5 ]{275} \)
\( y_0=\displaystyle\frac{1+16x_0}{81} \)
Si tomo \( x_0=1 \)
la fracción de la izquierda me da 3,14197...
y la de la derecha 3,6072...
No se produce la igualdad.
Saludos.
Hola
En mi respuesta 250 cito:
\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) para \( n\geq{3} \)
\( n \) es el mayor valor que cumple el signo > .
Te pongo un ejemplo con la terna \( (11,12,13) \):
\( 11^2+12^2>13^2 \)
\( 11^3+12^3>13^3 \)
\( 11^4+12^4>13^4 \)
\( 11^5+12^5>13^5 \)
\( 11^6+12^6<13^6 \)
Por tanto \( n-1=5 \) ; \( n=6 \)
Sustituyendo:
\( \displaystyle\frac{x_0c^6+a}{b^5}\neq{}\displaystyle\frac{y_0c^6-b}{a^5} \)
No cabe feriva \( n=1,2,3... \)
Para esta terna \( (11,12,13) \) el caso \( n=2 \) está quitado.
Y si \( n=3 \):
\( a^2+b^2>c^2 \).
Saludos.
Contesto a tu respuesta 264.
Con tus datos \( a=2 \), \( b=3 \), \( c=\sqrt[5 ]{275} \)
\( y_0=\displaystyle\frac{1+16x_0}{81} \)
Si tomo \( x_0=1 \)
la fracción de la izquierda me da 3,14197...
y la de la derecha 3,6072...
No se produce la igualdad.
Hola feriva
Puedes poner la terna que quieras (tú la llamas bases). Tú supones que \( a \) puede ser mucho más pequeña que \( b \). No hay ningún problema siempre que se cumpla:
\( c>b>a \) y \( b+a>c \)
empieza como te he explicado en mi respuesta 272 y así determinas el valor de \( n \).
Aunque para llegar a las fracciones se emplea \( n \) cuando \( n+1 \) es el mayor valor que produce el signo \( > \). El cálculo de \( n \) para una terna concreta no sirve para nada.
Saludos.
Dado que las dos fracciones se derivan o deducen de la identidad de Bèzout, te pido por favor que escribas la identidad de Bèzout para \( a=2 \) ; \( b=3 \) ; \( c=\sqrt[5 ]{275} \).
Siendo
\( a^n +b^n = c^n \)
\( a+b>c \)
¿Alguien puede demostrar la relación \( 3a^n? 2b^n \)?
Disculpa, pero creo que no ha quedado clara la relación que quieres demostrar. El interrogante no sé qué significa.
Hola
Siendo
\( a^n +b^n = c^n \)
\( a+b>c \)
¿Alguien puede demostrar la relación \( 3a^n? 2b^n \) ?
Saludos
Hola
Para que quede más claro, el interrogante entre \( 3a^n \) y \( 2b^n \):
\( 3a^n?2b^n \)
Hay que dilucidar si es
=
>
<
Saludos.
HolaNo es necesario que pidas perdón, en todo caso aceptada la disculpa.
Quiero pedir perdón a robinlambada y a martiniano por no concretar que, tal como dice feriva, se trata de números naturales.
También aclaro que c > b > a.
Saludos.
Hola. Antes de nada, quisiera aclarar que cuando participé en este hilo por primera vez, en mi respuesta anterior, no me di cuenta de que llevabais nada más y nada menos que 280 respuestas en más de dos años. Yo pensé que lo que planteó minette era para abrir el hilo, ya que su pregunta me aparecía en una página nueva. Pido disculpas, entonces, si ya habéis hablado de algo que estoy aquí pasando por alto.Si la relación no es simétrica, por tanto es cierto que no se da siempre la permutación. Me refería a las condiciones iniciales, que si lo son (simétricas respecto a permutaciones) e involucra en ciertos casos las dos desigualdades.
En cuanto a la pregunta de minette, yo diría que la igualdad no puede darse, ya que si \( 3a^n=2b^n \) se tendría:
\( 3c^n=3a^n+3b^n=5b^n\;\Rightarrow{}\;\displaystyle\frac{b}{c}=\sqrt[ n]{\displaystyle\frac{3}{5}}\not\in{\mathbb{Q}} \)
Y eso es absurdo.
Por otro lado, si no impones ninguna condición entre los valores \( a \) y \( b \) y hallases una solución a la ecuación del enunciado, cosa que según lo que estás intentando demostrar sólo es posible para \( n=2 \), se puede considerar, sin pérdida de generalidad \( a>b \) y entonces se tendrá \( 3a^n>2b^n \).
En cuanto a si se puede dar la otra desigualdad, pues si no excluyes el caso \( n=2 \), pueden darse ambas situaciones. Por ejemplo en la terna \( (a,b,c)=(3,4,5) \) puedes conseguir ambas desigualdades permutando la \( a \) con la \( b \), como dice robinlambada. Aunque esto no pasa siempre, por ejemplo con la terna \( (a,b,c)=(20,21,29) \) se da:
\( 3\cdot{20^2}=1200>882=2\cdot{21^2} \)
Y si permutamos, lo mismo:
\( 3\cdot{21^2}=1323>800=2\cdot{20^2} \)
Fíjate, robinlambada, en que la relación que se quiere demostrar no es simétrica.
La cuestión que planteo en mi respuesta 280 y que aclaro en la 283 y en la 286 no ha tenido respuesta pese a los grandes matemáticos de rincón matemático.
Diríase que es un fleco del UTF (supongo que habrá más flecos) que no permite una demostración.
\( a^n +b^n = c^n \)
\( a+b>c \)
¿Alguien puede demostrar la relación \( 3a^n? 2b^n \) ?
Ahora os planteo otro problema
Dadas las fracciones
\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}} \) ; \( \displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)
si son iguales, el cuadrado de una de ellas es igual al producto de ambas:
\( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^2=\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\cdot{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)
Os pido que desmostréis que esta igualdad es posible.
Un fleco, Luis, es una consecuencia.
Perdona mi cortedad. Según tú, de la igualdad \( a^n+b^n=c^n \) no se deduce ninguna relación entre \( 3a^n \) y \( 2b^n \). Pero a continuación dice que \( 3a^n =2b^n \) ; \( 3a^n>2b^n \); \( 3a^n<2b^n \); cualquiera de esas tres posibilidades es una proposición cierta por ser falsa la premisa de las mismas. No soy capaz de entenderlo.
Por favor termina tu frase "En realidad sabemos que NO existen naturales verificando"...
En realidad sabemos (lo demostro Wiles) que NO existen naturales verificando \( a^n+b^n=c^n \)
La premisa \( a^n+b^n=c^n \) es falsa pero la premisa \( a^n+b^n<c^n \) NO es falsa.
Gracias Luis por tu lección de Lógica filosófica.
Pero, lo que a mí me interesa es que quienes participáis en este hilo ( feriva, robinlambada, etc.) elevéis al cuadrado la fracción
\( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^2 \)
multipliquéis estas dos fracciones
\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\cdot{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)
y, finalmente, igualéis los resultados de ambas operaciones y comprobéis si se produce, o no, la igualdad.
Hola
El caso, Luis, es que no sabemos si las citadas dos fracciones son iguales. En tu notación desconocemos si A es igual a B.
La "sustancia" es, precisamente, saber si \( A = B \) o bien \( A\neq{B} \).
Permíteme discrepar de tu respuesta 295. Según tú es más sencillo comparar directamente \( A \) y \( B \) que \( A^2 \) y \( AB \). A lo largo del tiempo, de mucho tiempo, es lo que he hecho: comparar \( A \) y \( B \). El resutado ha sido NULO. Por ello intento comparar \( A^2 \) con \( AB \).
El profesor siempre debe incentivar (nunca desincentivar) a sus alumnos.
El profesor siempre debe incentivar (nunca desincentivar) a sus alumnos.
Como veo que nadie se atreve, expongo lo siguiente según mi respuesta 292:
\( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^2?\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\cdot{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)
Operando se llega a:
\( x_0^2c^{2n}a^{n-1}+2a^nx_0c^n+a^{n+1}?x_0y_0c^{2n}b^{n-1}-x_0c^nb^n+ay_0c^nb^{n-1}-ab^n \)
¿Alguien se atreve a continuar con matemáticas tan elementales?
Mi pregunta es la siguiente:
¿Debo considerar en mi intento de demostración \( c^n =a^n+b^n \) a sabiendas de que \( c^n\neq{a^n+b^n} \) según Wiles, y a sabiendas de que \( c^n>a^n+b^n \) según una premisa bien fundada de la que parto en mi intento de demostración?
Hola
No sé si recordarás, Luis, que mi intento de demostración del UTF consta de tres partes:
\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \)
y no hay más casos.
Si \( a^2+b^2<c^2 \) entonces \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \)
Si \( a^2+b^2=c^2 \) entonces \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \)
Para demostrar estos dos casos basta aplicar una pizca de sentido común. En ambos casos es de notar que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \)
Para el tercer caso y para que no nos centremos exclusivamente en \( n=3 \), escribo:
\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
siendo n el mayor valor que cumple la anterior desigualdad. Es decir con el signo \( > \). Entonces
\( a^{n-1}\cdot{}a+b^{n-1}\cdot{}b=c^{n-1}\cdot{c}\longrightarrow{}a^n+b^n=c^n \)
o bien \( a^n+b^n<c^n \)
porque el signo \( > \) por lo que acabamos de decir NO se puede dar.
Quiero notar que si \( a^n+b^n\neq{c^n} \) entonces \( a^n+b^n<c^n \) también en este tercer y último caso como en los dos primeros.
Si a estos tres casos los quieres llamar hipótesis, llámalos así. Espero haberme explicado mejor que en mi respuesta 303.
¿Debo considerar en mi intento de demostración \( c^n =a^n+b^n \) a sabiendas de que \( c^n\neq{a^n+b^n} \) según Wiles, y a sabiendas de que \( c^n>a^n+b^n \) según una premisa bien fundada de la que parto en mi intento de demostración?
Gracias, Luis por tus sugerencias.
Dentro de mi intento de demostración llego a
\( a^n+b^n=c^n (b^{n-1}y_0-a^{n-1}x_0)+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)
\( K=\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}} \) ; \( K=\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)
Siendo el paréntesis =1. Si la conjetura de Fermat es cierta los valores de \( K \) han de ser distintos.
En mis bastantes intentos de demostrar la desigualdad de las dos fracciones, me empiezo a dar cuenta de que si sustituyo \( c^n \) por \( a^n+b^n \) en cualquier paso de mi demostración, indefectiblemente llego a la igualdad de las dos fracciones. Es, como vulgarmente se dice, la pescadilla que se muerde la cola. Es decir las fracciones reaccionan a la igualda \( c^n=a^n+b^n \) mostrándose "lógicamente" iguales, como si se lo olieran.
Si escribo \( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^3=(\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}})^3 \)
y lo desarrollo, no veo, como tú dices, que eso sea una reescritura de \( a^n+b^n=c^n \).
En mis bastantes intentos de demostrar la desigualdad de las dos fracciones, me empiezo a dar cuenta de que si sustituyo \( c^n \) por \( a^n+b^n \) en cualquier paso de mi demostración, indefectiblemente llego a la igualdad de las dos fracciones. Es, como vulgarmente se dice, la pescadilla que se muerde la cola. Es decir las fracciones reaccionan a la igualda \( c^n=a^n+b^n \) mostrándose "lógicamente" iguales, como si se lo olieran.
Te voy a contestar con un caso concreto y práctico con la terna (5,8,9) ; \( n=3 \) ; \( x_0=-23 \); \( y_0=+9 \)
De aquí sustituyendo en las fórmulas de \( k \) se obtiene \( K_1=262,0625 \) ; \( K_2=262,12 \) ; la diferencia es pequeña.
Pero \( K_2^2-K_1^2 = 30,1461 \)
\( K_2^3-K_1^3=11849,34 \) Etcétera
Es decir en \( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^t=(\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}})^t \)
a medida que el exponente \( t \) aumenta, la diferencia \( K_2^t-K_1^t \) aumente exponencialmente y quizás (yo sólo he trabajado con \( t=2 \)) ; con un valor \( t>2 \) se pueda conseguir, con letras, la desigualdad \( K_1\neq{K_2} \).
Dice que la terna que pongo no cumple \( c^3=a^3+b^3 \).
Es que si lo cumpliera no existiría en Rincón Matemático el subforo Teorema de Fermat.
Siendo \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
y siendo \( n-1 \) el mayor valor que hace que esta desigualdad conserve el signo \( > \). Veamos que ocurre con \( a^n+b^n?c^n \).
Por un lado, como se ha dicho, no es posible que
\( a^n+b^n>c^n \)
por otro lado \( a^n+b^n<c^n \) no necesita demostración para el UTF.
Finalmente si \( a^n+b^n=c^n \) veamos qué ocurre:
\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
\( a^n+b^n=c^n \)
Sumando ambos miembros:
\( a^{n-1}(1+a)+b^{n-1}(1+b)>c^{n-1}(1+c) \) (*)
pero esto no es posible por lo dicho al principio de que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) siendo \( n-1 \) el mayor valor que hace esta desigualdad tenga el signo >.
Entonces \( a^{n-1}(1+a)=a^t \) siendo \( t \) (entero o no) \( > n-1 \) Etcétera para \( b^{n-1}(1+b) \) y \( c^{n-1}(1+c) \).
Recordarás que el caso \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \) ya lo tengo demostrado.
Por otro lado
\( b^{n-1}(1+b)=b^{t_{2}} \) ; \( t_{2}>n-1 \)
\( c^{n-1}(1+c)=c^{t_{3}} \) ; \( t_{3}>n-1 \)
\( a^{n-1}(1+a)=a^{t_{1}} \) ; \( t_{1}>n-1 \)
Entonces
\( a^{t_{1}}+b^{t_{2}}\ngtr c^{t_{3}} \)
lo cual evidencia que
\( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)
Permíteme que me centre en el caso
\( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)
que generalizo, para no reducirlo al n=3, así:
\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
por ejemplo, para la terna (11,12,13)
\( 11^{5}+12^{5}>13^{5} \)
5 es el mayor exponente que produce la desigualdad en el sentido \( > \) .
\( n-1=5\rightarrow n=6 \)
El ejemplo de la terna pitagórica (3,4,5) puedes repetirlo con éxito para las infinitas ternas pitagóricas primitivas y las más infinitas aún ternas pitagóricas secundarias. Pero no puedes aplicarlo a cualquier terna que no sea pitagórica primitiva o secundaria.
Por ejemplo la citada (11,12,13). En efecto:
\( 11^{5}+12^{5}>13^{5} \)
\( 11^{6}+12^{6}=13^{6} \)
Sumando
\( 11^{5}(1+11)+12^{5}(1+12)>13^{5}(1+13) \)
\( 11^{t_{1}}+12^{t_{2}}>13^{t_{3}} \)
y siendo \( t_{1}>5 \) ; \( t_{2}>5 \) ; \( t_{3}>5 \) entonces por definición
\( 11^{t_{1}}+12^{t_{2}}\ngtr13^{t_{3}} \) .
Hay dos cosas que ya me extrañan.
Una es que con las matemáticas de tan bajo nivel (me atrevería a decir baja estofa) como son las mías, únicamente Luis Fuentes (por favor no me abandones) me replica.
\( a^{2}+b^{2}<c^{2} \) ; \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \) para \( n>2 \)
\( a^{2}+b^{2}=c^{2} \) ;\( a^{n}+b^{n}<c^{n} \) para \( n>2 \)
\( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)
y en general \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
siendo \( (n-1) \) el mayor exponente que permite que esta desigualdad conserve el sentido \( > \) .
Entonces
\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
Si
\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
al sumar
\( a^{n-1}+a^{n}+b^{n-1}+b^{n}>c^{n-1}+c^{n} \)
\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
\( a^{n-1}(a+1)=a^{t_{1}} \) con \( t_{1}>n-1 \)
\( b^{n-1}(b+1)=b^{t_{2}} \) con \( t_{2}>n-1 \)
\( c^{n-1}(c+1)=c^{t_{3}} \) con \( t_{3}>n-1 \)
Entonces por definición
\( a^{t_{1}}+b^{t_{2}}\ngtr c^{t_{3}} \)
porque estos tres exponentes como se ha dicho son mayores a \( (n-1) \) .
Y siendo esto así \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)
Esta demostración sólo es aplicable ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE al caso \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \) y generalizando a \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
Otro razonamiento, en mi opinión válido, es que si prescindimos del \( (+1) \) en los tres paréntesis llegamos a \( a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \) porque \( n>n-1 \) .
Cabría que \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) ; pero esto es imposible precisamente por la existencia de los tres \( (+1) \) .
Perdona mi cortedad. Tú te empeñas, poniendo el ejemplo de la terna \( (3,4,5) \), en desacreditar mi argumento totalmente válido para la infinidad de ternas que cumplenSi vuelves a leer de manera comprensiva los tres enlaces que te indiqué verás que doy otras muchas razones que muestran que tu argumento está mal, independientemente del ejemplo para \( n=2 \). Por ejemplo:
\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) para \( n\geq3 \)
Más aun, tu comienzas tomando el \( n-1 \) natural más grande para el cuál \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \). Nada impide entonces que pudiera existir un exponente no natural \( t \) con \( n-1<t<n \) tal que \( a^t+b^t>c^t \) y menos aun impide que se de esa desigualdad para exponentes \( t_1,t_2,t_3 \) reales y distintos, hecho sobre el cual no dice nada tu suposición inicial sobre la maximalidad de \( n-1 \).
Hasta aquí, de acuerdo. Pero...Citarpero esto no es posible por lo dicho al principio de que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) siendo \( n-1 \) el mayor valor que hace esta desigualdad tenga el signo >.
Entonces \( a^{n-1}(1+a)=a^t \) siendo \( t \) (entero o no) \( > n-1 \) Etcétera para \( b^{n-1}(1+b) \) y \( c^{n-1}(1+c) \).
¿Por que no va a ser posible la desigualdad (*)?. Fíjate que si \( a^{n-1}(1+a)=a^t \), entonces no tiene porque ocurrir que \( b^{n-1}(1+b)=b^t \) con el mismo valor de \( t \).
\( 5 \) es el mayor exponente natural \( m \) tal que \( 11^m+12^m>13^m \), pero NO es el mayor exponente real tal que \( 11^m+12^m>13^m \). Por ejemplo:
\( 11^{5.1}+12^{5.1}>13^{5.1} \)
Veamos
\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
Entonces
\( a^{n}+a^{n-1}+b^{n}+b^{n-1}>c^{n}+c^{n-1} \)
¿Estás de acuerdo, Luis, con esta suma?
Expresando esta desigualdad de otra forma
\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
Si \( a^{n}+b^{n}?c^{n} \) , siendo \( n>n-1 \) entonces
\( a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)
entonces si \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) volvemos al razonamiento anterior.
En tu respuesta 01/10/2018 insistes en aplicar, al razonamiento sobre el UTF, números no naturales para el exponente, cosa que se aparta de la conjetura que formuló Fermat y que desvirtúa cualquier posicionamiento sea de la parte que sea.
No te extrañes de que mi secretaria Maite_ac tenga las mismas conclusiones que yo en este asunto.
\( b^{n-1}(1+b)=b^{t_{2}} \) ; \( t_{2}>n-1 \)
\( c^{n-1}(1+c)=c^{t_{3}} \) ; \( t_{3}>n-1 \)
\( a^{n-1}(1+a)=a^{t_{1}} \) ; \( t_{1}>n-1 \)
o bien \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \) (2)
o bien \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) (1)
Restando (1)-(2) \( 0>0 \) ; y esto es imposible.
Sumando \( 2a^{n}+2b^{n}<2c^{n}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \) ; y esto es posible.
Por tu respuesta 331 compruebo que lo único que consigo es cabrearte. Perdóname.
Cuando escribo ... “ y que desvirtua cualquier posicionamiento sea de la parte que sea”. Me estoy culpando a mí también y en primer lugar. Tenlo en cuenta.
Lo que digo, y repito, es que si \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) y siendo \( (n-1) \) el mayor exponente que cumple la desigualdad \( > \) , entonces siendo \( n>n-1 \) ; \( a^{n}+b\ngtr c^{n} \) por tanto sólo quedan dos opciones ó \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) ; ó \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
En ningún momento afirmo que se pueda dar la igualdad y la desigualdad al msimo tiempo, sólo que si \( \ngtr \) entonces el signo es \( < \) ó \( = \) . SÓLO uno de los dos.
¿Estás de acuerdo?
Perdonad mi cerrazón mental.
Siendo \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
Si \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
Sumando \( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
\( a^{t_{1}}=a^{n-1}(a+1) \) \( t_{1}>n>n-1 \)
\( b^{t_{2}}=b^{n-1}(b+1) \) \( t_{2}>n>n-1 \)
\( c^{t_{3}}=c^{n-1}(c+1) \) \( t_{3}>n>n-1 \)
En estas circunstancias y sustituyendo
\( a^{t_{1}}+b^{t_{2}}>c^{t_{3}} \)
y esto no es posible porque \( (n-1) \) es el mayor exponente que hace la desigualdad con signo \( > \).
\( 11^{5}+12^{5}>13^{5} \)
\( 11^{6}+12^{6}<13^{6} \)
Si en los tres paréntesis \( (a+1) \) , \( (b+1) \) , \( (c+1) \) prescindo de los tres \( (+1) \) llegamos a
\( a^{t_{1}}=a^{n} \)
Te voy a contestar con un ejemplo
\( 11^{5}+12^{5}>13^{5} \)
\( 11^{6}+12^{6}<13^{6} \)
Si en los tres paréntesis \( (a+1) \) , \( (b+1) \) , \( (c+1) \) prescindo de los tres \( (+1) \) llegamos a
\( a^{t_{1}}=a^{n} \)
\( b^{t_{2}}=b^{n} \)
\( c^{t_{3}}=c^{n} \)
y tenemos \( a^{n}+b^{n}>c^{n} \)
lo cual es imposible.
Con más razón se produciría esta desigualdad
si contamos con los tres \( (+1) \) por haber sumado \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
Siguiendo el ejemplo del principio:
con más razón y por ejemplo
\( 11^{6,2}+12^{6,4}<13^{6,6} \)
\( 6>5 \) ; \( 6>5 \) ; \( 6>5 \)
\( 6,2>5 \) ; \( 6,4>5 \) ; \( 6,6>5 \)
Gracias Feriva
Te sugiero que operes con
\( (a-1)^3+a^3 ? (a+1)^3 \)
Igual consigues una demostración para \( n=3 \) en este caso particular.
Saludos.
Luis creo que
\( 11^{6,5}+12^{6,4}>13^{6,3} \) no \( < \) .
Sean \( A,B,C,D,E,F \) NATURALES
si
\( A+B>C \)
\( D+E=F \)
Entonces \( A+B+D+E> C+F \)
¿Estamos de acuerdo?
A mi respuesta 340 no la has contestado.
Una vez estamos de acuerdo en eso, pienso que podemos manipular tanto como queramos el valor de los exponentes siempre que se cumpla que
\( A+B+D+E>C+F \)
¿Estás de acuerdo?
Por que no me pareció que fuese nada relevante; lo que allí dices es cierto, pero no tiene nada que ver con el error de fondo de tu argumento que es que la maximalidad del "mayor que" pare exponentes iguales y naturales no impide que para exponentes no naturales y distintos se pueda tener un "mayor que".
\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
\( a^n +b^n =c^n \)
Sumando
\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
Lo que quiero decir es que todas las operaciones que podamos hacer tanto en el miembro de la izquierda como en el de la derecha estarán separadas por el signo > :
operaciones 1º miembro > operaciones 2º miembro
Y digo
\( a^{n-1}(a+1)>a^n \)
\( b^{n-1}(b+1)>b^n \)
\( c^{n-1}(c+1)>c^n \)
Dame tu conformidad para seguir.
Me desorienta, Luis, que en estas objecciones que me pones utilices exponentes no enteros. Esto se aparta totalmente dela conjetura de Fermat. Y me desconcierta.
Por ello te pido por favor, te lo ruego, te suplico y, si es necesario me pongo de rodillas, para que cuando conteste a una respuesta mía sobre el UTF SÓLO emplees naturales.
Recordarás que el caso \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \) ya lo tengo demostrado.
Por otro lado
\( b^{n-1}(1+b)=b^{t_{2}} \) ; \( t_{2}>n-1 \)
\( c^{n-1}(1+c)=c^{t_{3}} \) ; \( t_{3}>n-1 \)
\( a^{n-1}(1+a)=a^{t_{1}} \) ; \( t_{1}>n-1 \)
Entonces
\( a^{t_{1}}+b^{t_{2}}\ngtr c^{t_{3}} \)
lo cual evidencia que
\( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)
Estamos cambiando puntos de vista sobre el UTF y no caben más que NATURALES.
En lo sucesivo doy mi palabra que utilizaré sólo naturales. Por otro lado me es incómodo corregir algunas errata tuya. Es como el mundo al revés.
\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) Una realidad
Siendo \( (n-1 \)) el mayor valor del exponente que permite la desigualdad con el signo \( > \)
\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) Una suposición
Al sumar
\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
Enseguida se observa que el signo \( > \) no se puede mantener porque
\( a^{n-1}(a+1)>a^{n}>a^{n-1} \)
\( b^{n-1}(b+1)>b^{n}>b^{n-1} \)
\( c^{n-1}(c+1)>c^{n}>c^{n-1} \)
Fuera de recordatorios sigo con lo mismo y creo que mejor.
Siendo \( n>n-1\rightarrow a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)
quedan dos opciones \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) ; \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
Primera opción
\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
\( a+b>c \)
Al sumar \( {a^{n}+a+b^{n}+b>c^{n}+c} \) y esto es imposible.
y así como Wiles necesitó 100 folios para su demostración, esta demostración mía sólo necesita una cuartilla por una cara.
¿Qué o quién te autoriza a afirmar que la conjetura que formuló Fermat sea aplicable a números reales?
Conozco un poco bien la historia de esta conjetura y puedo asegurar que nunca jamás nadie a exigido a nadie lo que tú me estás exigiendo (o poniendo trabas) a mí: que mis demostraciones sean válidas también para reales.
Repito tus palabras:
“En realidad sabemos (lo demostró Wiles) que NO existen NATURALES (lo recalco con mayúsculas) verificando \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) .”
“¡ Es que en el caso \( a^{2}+b^{2}\leq c^{2} \) es cierto que no puede darse \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) con \( n>2 \) incluso para números reales!”
Este “incluso para números reales” yo ceo que sobra.
Creo que estás algo obsesionado con que mis razonamientos deban cumplirse también para números reales. Y no acierto o llego a comprender porqué.
Digo y me reafirma que
(1 ) \( a(a^{n-1}+1)+b(b^{n-1}+1)>c(c^{n-1}+1) \) es imposible porque \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) con \( (n-1) \) mayor valor que cumple la desigualdad con signo \( > \) .
Si tú me rebates la imposibilidad de la desigualdad (1) es porque utilizas números reales.
En cuanto \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \) creo que te contradices a tí mismo.
Si
\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
\( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)
\( a^{n}+a^{2}+b^{n}+b^{2}>c^{n}+c^{2} \)
Esto es imposible porque \( a^{n}>a^{n-1} \) ; \( b^{n}>b^{n-1} \) ; \( c^{n}>c^{n-1} \)
y \( (n-1) \) es el mayor exponente que permite el signo \( > \) .
Por tanto \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)
Esto es imposible porque \( a^{n}>a^{n-1} \) ; \( b^{n}>b^{n-1} \) ; \( c^{n}>c^{n-1} \)
y \( (n-1) \) es el mayor exponente que permite el signo \( > \) .
Por tanto \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)
Dada una igualdad con sus dos miembros numéricamente MUY ELEVADOS, y dada una desigualdad con sus dos miembros numéricamente MUY BAJOS, si sumamos sus dos primeros miembros por un lado, y sus dos segundos miembros por otro, el signo de entre estas dos sumas es SIEMPRE el mismo de la desigualdad.
Quiero añadir lo siguiente:
Si minette hubiera afirmado que quería demostrar el UTF partiendo SÓLO de \( a^2+b^2>c^2 \) entonces tu objecciónes perfectamente válida.
Maite_ac en su respuesta 327 pregunta: ¿Por qué interfieres el caso \( a^2+b^2>c^2 \) con el \( a^2+b^2=c^2 \) siendo que este último ya está demostrado?
Si vuelves a leer de manera comprensiva los tres enlaces que te indiqué verás que doy otras muchas razones que muestran que tu argumento está mal, independientemente del ejemplo para \( n=2 \). Por ejemplo:Más aun, tu comienzas tomando el \( n-1 \) natural más grande para el cuál \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \). Nada impide entonces que pudiera existir un exponente no natural \( t \) con \( n-1<t<n \) tal que \( a^t+b^t>c^t \) y menos aun impide que se de esa desigualdad para exponentes \( t_1,t_2,t_3 \) reales y distintos, hecho sobre el cual no dice nada tu suposición inicial sobre la maximalidad de \( n-1 \).Hasta aquí, de acuerdo. Pero...Citarpero esto no es posible por lo dicho al principio de que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) siendo \( n-1 \) el mayor valor que hace esta desigualdad tenga el signo >.
Entonces \( a^{n-1}(1+a)=a^t \) siendo \( t \) (entero o no) \( > n-1 \) Etcétera para \( b^{n-1}(1+b) \) y \( c^{n-1}(1+c) \).
¿Por que no va a ser posible la desigualdad (*)?. Fíjate que si \( a^{n-1}(1+a)=a^t \), entonces no tiene porque ocurrir que \( b^{n-1}(1+b)=b^t \) con el mismo valor de \( t \).\( 5 \) es el mayor exponente natural \( m \) tal que \( 11^m+12^m>13^m \), pero NO es el mayor exponente real tal que \( 11^m+12^m>13^m \). Por ejemplo:
\( 11^{5.1}+12^{5.1}>13^{5.1} \)
Y por cierto, ¿es tu argumento o el de minette?.
Sea como sea no acabáis de comprender (ni tu ni minette) que el hecho de que yo diga "solo lo uso para naturales" o "solo lo hago para \( n>2 \)" no impide que ciertos pasos intermedios sigan siendo ciertos para reales o \( n\leq 2 \). Por poner un ejemplo genérico: que \( n>1 \), \( a>b \Rightarrow{} a^n>b^n \) es cierto para reales,.... por más que yo diga que lo uso sólo para naturales.
La desigualdad \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) mantiene el signo \( > \) siempre que el exponente no sea mayor a \( (n-1) \).
Dada ésta premisa veamos que ocurre con esta suma:
\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
\( a^n+b^n=c^n \)
\( a^{n-1}+a^n+b^{n-1}+b^n?c^{n-1}+c^n \)
¿Alguien me puede decir qué hay detrás del \( ? \) Si es \( > \), \( < \), ó = \( ? \)
Si se tiene:
\( A=B \)
\( C>D \)
Entonces:
\( A+C>B+D \)
Nadie discute tal cosa.
En tu respuesta 366 dices textualmente "te he puesto ejemplos donde falla".
Por favor ¿serías tan amable de repetir esos ejemplos?
\( 3+4>5 \)
\( 3^2+4^2=5^2 \)
Sumando:
\( 3(3+1)+4(4+1)>5(5+1) \)
Pero, te regalo un contraargumento adicional, y sin usar reales: para \( n=2 \) de hecho es falsa.
Y te regalo otro ejemplo para \( n=3 \):
\( a=2058260 \)
\( b=5434196 \)
\( c=5530891 \)
Se cumple que el mayor exponente entero para el cual \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) es \( n-1=2 \).
Y sin embargo:
\( a^3+a+b^3+b>c^3+c \)
HolaCitarFuera de recordatorios sigo con lo mismo y creo que mejor.
Siendo \( n>n-1\rightarrow a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)
quedan dos opciones \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) ; \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
Primera opción
\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
\( a+b>c \)
Al sumar \( {a^{n}+a+b^{n}+b>c^{n}+c} \) y esto es imposible.
¿Por qué es imposible? No das ningún motivo. Con ese tipo """demostraciones""" yo tengo una más fácil.
Si \( a,b,c,n\in \mathbb{N} \) y \( n>2 \) entonces \( a^n+b^n\neq c^n \) porque es imposible que \( a^n+b^n=c^n \).
¡Voilà! """Demostración""" del UTF en una línea...
P.D. feriva: en mi opinión nada de lo que comentas tiene que ver con el error de razonamiento de minette. Ella sabe lo que ocurre al sumar la igualdad y desigualdad; ahí razona correcto. El problema es que cree que eso contradice una premisa anterior.
Hola, Luis. Me refería a su penúltima respuesta, donde pregunta en concreto si alguien le puede decir qué singo se debe poner en "?"
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg421840#msg421840
Decidme
\( a^{n-1}+a^n>a^n>a^{n-1} \)
\( b^{n-1}+b^n>b^n>b^{n-1} \)
\( c^{n-1}+c^n>c^n>c^{n-1} \)
¿Estáis de acuerdo?
Hola
\( a^{n-1}+a^n \) (mayor a \( a^{n-1})+b^{n-1}+b^n \) (mayor a \( b^{n-1})?c^{n-1}+c^n \) (mayor a \( c^{n-1}) \)
Entonces \( a^{n-1}+a^n+b^{n-1}+b\ngtr c^{n-1}+c^n \)
\( a^{n-1}+a^n>a^n>a^{n-1} \)
\( b^{n-1}+b^n>b^n>b^{n-1} \)
\( c^{n-1}+c^n>c^n>c^{n-1} \)
Decidme
\( a^{n-1}+a^n>a^n>a^{n-1} \)
\( b^{n-1}+b^n>b^n>b^{n-1} \)
\( c^{n-1}+c^n>c^n>c^{n-1} \)
¿Estáis de acuerdo?
Creo que el ejemplar que me pones en tu respuesta 374 no es correcto. Debería ser así:
\( X=9^3+9^4 \)
\( Y=13^3+13^4\rightarrow{}X+Y=38048 \)
\( Z=14^3+14^4\rightarrow{}Z=41160 \)
\( X+Y \ngtr Z \)
Esto es una demostración de que
\( 9^4+13^4\neq{14^4} \)
\( a^{n-1}+a^n \) (mayor a \( a^{n-1})+b^{n-1}+b^n \) (mayor a \( b^{n-1})?c^{n-1}+c^n \) (mayor a \( c^{n-1}) \)
Entonces \( a^{n-1}+a^n+b^{n-1}+b\ngtr c^{n-1}+c^n \)
Y te regalo otro ejemplo para \( n=3 \):
\( a=2058260 \)
\( b=5434196 \)
\( c=5530891 \)
Se cumple que el mayor exponente entero para el cual \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) es \( n-1=2 \).
Y sin embargo:
\( a^3+a+b^3+b>c^3+c \)
Y te recuerdo algo que debes de entender; pero ya te lo explicado muchas veces... y nada. Tu argumento está mal (o cuando menos es profundamente incompleto) y no tengo que darte ningún ejemplo donde claramente falla la afirmación que haces para justificar que está mal. Al contrario eres tu quien debes de razonar porqué está bien, porque no das ningún motivo.
Como te dije antes del hecho de que \( n-1 \) sea el mayor natural tal que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) sólo te permite afirmar que no puede darse \( a^{m}+b^{m}>c^{m} \), para \( m>n-1 \) natural. Sólo eso. Cualquier otra conclusión que quieras sacar tienes que justificarla, demostrarla.
Como ves los números bastante rebuscados; en ese caso costaría más. ¡O quizá no existe tal ejemplo (aunque yo sospecho que si)! A lo mejor si es cierto que bajo esas condiciones no puede darse esa desigualdad.
Un millón de gracias por tu respuesta 378
Mi primera reflexión es que mi pretendida demostración no es válida.
Sólo tú, en función de lo que te ha costado encontrar la terna (137,307,310) podrías hacer una estimación en porcentajes de cuando mi pretendida demostración funciona y cuando no funciona. Igual que en la historia del UTF ha habido demostraciones parciales por ejemplo hasta un determinado valor de \( n \). Etcétera.
Al encontrar el ejemplo, eso desautoriza mi demostración. Pero, el problema, valga la redundancia, es que nadie me ha demostrado con letras que mi demostración no es válida.
Tú, con toda la razón del mundo, me repites "debes demostrarla".
Y yo también debería poder pedir una demostración (no un ejemplo de una terna) con letras, digámoslo así, de que no es válida.
Pero, el problema, valga la redundancia, es que nadie me ha demostrado con letras que mi demostración no es válida.
Pero, el problema, valga la redundancia, es que nadie me ha demostrado con letras que mi demostración no es válida.
A lo mejor me equivoco (Luis dirá, si acaso) pero aunque lo demostraras perfectamente (para potencias enteras y todos los requisitos) yo no veo que quedase demostrado el teorema con eso.
Creo que no es suficiente, porque entiendo que podríamos partir también de \( a^{n}+b^{n}<c^{n}
\) en vez de \( a^{n}+b^{n}>c^{n}
\) y darse la igualdad para “n-1” ó para “n+1” (con “n” igual o mayor que 3 cuando se toma “n-1” e igual o mayor que 2 si se toma n+1).
Con esto te quiero decir que no sé cuál sería la razón para que no pudiera ser así, no que no sea así.
¿Aún que demostrara perfectamente exactamente qué?.
No; ella ya ha razonado previamente que para estudiar el caso \( n \) puede suponer que \( n-1 \) es el mayor entero tal que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \).
¿O es que ella ha comprobado que si \( a^{n-1}+b^{n-1}<c^{n-1}
\) entonces \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}
\)? Si es así, ¿cómo se demuestra eso rigurosamente?; seguro que es fácil, pero no me sale ahora.
Una justificación sencilla de esto es la siguiente. La función \( f(x)=x^t \) es:
- si \( t>1 \) estrictamente convexa, cumple \( f(x)=0 \) y por tanto estrictamente superaditiva (https://en.wikipedia.org/wiki/Superadditivity) es decir: \( f(x)+f(y)<f(x+y) \)
Estoy tratando de escribir, casi podría decir dibujar, TODAS las ternas que contienen, como término menor 137. Son mogollón y me limitaré a exponeros el número de ellas pues si las pongo todas ocuparé varias páginas.
Teorema de Fermat: No existen naturales \( a,b,c,n \) con \( n>2 \) tales que \( a^n+b^n=c^n. \)
Prueba: Si existiesen naturales en esas condiciones despejando tendríamos:
\( b^n=c^n-a^n \)
\( b=\sqrt[n]{c^n-a^n}
\)
pero es imposible que la raíz enésima de una diferencia de potencias enésimas de naturales sea natural. Q.E.D.
Contesta a esto y de paso por una vez intercambiamos los papeles: ¿he demostrado el Teorema de Fermat? ¿si ?¿no? En caso negativo, ¿qué está mal en mi demostración?.
Hola
Iba a hacer desaparecer mi respuesta 388 pero Luis se ha adelantado al responderla.
Respecto a lo que me preguntas en tu respuesta 382, te contesto que mi formación en matemáticas es muy baja (o poca) y no me permite intercambiar nuestros papeles.
Te ayudo yo, minette, aunque tampoco sepa mucho.
Supón que eres profesora de un colegio y vas a poner el teorema (un ejercicio relacionado) como ejercicio de clase; una forma de escribirles un enunciado podría ser:
“Demostrar que, si para números naturales cualesquiera a,b,c,n, en todos los casos ocurre \( b\neq\sqrt[n]{c^{n}-a^{n}}
\), entonces “n” ha de ser mayor que 2”.
Queda claro, lo que hay que demostrar es que “n” tiene que ser mayor que 2, porque, si no, por ejemplo
\( 5=\sqrt[2]{3^{2}-4^{2}}
\) y ya no es “en todo los casos”.
Ahora, analiza la cuestión y date el gusto de contestarle a Luis “Así no demuestras nada”.
Teorema de Fermat: No existen naturales \( a,b,c,n \) con \( n>2 \) tales que \( a^n+b^n=c^n. \)
Prueba: Si existiesen naturales en esas condiciones despejando tendríamos:
\( b^n=c^n-a^n \)
\( b=\sqrt[n]{c^n-a^n}
\)
pero es imposible que la raíz enésima de una diferencia de potencias enésimas (con \( n>2 \)) de naturales sea natural. Q.E.D.
Respecto a lo que me preguntas en tu respuesta 382, te contesto que mi formación en matemáticas es muy baja (o poca) y no me permite intercambiar nuestros papeles.
HolaTe ayudo yo, minette, aunque tampoco sepa mucho.
Supón que eres profesora de un colegio y vas a poner el teorema (un ejercicio relacionado) como ejercicio de clase; una forma de escribirles un enunciado podría ser:
“Demostrar que, si para números naturales cualesquiera a,b,c,n, en todos los casos ocurre \( b\neq\sqrt[n]{c^{n}-a^{n}}
\), entonces “n” ha de ser mayor que 2”.
Queda claro, lo que hay que demostrar es que “n” tiene que ser mayor que 2, porque, si no, por ejemplo
\( 5=\sqrt[2]{3^{2}-4^{2}}
\) y ya no es “en todo los casos”.
Ahora, analiza la cuestión y date el gusto de contestarle a Luis “Así no demuestras nada”.
Ya he dicho en el enunciado del Teorema que trabajaba con \( n>2 \). En todo caso "arreglo" la "demostración para que quede más claro":Teorema de Fermat: No existen naturales \( a,b,c,n \) con \( n>2 \) tales que \( a^n+b^n=c^n. \)
Prueba: Si existiesen naturales en esas condiciones despejando tendríamos:
\( b^n=c^n-a^n \)
\( b=\sqrt[n]{c^n-a^n}
\)
pero es imposible que la raíz enésima de una diferencia de potencias enésimas (con \( n>2 \)) de naturales sea natural. Q.E.D.
¿Qué está mal?.
Hola, Luis, ¿respondo yo?
Para n=1, n=2 hay contraejemplos, de n=3 hacia arriba no hay contraejemplos, de ahí que se diga para n>2; sin embargo, que no haya ejemplos no supone una demostración, porque no se pueden probar todos los números.
No está mal, sólo que lo que has puesto es prácticamente el enunciado de la conjetura, hoy teorema (y el enunciado no demuestra nada, como es evidente). La afirmación "es imposible" no está mal tampoco, realmente es así, pero es así porque ya está demostrado de antemano, no se demuestra simplemente afirmándolo.
"Respecto a lo que me preguntas en tu respuesta 382, te contesto que mi formación en matemáticas es muy baja (o poca) y no me permite intercambiar nuestros papeles".
Porque tú sigues insistiendo en tu capacidad para valorar mi capacidad mental. Y eso es rotundamente falso. No la tienes.
Por lo demás seguiré luchando.
con ambos valores de \( b^{n} \) se produce la igualdad.
Y siendo \( 2b^{n}-3a^{n}<2b^{n}-c^{n} \) , la igualdad es imposible
Si yo fuera competente en lo que tú me citas, yo ocuparía tu puesto en el foro.
Te seguiré contestando a tu observación.
Tú estás muy por encima de todos los usuarios.
Por otro lado no me puedo imaginar que te haya afectado tanto el que yo sea incapaz (soy una inútil) de rebatir la demostración que me propones.
De forma parcial, ni \( n \) es par \( 2t \):
\( b\neq{}\sqrt[ 2t]{(c^t+a^t)(c^t-a^t)} \)
Teorema de Fermat: No existen naturales \( a,b,c,n \) con \( n>2 \) tales que \( a^n+b^n=c^n. \)
Prueba: Si existiesen naturales en esas condiciones despejando tendríamos:
\( b^n=c^n-a^n \)
\( b=\sqrt[n]{c^n-a^n}
\)
pero es imposible que la raíz enésima de una diferencia de potencias enésimas (con \( n>2 \)) de naturales sea natural. Q.E.D.
Hola
Tratamos de saber si estas fracciones son o no iguales
\( \frac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}}?\frac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)
Comparamos dos términos del primer miembro: \( c^{2n}b^{n} \) ; \( 3a^{2n}c^{n} \) con tres del segundo miembro: \( 2a^{n}c^{n}b^{n} \) ;\( c^{2n}a^{n} \) ; \( b^{2n}c^{n} \)
\( c^{n}(c^{n}b^{n}+3a^{2n})?c^{n}(2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n}) \)
dividimos por \( c^{n} \) :
\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
Por un lado \( c^{n}b^{n}>c^{n}a^{n} \); \( b^{n}>a^{n} \) ; Primer miembro > 2º miembro
Veamos que ocurre con el resto de términos:
\( 3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+b^{2n} \) ;\( 3a^{2n}-2a^{n}b^{n}?b^{2n} \) ;
\( a^{n}(3a^{n}-2b^{n})?b^{n}.b^{n} \) ; factor\( a^{n} \)< factor \( b^{n} \) ; \( a^{n}<b^{n} \)
factor\( (3a^{n}-2b^{n}) \) ? factor \( b^{n} \) ; \( 3a^{n}<3b^{n} \) ; \( a^{n}<b^{n} \) ; 1º miembro < 2º miembro
Conclusión: \( c^{n}(c^{n}b^{n}+3a^{2n})=c^{n}(2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n}) \)
Lo que digo Luis es que si
\( b^n>a^n \)
\( a^n<b^n \)
Entonces
\( b^na^n=a^nb^n \)
El hecho de que \( c^{n}b^{n}>c^{n}a^{n} \) evidencia y equivale que \( b^{n}>a^{n} \)
O sea \( 3a^{2n}<2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)
Lo cual equivale y evidencia que \( a^{n}<b^{n} \)
Creo que es más correcto \( b^n +a^n=a^n+b^n \) que el producto.
Vayamos por partes. En la expresión
\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
dividimos por \( c^{n} \) :
\( b^{n}+\frac{3a^{2n}}{c^{n}}?\frac{2a^{n}b^{n}}{c^{n}}+a^{n}+\frac{b^{2n}}{c^{n}} \)
de aquí destaco:
\( b^{n}>a^{n} \)
¿De acuerdo?
Sigo con la expresión
\( \frac{3a^{2n}}{c^{n}}?\frac{2a^{n}b^{n}}{c^{n}}+\frac{b^{2n}}{c_{n}} \)
multiplico por \( c^{n} \) :
\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
de aquí destaco \( c^{n}b^{n} \) (1º mi.) \( >c^{n}a^{n} \) (2ºmi.)
\( 3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)
\( a^{n}(3a^{n}-2b^{n})?b^{n}.b^{n} \)
\( a^{n}<b^{n} \)
\( 3a^{n}-2b^{n}?b^{n} \) ; \( 3a^{n}<3b^{n} \)
\( 3a^{2n}<3b^{2n} \)
\( a^{2n}<b^{2n}\rightarrow a^{n} \) (1º mi.) \( <b^{n} \) (2º mi.)
Finalmente
\( c^{n}b^{n} \) (1º mi.)\( > c^{n}a^{n} \) (2º mi.)
\( a^{n} \) (1º mi.) \( < b^{n} \) (2º mi.)
\( c^{n}b^{n}+a^{n}?c^{n}a^{n}+b^{n} \)
\( b^{n}(c^{n}-1)?a^{n}(c^{n}-1) \)
Primer miembro \( b^{n}>a^{n} \) segundo miembro
La conclusión a que llego es
\( \frac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}}>\frac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)
Supongamos que de las fracciones \( \frac{A}{B} \)y \( \frac{C}{D} \)
no sabemos si son iguales, ó \( \frac{A}{B}>\frac{C}{D} \) , ó \( \frac{A}{B}<\frac{C}{D} \)
Entonces multiplicamos \( A.B?BC \) y esto evidencia que \( AD>BC \) .
Entonces podemos afirmar que \( \frac{A}{B}>\frac{C}{D} \) .
Ahora me dices "no has dado ningún argumento válido"; "siempre cometes algún error muy grueso"; "te sacas de la manga". Etc.
No me gusta pero sólo, únicamente, porque no me das una pista para intentar corregir lo que está mal.
HolaEl hecho de que \( c^{n}b^{n}>c^{n}a^{n} \) evidencia y equivale que \( b^{n}>a^{n} \)CitarO sea \( 3a^{2n}<2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)
Lo cual equivale y evidencia que \( a^{n}<b^{n} \)
Pero es que el problema es que de ahí NO se deduce que:
\( \color{blue}c^{n}b^{n}\color{black}+3a^{2n}=2a^nb^n+\color{blue}c^na^n\color{black}+b^{2n} \)
Reformulo mi ejemplo para hacerlo idéntico a lo que propones. Por ejemplo:
\( 3<5 \) equivale a que \( 2\cdot 3<2\cdot 5 \)
\( 5>3 \) equivale a que \( 5^2>3^2 \)
Pero de ambas cosas no se concluye que:
\( 2\cdot 3+5^2=2\cdot 5+3^2 \) (de hecho esta igualdad es falsa).
Saludos.
P.D.Creo que es más correcto \( b^n +a^n=a^n+b^n \) que el producto.
No se que quieres decir con eso; tan cierto es que \( a^nb^n=b^na^n \) como \( a^n+b^n=b^n+a^n \).
La conclusión a que llego es
\( \frac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}}>\frac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)
Pero de nada de lo que has puesto antes se deduce esto. Ni tan siquiera das un argumento.
Empiezas detallando excesivamente cosas obvias y de repente te sacas de la manga la conclusión que te gustaría que fuese cierta, pero sin justificación alguna.
He repasado el hilo y ningún momento he escrito \( c^{n}b^{n}+3a^{2n}=2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
Conclusión: \( c^{n}(c^{n}b^{n}+3a^{2n})=c^{n}(2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n}) \)
por tanto tu ejemplo de \( 3<5 \) ;\( 5>3 \) etc. no procede.
D esa ? separo
\( c^{n}b^{n} \) (1º miembro) \( > c^{n}a^{n} \) (2º miembro)
Y me queda
(1º mi.) \( 3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+b^{2n} \) (2º mi.)
(1º mi) \( 3a^{2n}-2a^{n}b^{n}?b^{2n} \) (2º mi.)
\( a^{n}(3a^{n}-2b^{n})?b^{n}.b^{n} \)
Tenemos en el primer miembro dos factores:
\( a^{n} \) y \( (3a^{n}-2b^{n}) \)
y en el segundo miembro dos factores también:
\( b^{n} \) y \( b^{n} \)
El factor \( a^{n} \) (1º mi.) < factor \( b^{n} \) (2º mi.)
Veamos que ocurre con los otros dos factores:
\( (3a^{n}-2b^{n})?b^{n} \) (el otro)
\( 3a^{n}<3b^{n} \) ;
entonces \( a^{n}\equiv a^{n} \) ; \( 3a^{n}-2b^{n}\equiv3b^{n} \)
multiplicamos dos a dos los cuatro factores:
\( 3a^{2n}?3b^{n}a^{n} \) ; \( a^{n}<b^{n} \)
De aquí
\( c^{n}b^{n}>c^{n}a^{n} \)
\( a^{n}<b^{n} \)
\( c^{n}b^{n}+a^{n}?c^{n}a^{n}+b^{n} \)
\( b^{n}(c^{n}-1)?a^{n}(c^{n}-1) \)
\( b^{n} \) (1º mi.)>(2ºmi.)
De aquí \( c^{n}b^{n}+3a^{2n}>2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
Sí que había escrito la igualdad. Pero lo verdaderamente aberrante por mi parte es la forma en que llegaba a esa conclusión.
Empiezo a pensar que tengo dificultades para expresar por escrito mis razonamientos mentales.
Después de multiplicar en cruz las dos fracciones, me centro en los siguientes términos:
\( c^{n}b^{n}+3a^{2n} \) (miembro 1º) ? \( 2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \) (miembro 2º)
Separo ahora \( c^{n}b^{n} \) (miembro 1º) > \( c^{n}a^{n} \) (miembro 2º)
y me centro en los términos siguientes:
\( 3a^{2n} \) (miembro 1º) ? \( 2a^{n}b^{n}+b^{2n} \) (miembro 2º)
opero:
\( a^{n}(3a^{n}-2b^{n}) \) (miembro 1º) ? \( b^{n}.b^{n} \) (miembro 2º)
Comparo los dos factores del primer miembro con los dos del segundo miembro:
factor \( a^{n} \) (miembro 1º) < \( b^{n} \) (uno de los dos del 2º miembro)
factor \( (3a^{n}-2b^{n}) \) (miembro 1º) ? \( b^{n} \) (el otro del 2º miembro)
\( 3a^{n}-2b^{n}?b^{n} \) ;
\( 3a^{n} \) (miembro 1º) < \( 3b^{n} \) (2º miembro)
multiplicamos dos a dos los cuatro factores:
\( 3a^{n}.a^{n}?b^{n}.3b^{n} \) ; \( 3a^{2n}<3b^{2n} \) ; \( a^{n}<b^{n} \)
Entonces
\( c^{n}b^{n} \) (miembro 1º) > \( c^{n}a^{n} \) (miembro 2º)
\( a^{n} \) (miembro 1º) < \( b^{n} \) (miembro 2º)
\( c^{n}b^{n}+a^{n}?c^{n}a^{n}+b^{n} \)
\( b^{n}(c^{n}-1)?a^{n}(c^{n}-1) \)
Primer miembro > segundo miembro
\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}>2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
Reformulo mi ejemplo para hacerlo idéntico a lo que propones. Por ejemplo:
\( 3<5 \) equivale a que \( 2\cdot 3<2\cdot 5 \)
\( 5>3 \) equivale a que \( 5^2>3^2 \)
Pero de ambas cosas no se concluye que:
\( 2\cdot 3+5^2=2\cdot 5+3^2 \) (de hecho esta igualdad es falsa).
Por otro lado si los términos \( c^{n}b^{n} \) y \( c^{n}a^{n} \) los simplificamos y reducimos a \( b^{n} \) y \( a^{n} \) .
Y por otro lado \( 3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+b^{2n} \) los reducimos a \( a^{n} \) ; \( b^{n} \) , entonces \( b^{n}+a^{n}=a^{n}+b^{n} \) .
Y se produciría la igualdad
\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}=2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
Sigo.
Si \( b>a \)
¿Se puede afirmar \( 3a^n-2b^n <b^n \)?
Y también
\( a^n (3a^n-2b^n) < b^{2n} \) ?
Por otro lado, afirmas y aplicas \( c^n =a^n+b^n \).
Siendo que esto es falso, no se puede asegurar lo que concluyes.
¿Por qué supones que a partir de mi respuesta 405 trato de demostrar el UTF?
Por otro lado, afirmas y aplicas \( c^n =a^n+b^n \).
Siendo que esto es falso, no se puede asegurar lo que concluyes.
Confirmando o corrigiendo a minette
Multiplicando las fracciones en cruz y prescindiendo, por el momento de
\( 2a^{n}b^{2n} \) (miembro 1º) y \( 2a^{3n} \) (mimebro 2º)
tenemos
\( c^{n}b^{n}?c^{n}a^{n}-3a^{2n}+2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)
\( c^{n}b^{n}?c^{n}a^{n}+a^{n}(-3a^{n}+2b^{n})+b^{2n} \)
\( c^{n}b^{n}+a^{n}(3a^{n}-2b^{n})?c^{n}a^{n}+b^{n}.b^{n} \)
\( c^{n}b^{n}-c^{n}a^{n}?a^{n}(2b^{n}-3a^{n})+b^{n}.b^{n} \)
\( c^{n}-\frac{c^{n}a^{n}}{b^{n}}?\frac{a^{n}}{b^{n}}(2b^{n}-3a^{n})+b^{n} \)
\( c^{n}-\frac{c^{n}a^{n}}{b^{n}}?2a^{n}-\frac{3a^{2n}}{b^{n}}+b^{n} \)
\( c^{n}+\frac{3a^{2n}-c^{n}a^{n}}{b^{n}}?b^{n}+2a^{n} \)
\( c^{n}+\frac{a^{n}(3a^{n}-c^{n})}{b^{n}}?b^{n}+2a^{n} \)
Sumando \( c^{n}> \) sumando \( b^{n} \)
Sumando \( \frac{a^{n}(3a^{n}-c^{n})}{b^{n}} \) ? sumando \( 2a^{n} \)
\( a^{n}(3a^{n}-c^{n})?2a^{n}b^{n} \) ; \( 3a^{n}-c^{n}?2b^{n} \) ; \( 3a^{n}<2b^{n}+c^{n} \)
recapitulamos
\( c^{n}>b^{n} \)
\( 3a^{n}<2b^{n}+c^{n} \)
\( c^{n}+3a^{n}?3b^{n}+c^{n} \) ; \( 3a^{n}<3b^{n} \)
Reformulo mi ejemplo para hacerlo idéntico a lo que propones. Por ejemplo:
\( 3<5 \) equivale a que \( 2\cdot 3<2\cdot 5 \)
\( 5>3 \) equivale a que \( 5^2>3^2 \)
Pero de ambas cosas no se concluye que:
\( 2\cdot 3+5^2=2\cdot 5+3^2 \) (de hecho esta igualdad es falsa).
término \( 2a^{n}b^{2n} \) (miembro 1º) ? \( 2a^{2n} \) (miembro 2º)
\( b^{2n}>a^{2n} \)
\( 3a^{n}<3b^{n} \)
\( b^{2n}+3a^{n}?a^{2n}+3b^{n} \) ; \( b^{2n}-3b^{n}?a^{2n}-3a^{n} \) ; \( b^{n}(b^{n}-3)>a^{n}(a^{n}-3) \)
Las dos fracciones no son iguales.
Llevo tiempo, bastante tiempo, investigando en las matemáticas, ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE, los números enteros positivos. Trato de ver si consigo, investigando, nuevas matemáticas en el campo, repito, de los números enteros positivos.
Los términos que prescindo \( 2a^{n}b^{2n} \) y \( 2a^{3n} \) , el interrogante que los separa será el mismo si los divido por \( c^{n} \) :
\( \frac{2a^{n}b^{2n}}{c^{n}}?\frac{2a^{3n}}{c^{n}} \)
Cuando dices, Luis, que para números reales las dos fracciones sí pueden ser iguales estás reconociendo que para enteros positivos no lo son.
Por lo que he citado al principio, comprendo que te sea algo complicado entender mis razonamientos, porque son algo nuevos.
Lo que hago, Luis, es sumar desigualdades para llegar a una conclusión.
Por ejemplo
miembro 1º izquierda ? miembro 2º, derecha
\( c^{n}>b^{n} \)
\( 3a^{n}<2b^{n}+c^{n} \)
Sumando
\( c^{n}+3a^{n}?3b^{n}+c^{n} \) ; \( 3a^{n}<3b^{n} \)
No me gusta que el foro rinconmatematico, y concretamente en teoría de números, me haya quedado sola desde hace casi un mes. Sola con Luis aclaro. No sólo en teoría de números, también en el subforo Teorema de Fermat.
Pongo un ejemplo de cómo me manejo en la última cuestión:
\( 7+15+22 ? 3+17+20 \)
crios y crias recién venidos a primaria saben hacer estas dos sumas:
\( 44 ? 40 \)
la diferencia a favor del primer miembro es 4. Veamos como la calculo yo:
\( 7>3\longrightarrow7-3=+4 \)
\( 15<17\longrightarrow15-17=-2 \)
\( 22>20\longrightarrow22-20=+2 \)
La diferencia es 4 a favor del primer miembro. Pongo este ejemplo para que se vea como trato la cuestión con letras.
Espero que, con estos enteros positivos tan concretos, nadie recurra al sonsonete de los números reales.
¿Acaso no son reales los 7,15,22,3,17,20 ?
Yo me ciño, única y exclusivamente, a los números enteros positivos aunque Luis me dice que no basta con decirlo; con afirmarlo.
Pido por favor a quienes siguen este hilo, Feriva, por ejemplo, pongan una cuestión en la que sea claro, con letras, que las letras representen enteros positivos sin tener que afirmarlo.
Por otro lado el \( ? \) emtre \( A?B \) es el mismo que entre
\( \frac{A}{c^{n}}?\frac{B}{c^{n}} \)
Cualquier operación que se realice en cualesquiera pareja de números, no desvirtúa el signo del \( ? \) que los separa, podría varias las dos sumas finales de los dos miembros, pero jamás el interrogante que las separa.
Por ejemplo:
\( 7/2>3/2\rightarrow3,5-1,5=+2 \)
\( 15/2<17/2\rightarrow7,5-8,5=-1 \)
\( 22/2>20/2\rightarrow11-10=+1 \)
22-20 22-20=2
Recuerdo las sumas iniciales:
\( 7+15+22?3+17+20 \)
\( \frac{7}{3}+\frac{15}{1}+\frac{22}{2}?\frac{3}{3}+\frac{17}{1}+\frac{20}{2} \)
\( 2,3+15+11?1+17+10\rightarrow1,3-2+1=0,\hat{3} \)
\( 28,\hat{3} ? 28 \)
Repito mi pregunta:
¿Acaso no son reales los 7,15,22,3,17,20?
y repito esta cuestión:
Pido por favor a quines siguen este hilo (ytambién a Luis), feriva por ejemplo, pongan una cuestión en la que sea claro, con letras, que las letras representen enteros positivos sin tener que afirmarlo.
Pido por favor a quines siguen este hilo (ytambién a Luis), feriva por ejemplo, pongan una cuestión en la que sea claro, con letras, que las letras representen enteros positivos sin tener que afirmarlo.
SUPONGO, no afirmo, que \( a,b,c \) son enteros positivos tales que \( c>b>a \)
por favor, Luis, dime si tendré algún problema con los número reales distintos de los enteros positivos.
Como cuestión aparte, aunque relacionada con la principal,expongo esta:
\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
Siendo \( n \) el mayor valor que produce la desigualdad con el signo \( > \)
Supongo que \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
entonces \( a^{2n}+b^{2n}<c^{2n} \)
Mi pregunta es si \( b^{2n}+b^{2n}?c^{2n} \)
¿cúal es el interrogante \( = ; >;< \) ?
En una ocasión me has dado, algún ejemplo sobre enteros positivos y el resto de números reales pero, creo recordar, que siempre con ejemplos numéricos. Te ruego me pongas algún ejemplo con letras.
Así la expresión
\( ax^{2}+bx+c=0 \)
Creo que es válida para enteros positivos . ¿Es válida también para el resto de números reales?
Respecto a la desigualdad de las dos fracciones, la afirmo para todos los números reales.
En cuanto a \( b^{2n}+b^{2n}=c^{2n} \) , ¿porqué dices que si \( b,c \) son enteros la igualdad es imposible?
Hay caminos para hacerlo con letras:
\( 2b^{2n}?c^{2n} \)
Hallada la raiz \( 2n \) :
\( \sqrt[2n]{2}b?c \)
el interrogante es \( \neq \) porque \( \sqrt[2n]{2} \) es un irracional.
En cuanto a los ejemplos, también numéricos , que pones sólo son válidos los \( 1997^{10}+1997^{10}>1999^{10} \) y \( 17^{10}+17^{10}<19^{10} \)
Parece que te extraña el uso del adjetivo “válida”
Si estamos hablando de \( b^{2n}+b^{2n}?c^{2n} \)
no caben tus ejemplos (no son válidos):
\( 600^{4}+1997^{4}>1999^{4} \)
\( 600^{5}+1997^{5}<1999^{5} \)
porque \( 600\neq1997 \)
ni tampoco
\( 15^{4}+17^{4}>19^{4} \)
\( 15^{5}+17^{5}<19^{5} \)
porque \( 15\neq17 \)
Por otro lado el exponente 5 no es par.
Como cuestión aparte, aunque relacionada con la principal,expongo esta:
(1) \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
Siendo \( n \) el mayor valor que produce la desigualdad con el signo \( > \)
Supongo que (2) \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
[...]
Mi pregunta es si (3) \( b^{2n}+b^{2n}?c^{2n} \)
¿cúal es el interrogante \( = ; >;< \) ?
Si yo fuera contemporánea de Pierre de Fermat, creo que nadie me exigiría que demostrase su UTF no sólo para enteros positivos sino también para reales (encima mezclándolos).
Cuando en mis dos primeras partes de mi intento
\( a^{2}+b^{2}<c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
\( a^{2}+b^{2}=c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
para \( n\geq3 \)
creo recordar que dijistes que eso también era correcto para reales.
Es como si tuvieses un poco la obsesión de incluir a los reales en mi intento. Cosa que jamás se me ha pasado por la cabeza.
En cuanto a la tercera parte de mi intento: \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \) acabas de poner un ejemplo de que mi intento no funciona cuando
\( n=3 \) ; \( a=2 \) ;\( b=3 \) ; \( c=\sqrt[3]{2^{3}+3^{3}} \)
No acabo de entenderlo.
Respecto a la desigualdad de las dos fracciones, la afirmo para todos los números reales.
Te repito este párrafo:
Perdona mi cortedad. Tienes toda la razón. Si yo fuera contemporánea de Pierre de Fermat, creo que nadie me exigiría que demostrase su UTF no sólo para enteros positivos sino también para reales (encima mezclándolos).
Contéstame por favor.
Si yo fuera contemporánea de Pierre de Fermat, creo que nadie me exigiría que demostrase su UTF no sólo para enteros positivos sino también para reales (encima mezclándolos).
Nadie te "exige" que demuestres el UTF para números reales, porque de hecho en ese caso es falso. La ecuación de Fermat si tiene soluciones no triviales en los reales.
Lo único que "exijo" a una prueba del Teorema de Fermat es que sea correcta; y todos tus intentos están mal, rematadamente mal. Y te lo he indicado en cada caso.
Lo de los reales es un comentario adicional, un bonus; que si entendieses te haría comprender más rápidamente que con el tipo de argumentos que usas es imposible que llegues a nada útil.
Pero ha queda claro que eres incapaz de entender ese matiz. Olvídalo si quieres.
Te voy a hacer la pregunta de un modo más concreto, ¿existían en los tiempos que vivió Fermat los mismos números reales tal como los conocemos hoy?
En reiteradas ocasiones me repites que no basta con que yo afirme que \( a, b,c \) son enteros positivos. Yo te pido por favor que me pongas un caso, una expresión, en que sí baste que se afirme que las letras son enteros positivos. Pero, ojo, con letras.
Observa esos dos ejemplos:
1) Sean \( a,b \) enteros. Entonces si \( a>b \) se deduce que \( a\geq b+1 \).
2) Sean \( a,b \) enteros. Entonces si \( a>b \) se deduce que \( a+1\geq b+1 \).
Ambas afirmaciones son ciertas. Pero en la primera es decisivo que \( a,b \) sean enteros, pero en la segunda no, es decir si ahora escribo:
1) Sean \( a,b \) reales. Entonces si \( a>b \) se deduce que \( a\geq b+1 \)…. ¡FALSO!SpoilerPor ejemplo \( 0.5>0 \) pero \( 0.5<0+1 \)[cerrar]
2) Sean \( a,b \) reales. Entonces si \( a>b \) se deduce que \( a+1\geq b+1 \). CIERTO.
Entonces tu utilizas razonamiento como el (2) donde en ningún caso es decisivo que los números implicados sean enteros (y eso no tiene nada que ver como ves con que yo previamente haya escrito si son enteros o si son reales).
Según lo que me contestas, resulta que las dos primeras partes de mi intento de demostración:
\( a^{2}+b^{2}<c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \) si \( n\geq3 \)
\( a^{2}+b^{2}=c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \) si \( n\geq3 \)
no sirven para nada porque también se cumplen para reales.
Los ejemplos que pones incluyen letras pero también números :\( a,b,1 \)
Te pido que pongas un ejemplo sólo con letras de complejidad (o no complejidad) de \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
Transcribo tus palabras: “... es decir que alguna parte de tu argumento funcione para enteros pero no para reales”.
Entonces te pregunto, las dos primeras partes de mi intento ¿me sirven para demostrar a \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \) siendo que se cumplen para reales ?
Si en tu opinión no sirven, entonces no me queda otra opción que demostrar la tercera parte tanto para enteros como para reales.
Transcribo tus palabras: “Esa propiedad es cierta para los reales; entonces no hay nada raro en que la demuestres con argumentos que son válidos TAMBIÉN para los reales”.
Te pregunto ¿no está demostrada ya?
Según lo que me contestas, resulta que las dos primeras partes de mi intento de demostración:
\( a^{2}+b^{2}<c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \) si \( n\geq3 \)
\( a^{2}+b^{2}=c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \) si \( n\geq3 \)
Luis he entendido perfectamente tus ejemplos con \( a,b,1 \).
\( c^{n}b^{2n}-c^{n}b^{n}a^{n}+a^{2n}b^{n}-a^{3n}?b^{2n}c^{n}-2a^{n}b^{2n}+c^{2n}a^{n}-2c^{n}a^{2n} \)
\( a^{2n}b^{n}+2a^{n}\color{red}b^{n}\color{black}+2c^{n}a^{2n}?c^{2n}a^{n}+c^{n}b^{n}a^{n}+a^{3n} \)
Son tantas mis meteduras de pata que, posiblemente, en lo que sigue, haya alguna más. Pero no logro verla.
Hagamos ahora la cosa a la inversa:
\( c^{n}b^{n}\frac{c^{n}-2a^{n}}{b^{n}-a^{n}}+a^{2n}\frac{c^{n}-2a^{n}}{b^{n}-a^{n}}?b^{2n}+c^{n}a^{n} \)
\( c^{n}b^{n}(c^{n}-2a^{n})+a^{2n}(c^{n}-2a^{n})?b^{2n}(b^{n}-a^{n})+c^{n}a^{n}(b^{n}-a^{n}) \)
\( c^{2n}b^{n}-2a^{n}c^{n}b^{n}+a^{2n}c^{n}-2a^{3n}?b^{3n}-b^{2n}a^{n}+c^{n}a^{n}b^{n}-c^{n}a^{2n} \)
\( c^{2n}b^{n}+a^{2n}c^{n}+b^{2n}a^{n}+c^{n}a^{2n}?b^{3n}+c^{n}a^{n}b^{n}+2a^{n}c^{n}b^{n}+2a^{3n} \)
\( c^{2n}b^{n}+2a^{2n}c^{n}+b^{2n}a^{n}?b^{3n}+3c^{n}a^{n}b^{n}+2a^{3n} \)
\( c^{2n}+b^{n}+b^{2n}a^{n}-b^{3n}-3c^{n}a^{n}b^{n}?2a^{3n}-2a^{2n}c^{n} \)
\( b^{n}(c^{2n}+b^{n}a^{n}-b^{2n}-3c^{n}a^{n})?2a^{2n}(a^{n}-c^{n}) \)
Por un lado el factor\( b^{n} \) (m.1) < factor \( 2a^{2n} \)(m.2º)
Veamos como son los otros dos factores:
\( c^{2n}+b^{n}a^{n}-b^{2n}-3c^{n}a^{n} \) (m.1º) ? \( a^{n}-c^{n} \)} (m.2º)
(m.1º) \( c^{2n}+b^{n}a^{n}+c^{n}?a^{n}+b^{2n}+3c^{n}a^{n} \) (m.2º)
\( c^{2n}-b^{2n}+c^{n}-a^{n} \) (m.1º) ? \( 3c^{n}a^{n}-b^{n}a^{n} \) (m.2º)
\( (c^{n}+b^{n})(c^{n}-b^{n})+b^{n} \) (m.1º) ? \( 3c^{n}a^{n}-b^{n}a^{n} \) (m.2º)
\( c^{n}+b^{n}+\frac{b^{n}}{a^{n}} \) (m.1º) ?\( 3c^{n}-b^{n} \) (m.2º)
\( 2b^{n}+\frac{b^{n}}{a^{n}} \) (m.1º) ? \( 2c^{n} \) (m.2º)
\( \frac{b^{n}}{a^{n}} \) (m.1º) ? \( 2(c^{n}-b^{n} \)) (m.2º)
\( \frac{b^{n}}{a^{n}} \) (m.1º) ? \( 2a^{n} \) (m.2º) ; \( b^{n} \) (mi 1º) < \( 2a^{2n} \) (m.2º)
\( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
\( c^{2n}+4a^{2n}-4c^{n}a^{n}?b^{2n}+a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
\( c^{2n}+3a^{2n}+2a^{n}b^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
\( c^{2n}-b^{2n}?4c^{n}a^{n}-3a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
\( c^{2n}?a^{n}(4c^{n}-3a^{n})+b^{n}(b^{n}-2a^{n}) \)
Si \( b^{n}=2a^{n} \)
\( c^{2n}\color{red}>\color{black}a^{n}(4c^{n}-3a^{n}) \)
Si \( b^{n}<2a^{n} \)
\( c^{2n}\color{red}>\color{black}a^{n}(4c^{n}-3a^{n})+ \) Negativo
Si \( b^{n}>2a^{n} \)
entonces \( b^{n}(b^{n}-2a^{n})<b^{2n} \)
Y tendremos
\( c^{2n}?4c^{n}a^{n}-3a^{2n}+<b^{2n} \)
\( a^{2n}+b^{2n}+2a^{n}b^{n}?4a^{n}c^{n}-3a^{2n}+<b^{2n} \)
\( 4a^{2n}+(b^{2n}-<b^{2n})?4a^{n}c^{n}-2a^{n}b^{n} \)
\( 4a^{2n}+(b^{2n}-<b^{2n})?2a^{n}(2c^{n}-b^{n}) \)
\( 2a^{n}+\frac{b^{2n}-<b^{2n}}{2a^{n}}?2c^{n}-b^{n} \)
\( 2a^{n}+b^{n}+\frac{b^{2n}}{2a^{n}}?2c^{n}+\frac{<b^{2n}}{2a^{n}} \)
\( \frac{b^{2n}-<b^{2n}}{2a^{n}}?2c^{n}-b^{n}-2a^{n} \); \( \frac{b^{2n}-<b^{2n}}{2a^{n}}?b^{n} \)
\( b^{2n}-<b^{2n}?2a^{n}b^{n} \) ; \( b^{n}-<b^{n}?2a^{n} \) ; \( b^{n}<2a^{n}+<b^{n} \)
\( (c-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
\( c^{2n}+4a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n}+a^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
Siendo \( c^{2n} \) 1º m. \( >(b^{2n}+a^{2n}) \) 2º m.
para que el ? pueda ser =
2º m. \( 4c^{n}a^{n}>(4a^{2n}+2b^{n}a^{n}) \) 1º m.
Si el signo \( > \) fuera\( \leq \) la igualdad es imposible
O sea
1º m \( c^{2n}>(b^{2n}+a^{2n}) \) 2º m
1º m \( (4a^{2n}+2b^{n}a^{n})>4c^{n}a^{n} \) 2º m.
Sumando 1º m. \( > \) 2º m.
Vayamos al caso
2º m. \( 4c^{n}a^{n}>(4a^{2n}+2b^{n}a^{n}) \) 1º m.
Dividimos por \( 2a^{n} \) :
\( 2c^{n}>2a^{n}+b^{n} \)
Si \( c^{n}=a^{n}+b^{n} \) :
\( 2a^{n}+2b^{n}>2a^{n}+b^{n}\rightarrow2b^{n}>b^{n}\rightarrow2>1 \)
Entonces ocurre que la proporción entre
2º m. \( 4c^{n}a^{n} \) y \( (4a^{2n}+2b^{n}a^{n}) \) 1 º m.
es 2 x 1 que es mucho mayor a la que existe entre \( c^{2n} \) 1º m y \( (b^{2n}+a^{2n}) \) 2º m.
No estoy segura de si el ejemplo que pones se adecua al tema que nos ocupa.
Creo que debes utilizar naturales que formen parte de una terna viable. Por ejemplo
\( (a=5, b=7, c=8) \) con \( n=3 \).
Lo que trato de demostrar es que
\( (c-2a^n)^2\neq{}(b^n-a^n)^2 \)
¿Puede alguien demostrar que en una terna viable \( 3a^n>b^n \)?
Terna viable.- Es aquella que podría dar lugar a \( a^n+b^n = c^n \). Una terna viable cumple \( a+b>c \) , cuando \( c>b>a \).
Luis cuando empleo el condicional "podría" lo hago en honor a Wiles.
Concrétame por favor qué es lo que te tengo que aclarar.
Hola¿Puede alguien demostrar que en una terna viable \( 3a^n>b^n \)?
Pues insisto en que no estoy cien por cien seguro a que llamas terna viable.Terna viable.- Es aquella que podría dar lugar a \( a^n+b^n = c^n \). Una terna viable cumple \( a+b>c \) , cuando \( c>b>a \).
Dices que "podría". Pero eso es una vaguedad. En realidad sabemos (por que lo probó Wiles) que para \( n\geq 3 \) ninguna terna de naturales cumple esa ecuación; por tanto no hay ternas viables porque ninguna tripleta de naturales dará lugar a esa ecuación. En ese sentido cualquier afirmación que hicieses sobre una tal tripleta sería cierta, porque sería una afirmación sobre los elementos del conjunto vacío.
Por lo demás yo no veo ninguna prueba sencilla ni directa de que una tal terna tenga que cumplir \( 3a^n>b^n \). Desde luego para números reales, hay ternas tales que \( a^n+b^n=c^n \) y sin embargo \( 3a^n\leq b^n. \)
Dadas estas dos diferencias:
\( c^n-2a^n \) ; \( b^n -a^n \)
con \( c>b>a \) naturales y \( n= \) natural > 2
¿necesita demostración que estas diferencias aumentan al aumentar \( n \) ?
Dada esta desigualdad siendo \( b>a \):
\( 3a^{^{2n}}+2b^{n}a^{n}\neq b^{2n} \)
\( 3a^{2n}\neq b^{2n}-2b^{n}a^{n} \)
\( 3a^{n}.a^{n}\neq b^{n}(b^{n}-2a^{n}) \)
factor \( a^{n}< \) factor \( b^{n} \)
factor \( 3a^{n}? \) factor \( (b^{n}-2a^{n}) \)
\( 3a^{n}+2a^{n}?b^{n}\rightarrow5a^{n}>b^{n} \)
¿Cabe colegir que \( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}>b^{2n} \) ?
Siendo \( c>a \) trato de demostrar que en \( c^{2n}? 4c^na^n \), el interrogante sólo puede ser \( = \) si nos ceñimos a enteros positivos.
Pero tengo la impresión que los dos párrafos de tu respuesta 487 se contradicen.
O que tu respuesta 487 avala la mía 486.
En \( (c^2-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)
\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n}+4c^na^n \)
\( c^{2n}-4c^na^n+3a^{2n}?-2b^na^n+b^{2n} \)
\( c^{2n}-4c^na^n+3a^{2n}=0 \) para \( c^n=a^n \)
\( 2b^na^n?b^{2n} \)
\( 2b^nc^n?b^{2n}\longrightarrow{2c^n>b^n} \)
Primer miembro > 2º miembro
\( a^n+b^n\neq{c^n} \)
En \( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)
\( c^{2n}-4a^nc^n+3a^{2n}?-2b^na^n+b^{2n} \)
\( c^{2n}-4a^nc^n+3a^{2n}=0 \) para \( c^n=3a^n \)
\( 2b^nc^n?b^{2n} \)
Primer miembro > Segundo miembro
\( a^n+b^n\neq{c^n} \)
Por favor explícame porqué:
"dado que para números enteros \( b^n\neq{2a^n} \)"
¿Puedes demostrarme esta desigualdad \( b^n\neq{2a^n} \)?
Gracias por tu respuesta Luis.
Si \( b>a \) ; \( b^n?2a^n \) ; \( b?\sqrt[n ]{2}a \) . Con lo cual \( b \) no es entero y la igualdad no es posible.
De tu demostración \( b^n\neq{2a^n} \) ¿Se puede deducir que \( b^n>2a^n \)?
Hola
¿Qué es mayor \( c^{2n}-4c^na^n \), o bien \( 4c^na^n-c^{2n} \) ? Siendo \( c>a \).
Saludos.
¿Qué es mayor \( c^{2n}-4c^na^n \), o bien \( 4c^na^n-c^{2n} \) ? Siendo \( c>a \).
Hola
Gracias Luis, gracias Feriva.
Expresión A \( c^{2n}-4c^na^n \)
Expresión B \( 4c^na^n-c^{2n} \)
A+B \( c^{2n}+4c^na^n?-4c^na^n-c^{2n} \)
Las expresiones son iguales y de signo contrario
A-B \( c^{2n}-4c^na^n?-4c^na^n+c^{2n} \)
B-A \( 4c^na^n-c^{2n}?-c^{2n}+4c^na^n \)
Las expresiones son iguales.
Saludos.
Gracias Luis, gracias Feriva.
Expresión A \( c^{2n}-4c^na^n \)
Expresión B \( 4c^na^n-c^{2n} \)
A+B \( c^{2n}+4c^na^n?-4c^na^n-c^{2n} \)
Las expresiones son iguales y de signo contrario
A-B \( c^{2n}-4c^na^n?-4c^na^n+c^{2n} \)
B-A \( 4c^na^n-c^{2n}?-c^{2n}+4c^na^n \)
Las expresiones son iguales.
En cuanto a tí Luis lo que estoy afirmando (con mucho cuidado) es que \( c^{2n}=4c^na^n \).
Presunta demostración
Trato de demostrar la naturaleza del \( ? \) en las expresiones siguientes:
\( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n} \)
\( 3a^{2n}?b^{2n}-2b^{n}a^{n} \)
\( 3a^{2n}?b^{n}(b^{n}-2a^{n}) \)
\( \sqrt[n]{3}a^{n}?b\sqrt[n]{b^{n}-2a^{n}} \)
Supongo que \( 2a^{n}=0 \) con lo que se aumenta el valor del segundo miembro:
Si hacemos \( n=3 \)
\( \sqrt[3]{3}a^{3}>b^{2} \)
Si tomamos \( a=5 \) el valor más bajo de una terma y\( b=8 \) el valor no más bajo de una terna, por ejemplo la terna \( (5,8,9) \):
\( 1,44\cdotp5^{3}>8^{2} \)
\( 1,44\cdotp125>64 \)
Entonces
\( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}>b^{2n} \)
en \( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
si \( c^{2n}>4c^{n}a^{n} \)
y \( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}>b^{2n} \)
Está claro que
\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}>b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
Si \( c^{2n}>4c^{n}a^{n} \) favor miembro 1º
y \( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}<b^{2n} \) favor miembro 2º FALSO
\( c^{2n}-4c^{n}a^{n}?b^{2n}-3a^{2n}-2b^{n}a^{n} \)
\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
\( \frac{c^{2n}}{a^{n}}+3a^{n}+2b^{n}?\frac{b^{2n}}{a^{n}}+4c^{n} \)
\( \frac{c^{2n}-b^{2n}}{a^{n}}+3a^{n}+2b^{n}?4c^{n} \)
\( \frac{(c^{n}+b^{n})(c^{n}-b^{n})}{a^{n}} \) \( +3a^{n}+2b^{n}?4c^{n} \)
\( c^{n}+b^{n}+3a^{n}+2b^{n}?4c^{n} \)
\( 3a^{n}+3b^{n}?3c^{n}\rightarrow a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
Dado que se parte de una premisa FALSA
¿cabe colegir que \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)?
Entre otras cosas, falta tratar el caso \( c^{2n}<4c^na^n \).
El caso \( c^{2n}>4c^na^n \) con \( 3a^{2n}+2b^na^n>b^{2n} \)
Está demostrato al principio de mi anterior respuesta. Es el caso fácil.
Todo lo que ha seguido, también con \( c^{2n}>4c^na^n \), y la falsedad \( 3a^{2n}+2b^na^n<b^{2n} \) ha sido un divertimento para ver a qué conducia. Y repito, siendo que el caso \( c^{2n}>4c^na^n \) está demostrado. Sólo sería otra demostración del caso fácil aunque se llega a la igualdad. Y tendría que ser \( a^n+b^n>c^n \)
La consulta es que en el anterior razonamiento al incluir una falsedad y llegar a \( a^n+b^n=c^n \) cabe pensar que si no incluyo la falsedad no se podría llegar a \( a^n+b^n=c^n \).
Creo que los dos párrafos de tu respuesta 517 se contradicen entre si.
La consulta es que en el anterior razonamiento al incluir una falsedad y llegar a \( a^n+b^n=c^n \) cabe pensar que si no incluyo la falsedad no se podría llegar a \( a^n+b^n=c^n \).
Dada la expresión
\( 3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n} \)
Siendo \( b>a \) , parece que a primera vista el ? es >
es decir \( 3a^{2n}+2b^na^n>b^{2n} \)
pero no consigo demostrarlo con una demostración matemáticamente rigurosa.
En tu respuesta 521 no has tenido en cuenta que \( a \), \( b \) son términos de una terna viable que puede hacer posible \( a^n+b^n=c^n \).
Dices que no influye en nada y citas que \( a=0 \).
De manera más precisa:
\( 3a^{2n}+2b^na^n-b^{2n}=(3a^n-b^n)(a^n+b^n) \)
Para que sea positivo tiene que cumplirse que \( 3a^n-b^n>0 \), es decir \( a^n>b^n/3 \).
\( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)
\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n}+4c^na^n \)
Veamos si \( 3a^{2n}+2b^na^n=b^{2n} \)
Despejando \( a^n \) llegamos \( a^n_1=-b^n \); \( a^n_2=\displaystyle\frac{b^n}{3} \)
Estos dos valores de \( a^n \) no pueden formar parte de una terna viable que pueda cumplir \( a^n+b^n=c^n \).
En consecuencia \( 3a^{2n}+2b^na^n\neq{b^{2n}} \)
¿Se puede afirmar que \( 3a^{2n}+2b^na^n\neq{b^{2n}} \)
para tratar de demostrar \( a^n+b^n\neq{c^n} \)?
0 sea \( 3a^{2n}+2b^na^n\gtrless b^{2n} \).
Entonces \( c^{2n}-b^{2n}-a^{2n}?4c^{n}a^{n}-4a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
\( c^{2n}-\color{red}[(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})]\color{black}?4c^{n}a^{n}-4a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
\( c^{2n}-b^{2n}+b^{2n}-a^{2n}?4c^na^n-4a^{2n}-2a^nb^n+b^{2n} \)
\( c^{2n}+b^{2n}-a^{2n}?4c^na^n-4a^{2n}-2a^nb^n+b^{2n}+b^{2n} \)
\( c^{2n}+(b^n+a^n)(b^n-a^n)-4c^na^n?4a^{2n}-2a^nb^n+2b^{2n} \)
\( c^{2n}+c^n(b^n-a^n)-4c^na^n?4a^{2n}-2a^nb^n+2b^{2n} \)
Múltiplo de \( c\neq{} \) No múltiplo de \( c \)
\( c^{2n}+c^n(b^n-a^n)?4c^na^n+3a^{2n}+(b^n-a^n)^2+b^{2n} \)
Luis mi respuesta 534 es continuación de la 532.
Lo que quiero decir es que
\( c^{2n}+c^n(b^n-a^n)\neq{4c^na^n+3a^{2n}+(b^n-a^n)^2+b^{2n}} \) porque el primer miembro es múltiplo de \( c \) y el segundo no.
\( c^{2n}+c^n(b^n-a^n)\neq{4c^na^n+3a^{2n}+(b^n-a^n)^2+b^{2n}} \) porque el primer miembro es múltiplo de \( c \) y el segundo no.
Aprovecho para decir que personalmente me deprime por no decir me avergüenza como aficionado que en toda la comunidad internacional de matemáticos nadie puede demostrar la desigualdad
\( (c^n-2a^n)^2\neq{(b^n-a^n)^2} \).
Hola
Gracias, Feriva, por tu respuesta 540.
Ten en cuenta que si \( a=5 \) ; \( b=7 \) , la única terna viable con esos valores de \( a, b \) es (5,7,8)
Si en \( c^n-2a^n?b^n-a^n \)
Sustituimos \( c^n \) por \( a^n+b^n \):
\( a^n+b^n-2a^n=b^n-a^n \)
ocurre que \( a^n+b^n=c^n \) es una falsedad que se demostró con unos cien folios. Esto cas1 todos lo sabemos.
Ahora bien
\( c^{2n}+4a^{2n}-4c^na^n\neq{a^{2n}+b^{2n}-2a^nb^n} \) (1)
demostrar esta desigualdad equivale a demostrar
\( c^n-2a^n\neq{b^n-a^n} \)
y \( c^n-a^n\neq{b^n\rightarrow{c^n\neq{b^n+a^n}}} \)
con un número de folios bastante menor que 100.
Estás suponiendo, Luis, que yo soy desconocedr de la demostración de Wiles.
Lo que me deprime es que la desiguadad (1) nadie acierte a demostrarla.
Empiezan por \( n=3 \) y la demostración de Euler-Gauss. Etcétera. Nunca, insisto, para cualquier intento, aunque fallido, para un valor general de \( n \) .
Rincón Matemático es testigo de mis intentos, siempre para cualquier valor de \( n \) , sin llegar a buen puerto.
Se me ha reprochado que no basta afirmar que \( a,b,c,n \) son naturales. Ruego se me diga cómo conseguir la “naturalidad” indiscutible de los números representados por esas letras.
También se ha intentado involucrar en mis razonamientos a cualesquiera números reales no sé con que propósito.
\( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a{}^{n})^{2} \)
\( c^{2n}+3a^{2n}+2a^{n}b^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
Si \( c^{2n}>4c^{n}a^{^{n}} \) y \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}>b^{2n} \)
Entonces 1º miembro > 2º miembro
Y las bases de donde provienen los cuadrados también
\( c^{n}-2a^{n}>b^{n}-a^{n} \)
\( c^{n}>b^{n}+a^{n} \)
Cualesquiera que sean \( a,b,c,n \) .
Creo, Luis, que para números reales la famosa desigualdad de Fermat \( a^n+b^n\neq{c^n} \) es falsa.
Las cuentas correctas e inútiles son estas:
\( c^n-2a^n?b^n-a^n \)
si \( c^n=a^n+b^n \)
entonces el interrogante anterior es =.
Trato de elevar al cuadrado los dos miembros anteriores
\( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)
El plan es, si consigo demostrar que estos dos cuadrados no son iguales, las bases de donde provienen tampoco lo son:
\( c^n-2a^n\neq{b^n-a^n} \)
y \( c^n\neq{b^n+a^n} \)
Reconozco que mi demostración es parcial pero, así y todo, es válida para un número infinito de ternas viables.
SI \( c^{2n}>4c^{n}a^{^{n}} \) y \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}>b^{2n} \)
para números reales la famosa desigualdad de Fermat \( a^n+b^n\neq{c^n} \) es falsa.
Una terna viable, además de cumplir \( c>b>a \), tiene que cumplir \( a+b>c \), y ser primos entre sí.
De estas sólo son viables, por distintos motivos,
(5,6,7) (5,7,8) (5,8,9) (5,8,11) (5,11,12) (5,11,14) (5,13,14) (5,13,16) (5,14,17)
SI \( c^{2n}>4c^{n}a^{^{n}} \) y \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}>b^{2n} \)
Si en las expresiones \( 2c^{n}a^{n}?4b^{n}a^{n} \) sustituimos \( c^{n} \) por \( a^{n}+b^{n} \) :
\( 2(a^{n}+b^{n})a^{n}?4b^{n}a^{n}\rightarrow2a^{n}+2b^{n}?4b^{n} \)
\( a^{n}+b^{n}?2b^{n}\rightarrow a^{n}? b^{n}\rightarrow \color{red}a^{n}<b^{n}\color{black} \)
No estoy de acuerdo con tu conclusión
\( c<\sqrt[n]{2} b \) , porque creo que \( c\gtrless\sqrt[n]{2} b \) . .
\( a^{n}(c^{n}-a^{n}-2b^{n})?b^{n}(b^{n}-c^{n}) \)
factor \( a^{n}< \)factor\( b^{n} \)
factor \( (c^{n}-a^{n}-2b^{n})?(b^{n}-c^{n}) \) factor
\( 2c^{n}-a^{n}?3b^{n} \)
\( 2a^{n}+2b^{n}-a^{n}?3b^{n} \)
\( a^{n}?b^{n}\rightarrow a^{n}<b^{n} \)
Entonces \( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}<b^{2n}+4a^{n}c^{n} \)
lo que más me deprime, lo que más me molesta es que por mi culpa llego a cabrearte.
Antes de seguir, dos cosas Tanto tú como yo cuando aplicamos \( a^n+b^n=c^n \) cometemos una falsedad; porque \( a^n+b^n<c^n \). Y, cuanto antes se aplique esa falsedad, como haces tú, todo lo que sigue está afectado por ella. Yo procuro aplicarla al final.
Por otro lado si tú, Luis, hubieras sido contemporáneo de Fermat, tendrías que hablarle advertido de que no uso el "carácter entero de las variables"
Trato de comparar estos dos factores:Luis, ¿que es lo que hago mal en estos pasos entre términos del primero y del segundo miembro?[/quote]
miembro 1º \( c^n-a^n-2b^n \) ? miembro 2º \( b^n-c^n \)
\( 2c^n ? a^n+3b^n \)
\( 2a^n +2b^n ? a^n +3b^n \)
\( a^n < b^n \) o bien \( -a^n>-b^n \)
0, de otro modo:
\( -a^n-2b^n-b^n?-2c^n\longrightarrow{}-a^n-3b^n?-2c^n \)
\( -a^n-3b^n?-2a^n-2b^n\longrightarrow{}a^n-b^n ? \) o \( \longrightarrow{}a^n<b^n \)
Por otro lado si tú, Luis, hubieras sido contemporáneo de Fermat, tendrías que hablarle advertido de que no usa el "carácter entero de las variables"
Por cierto se afirma que Fermat demostró su conjetura para el exponente \( n=4 \).
Yo no he encontrado históricamente ni rastro de tal demostración para \( n=4 \).
Saludos.
Fermat, que no tenía un pelo de tonto, sabía que su conjetura es falsa para números reales. Por eso concretó que se refería a enteros positivos.
Por cierto se afirma que Fermat demostró su conjetura para el exponente \( n=4 \).. Yo no he encontrado históricamente ni rastro de tal demostración para \( n=4 \).
SpoilerLa demostración de Fermat para n=4 aparece en anotaciones sobre una copia de Arithmetica de Diophanto, que rescató su hijo Samuel. Aquí tienes una traducción al inglés de tales observaciones:
https://science.larouchepac.com/fermat/Observations%20on%20Diophantus.pdf
En particular las referidas al caso \( n=4 \) puedes verla aquí:
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=89873.0;attach=22006)
En este blog se traduce paso a paso las ideas de Fermat a la notación moderna, mostrando como su propuesta corresponde a la demostración más conocida del caso \( n=4 \) por descenso infinito:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-one-proof.html
En esencia y una vez simplicada es la demostración que explica Argentinator aquí:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=18414.msg76066#msg76066
He encontrado además, una edición de 1670 que puede consultarse de "Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex et de numeris
multangulis liber unus Diophantus" con las observaciones originales de Fermat. Puedes descargarla aquí:
https://www.e-rara.ch/zut/doi/10.3931/e-rara-9423
En la página 142 de ese PDF puedes ver como enunció originalmente el Teorema el propio Fermat (en latín):
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=89873.0;attach=22007)
En las páginas 421-422 del PDF puede verse el texto original (en latín) de Fermat del caso \( n=4 \) y que he puesto más arriba traducido al inglés. Aparece como comentario al problema XX que Bachet propone en el contexto de la cuestión XXVI del Libro VI de la Arithmetica de Diofanto. El problema de Bachet es encontrar un triángulo rectángulo de área dada. Este es el comentario de Fermat:
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=89873.0;attach=22008)[cerrar]
Supongamos que los enteros positivos \( (A,B,C,) \) tienen un máximo común divisor tal que
\( \frac{A}{mcd}=a \) ; \( \frac{B}{mcd}=b \) ; \( \frac{C}{mcd}=c \)
Sólo tres enteros positivos entre los reales pueden tener un m.c.d.
Entonces la terna \( (a,b,c) \) proviene de los enteros positivos \( (A,B,C) \). Y \( (a,b,c) \) son enteros positivos.
Hola
Por favor, Luis, te lo ruego, te lo pido de rodillas, ¿puedes citarme un sólo hilo en el que exijas a su autor, como me exijes a mí: "no usas el caracter entero de las variables"?
saludos.
Por favor, Luis, te lo ruego, te lo pido de rodillas, ¿puedes citarme un sólo hilo en el que exijas a su autor, como me exijes a mí: "no usas el caracter entero de las variables"?
Y otra cosa más, en ese intento de argumento no usas para nada el carácter entero de las variables. La ecuación de Fermat si tiene soluciones no enteras, por tanto eso es síntoma de que el argumento no podía estar bien.
Parto de \( c^n(c^n-4a^n)+3a^{2n}?b^n(b^n-2a^n) \)
Comparo \( c^n(c^n-4a^n) \) con \( b^n(b^n-2a^n) \)
factor \( c^n> \) factor \( b^n \)
factor \( c^n-4a^n?b^n-2a^n \) factor
estos dos factores equivalen a \( c^n?b^n+2a^n\longrightarrow{}c^n<b^n+2a^n \)
factor \( c^n \) x factor \( c^n \) ? factor \( b^n \) x factor \( (b^n+2a^n) \)
\( c^{2n}?b^{2n}+2a^nb^n \)
\( c^{2n}+3a^{2n}?b^{2n}+2a^nb^n \)
\( c^{2n}-b^{2n}?-3a^{2n}+2a^nb^n \)
dividido por \( a^n \)
\( c^n+b^n?-3a^n+2b^n \)
\( c^n?-3a^n+b^n\longrightarrow{}c^n>b^n-3a^n \)
Antes que nada decirte que los datos tienen que ser verosímiles.
Antes que nada decirte que los datos tienen que ser verosímiles.
No es verosímil \( a^n=2 \), ni tampoco \( b^n = 11 \), ni, incluso, \( c^n=13 \).
Parto de \( C(C-4A)+3A^2?B(B-2A) \)
Comparo \( C(C-4A) \) con \( B(B-2A) \)
factor \( C> \) factor \( B \)
factor \( C-4A?B-2A \) factor
estos dos factores equivalen a \( C?B+2A\longrightarrow{}C<B+2A \)
factor \( C \) x factor \( C \) ? factor \( B \) x factor \( (B+2A) \)
\( C^2?B^2+2AB \)
\( C^2+3A^2?B^2+2AB \)
\( C^2-B^2?-3A^2+2AB \)
dividido por \( A \)
\( C+B?-3A+2B \)
\( C?-3A+B\longrightarrow{}C>B-3A \)
Para la terna \( (5,6,7) \) y \( n=3 \):
\( c^3-4a^3=-157 \)
\( b^3-2a^3=-34 \)
Estos dos factores equivalen a \( (c^3) \) y \( (b^n+2a^n) \) y tenemos \( c^3 = 343 \)
\( b^n+2a^n=466 \)
Entonces
\( -157<-34 \) la diferencia es \( -123 \)
y \( 343 - 466 = -123 \).
Yo no soy matemático como tú y no tengo ni puñetera idea de lo que me dices en tu respuesta 577 y por tanto no puedo contestarte.
Si te sirve de consuelo, yo que si soy matemático, tampoco entiendo lo que dice feriva en esa respuesta... Tiene además un punto de entrar tocando el bombo para pedir silencio...
\( a+b+c ? d+e \)
\( (a+b+c) \) es primer miembro o miembro de la izquierda
\( (d+e) \) es segundo miembro o miembro de la derecha.
\( a+b+c \), cada uno de ellos, son términos o sumandos del primer miembro ó miembro de la izquierda.
\( d+e \), cada uno de ellos, son términos o sumandos del segundo miembro ó miembro de la derecha.
El sentido del ? no varía si se traspone cualquier término o sumando de la derecha a la izquierda cambiandole el signo.
El sentido del interrogante no varía si se traspone cualquier término o sumando de la izquierda a la derecha cambiándole el signo.
En definitiva: una cosa es miembro y otra término o sumando.
No has leído mi crítica. No hay ningún problema en el paso de comparar los pares \( c^3-4a^3 \) y \( b^3-2a^3 \) a comparar los pares \( c^3 \) y \( b^3+2a^3 \). El problema está cuando multiplicar esos pares por otros factores, DISTINTOS A CADA LADO, y pretendes que se mantengan en ese caso el sentido de la desigualdad.
Parto de \( C(C-4A)+3A^2?B(B-2A) \)
Comparo \( C(C-4A) \) con \( B(B-2A) \)
factor \( C> \) factor \( B \)
factor \( C-4A?B-2A \) factor
estos dos factores equivalen a \( C?B+2A\longrightarrow{}C<B+2A \)
factor \( C \) x factor \( C \) ? factor \( B \) x factor \( (B+2A) \)
\( C^2?B^2+2AB \)
\( C^2+3A^2?B^2+2AB \)
\( C^2-B^2?-3A^2+2AB \)
dividido por \( A \)
\( C+B?-3A+2B \)
\( C?-3A+B\longrightarrow{}C>B-3A \)
Lo único que he hecho es, en tu desarrollo sustituir \( a^n,b^n,c^n \) por \( A,B,C \). Por lo demás es AL PIE DE LA LETRA lo que TU has hecho.
Es importante que respondas a esta pregunta. ¿Está mal eso que he escrito?En caso afirmativo, ¿por qué?¿dónde está el fallo?. Si piensas que está bien, ¿qué se supone que demuestra?¿qué no existen enteros tales que \( C=A+B \)?.
A ver si me entiendo y me sé explicar.
\( a+b+c?d+e \)
Voy a prescindir del término o sumando \( c \) del primer miembro o miembro de la izquierda.
Entonces \( a+b?d+e \)
Supongo que llego a determinar el sentido del ? sean cuales sean las operaciones que me lo han permitido, sin que estas operaciones hayan afectado al término \( c \)
El sentido del interrogante va a depender del valor de \( c \). Y será el mismo tanto si se ha sumado directamente \( 37+45+c?22+53 \); como si se hace \( 82+c?75 \)
Parto de \( C(C-4A)+3A^2?B(B-2A) \)
Comparo \( C(C-4A) \) con \( B(B-2A) \)
factor \( C> \) factor \( B \)
factor \( C-4A?B-2A \) factor
estos dos factores equivalen a \( C?B+2A\longrightarrow{}C<B+2A \)
factor \( C \) x factor \( C \) ? factor \( B \) x factor \( (B+2A) \)
\( C^2?B^2+2AB \)
\( C^2+3A^2?B^2+2AB \)
\( C^2-B^2?-3A^2+2AB \)
dividido por \( A \)
\( C+B?-3A+2B \)
\( C?-3A+B\longrightarrow{}C>B-3A \)
Lo único que he hecho es, en tu desarrollo sustituir \( a^n,b^n,c^n \) por \( A,B,C \). Por lo demás es AL PIE DE LA LETRA lo que TU has hecho.
Es importante que respondas a esta pregunta. ¿Está mal eso que he escrito?En caso afirmativo, ¿por qué?¿dónde está el fallo?. Si piensas que está bien, ¿qué se supone que demuestra?¿qué no existen enteros tales que \( C=A+B \)?.
Aprovecho para decir que yo también he formulado una pregunta a bastantes personas. Hasta el momento sin respuesta.
Pero sí puedo pedirte a tí, y a cuantos leen este hilo, que me cites una terna viable que no pueda venir de una terna de enteros positivos mayores cuyos términos, divididos por su m.c.d. nos den la terna viable que te he citado.
La respuesta es \( C>B-3A \).
¿Está mal eso que he escrito?En caso afirmativo, ¿por qué?¿dónde está el fallo?. Si piensas que está bien, ¿qué se supone que demuestra?¿qué no existen enteros tales que \( C=A+B \)?.
Aprovecho para decir que yo también he formulado una pregunta a bastantes personas. Hasta el momento sin respuesta.
Y digo que \( c \) puede ser positivo o negativo. No como el término \( 3A^2 \) que en el primer miembro es positivo.
"Pero si puedo pedirte a tí (Feriva), y, a cuantos leen este hilo, que me cites una terna viable que NO pueda venir de una terna de enteros positivos mayores cuyos términos, divididos por su m.c.d. nos den la terna viable que te he citado."
Para mí una terna viable tiene que tener los siguientes requisitos:
\( a^2+b^2>c^2 \) y en general \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) siendo \( (n-1) \) el mayor valor con desigualdad \( > \)
\( c>b>a \)
\( a+b>c \)
\( a,b,c \) tienen que ser primos entre sí
"Pero si puedo pedirte a tí (Feriva), y, a cuantos leen este hilo, que me cites una terna viable que NO pueda venir de una terna de enteros positivos mayores cuyos términos, divididos por su m.c.d. nos den la terna viable que te he citado."
Lo que quiero decir es que la conjetura de Fermat se refiere SÓLO a enteros positivos y no a reales en general.
Considero el factor \( (3a^{n}-b^{n}) \) del primer miembro
igual a \( (2a^{n}-b^{n}) \) y queda:
Entonces siendo \( c^{n}<b^{n}+\frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}} \)
Al haber multiplicado al principio por \( (-1) \) :
\( c^{n}>b^{n}+\frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}} \)
Si \( a=0 \) entonces \( c^{2n}>b^{2n} \) , o bien, al multiplicar por \( (-1) \) , \( c^{2n}<b^{2n} \)
Trato de demostrar que los dos miembros iniciales no pueden ser iguales.
Si \( c^{n}(2a^{n}-b^{n})>b^{n}(2a^{n}-b^{n})+3a^{2n} \)
Por otra parte, si cada línea se deriva de la anterior sin ninguna duda, el hecho de haber multiplicado por \( (-1) \) en una determinada línea , se mantiene hasta el final.
Dices Luis que la desigualdad
\( c^n(2a^n-b^n)>b^n(2a^n-b^n)+3a^{2n} \) (1)
es al revés. Pero he de recordar que la citada desigualdad proviene de la inicial
\( c^n(c^n-4a^n)?b^n(b^n-2a^n)-3a^{2n} \)
multiplicada por \( (-1) \).
Y lo que sigue a (1) también:
\( c^n>b^n+\frac{3a^{2n}}{2a^n-b^n} \)
En tu última respuesta dices:
"Si \( c^n=a^n+b^n \) (y todos los números son positivos) en realidad se cumple todo esto":
\( c^n(c^n-4a^n)=b^n(b^n-2a^n)-3a^{2n} \)
Te pregunto: ¿\( (-3a^{2n}) \) es positivo?
\( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)
\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n}+4a^nc^n \)
\( c^n(c^n-4a^n)?b^n(b^n-2a^n)-3a^{2n} \)
Multiplicando por \( (-1) \):
\( c^n(4a^n)?b^n(2a^n-b^n)+3a^{2n} \)
\( c^n(3a^n-b^n)?b^n(2a^n-b^n)+3a^{2n} \)
El primer miembro lo disminuimos hasta \( (2a^n-b^n) \)
dividimos por \( (2a^n-b^n) \):
\( c^n?b^n+\frac{3a^{2n}}{2a^n-b^n} \)
\( c^n<b^n+\frac{3a^{2n}}{2a^n-b^n} \)
Al haber multiplicado por \( (-1) \):
\( c^n>b^n+\frac{3a^2}{2a^n-b^n} \)
Vuestro silencio a mi respuesta anterior (ahora Rincón Matemático ya no las numera) no me va a permitir creer que es correcta.
Suponemos \( 2a^{n}-b^{n}=3a^{n}-b \) y dividimos por \( 2a^{n}-b^{n} \)
\( b^{n}+\frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}}?c^{n} \)
Como \( \frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}}>a^{n} \)
\( \left\{ b+>a^{n}\right\} >c^{n} \)
En tu respuesta 19-Noviembre-2020 escribes en rojo {b+>\( a^n \)}\( >c^n \).
No es \( b \) es \( b^n \) y viene a decir
\( b^n+a^n+1 \) (por ejemplo) \( >c^n \)
Hola
Si restamos a los miembros iniciales \( 1105a^n \)
\( c^n-2a^n?b^n-a^n \)
\( c^n-2a^n-1105a^n?b^n-a^n-1105a^n \)
\( (c^n-1107a^n)^2?(b^n-1106a^n)^2 \)
llegamos a
\( b^n(2212a^n-b^n)?c^n(2213a^n-b^n)-2213a^{2n} \)
y vemos que los dos parentesis se acercan a la igualdad. Cosa que ocurrirá si en lugar de \( 1105a^n \) restamos una cantidad mucho mayor. Por ejemplo \( 11050 a^n \) y etc.
Hola
En tu respuesta y en mi opinión la fracción
\( \displaystyle\frac{(K-1)a^n-b^n}{Ka^n-b^n}=1 \) si \( K=\infty \)
Y la fracción \( \displaystyle\frac{K}{Ka^n-b^n}a^{2n}= \)
si \( K=\infty\rightarrow{1 . a^{2n}} \)
o bien \( \infty \) \( a^{2n} \) . Un infinito de un orden mayor.
Por otro lado veo que insistes en que no uso para nada el caracter entero de los números.
Para números reales la Conjetura de Fermat es falsa.
Cuestión de infinitos.
Los enteros positivos pares son infinitos.
Los enteros positivos son infinitos.
Es fácil de entender que el segundo infinito es mayor que el primero.
Para números reales la Conjetura de Fermat es falsa.
Cuestión de infinitos.
Los enteros positivos pares son infinitos.
Los enteros positivos son infinitos.
Es fácil de entender que el segundo infinito es mayor que el primero.
Cuando se trabaja con infinitos es muy importante concretar la clase o las clases de infinitos a los que nos referimos.
Cuestión de infinitos.
Los enteros positivos pares son infinitos.
Los enteros positivos son infinitos.
Es fácil de entender que el segundo infinito es mayor que el primero.
Los enteros positivos \( (a,b,c) \) provienen de unos enteros positivos mayores \( (A,B,C) \) divididos por su m.c.d.
Por ejemplo la terna \( (5,6,7) \) proviene de la terna \( (105,126,147) \) dividida por 21.
Si todas las ternas que utilizo provienen como la anterior, creo que he dejado de lado los reales.
Para números reales la Conjetura de Fermat es falsa.
Para números reales la Conjetura de Fermat es falsa.
Si, es falsa. Precisamente por eso si en la supuesta demostración no usas en ningún momento que los números son entero y no reales (y decirlo no es usarlo) con toda seguridad la demostración no puede estar bien. Eso es lo que te he repetido decenas de veces.
Para números reales la Conjetura de Fermat es falsa.
Hola
En mi respuesta 15.Julio.2020 pido a cuantos leen este hilo, que se me cite una terna viable que NO pueda venir de una terna de enteros positivos mayores cuyos términos, divididos por su \( m.c.d. \) nos den la terna viable que he citado.
En mi respuesta 15.Julio.2020 pido a cuantos leen este hilo, que se me cite una terna viable que NO pueda venir de una terna de enteros positivos mayores cuyos términos, divididos por su \( m.c.d. \) nos den la terna viable que he citado.
El 15.Julio.2020 Luis Fuentes contesta:
Pues sí, una "terna viable" podría venir de otra "terna viable" proporcional a ella. Si te refieres al problema del Teorema de Fermat uno puede reducir la cuestión a trabajar con números primos entre sí; pues sí es una simplificación obvia que puede hacerse.
En mi respuesta 15.Julio.2020, 12,33 pm digo:
Lo que quiero decir es que la conjetura de Fermat se refiere sólo a enteros positivos y no a reales en general.
El 15.Julio.2020 10,17 pm Luis Fuentes contesta:
Sí, eso ya lo sabemos todos y nunca ha sido puesto en duda.
Por un lado contestas
Pues sí, una "terna viable" podría venir de otra "terna viable" proporcional a ella. Si te refieres al problema del Teorema de Fermat uno puede reducir la cuestión a trabajar con números primos entre sí; pues sí es una simplificación obvia que puede hacerse.
Por otro lado dices:
También la terna \( (\sqrt[ ]{2}, 1, \sqrt[ ]{3}) \) proviene de la terna \( 21\sqrt{2}, 21, 21\sqrt{3} \) dividida por 21.
Te ruego me digas si hay contradicción entre ambas respuestas.
Y son de números reales. La clave es si USAS realmente que son enteros.
Por ejemplo para razonar que:
\( a^n+b^n?c^n \)
equivale elevando al cuadrado a:
\( (a^n+b^n)^2?c^{2n} \)
\( a^{2n}+2a^nb^n+b^{2n}?c^{2n} \)
NO se USA para NADA que los números enteros; lo que se usa es que si en los términos de una igualdad se elevan ambos al cuadrado entonces la igualdad se sigue cumpliendo. Y eso es una propiedad algebraica cierta para números reales (incluídos los enteros).
Y así con todo.
Pues sí, una "terna viable" podría venir de otra "terna viable" proporcional a ella. Si te refieres al problema del Teorema de Fermat uno puede reducir la cuestión a trabajar con números primos entre sí; pues es una simplificación obvia que puede hacerse.
*Off topic
Mira, minette, creí que había demostrado varios casos del teorema; pero me dice Luis que no, que el Wolfram cuenta de antemano con que ya está demostrado (sin hacer el cuentas).
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115246.msg457830;topicseen#msg457830
Lo curioso de esto es que, si hubiera sido lo mismo pero con algo no demostrado todavía (la conjetura fuerte de Goldbach, por ejemplo) la demostración sería válida (en este caso es que cuenta con la demostración preexistente, no es que no sea válida ni no válida).
Por tanto, haz todas las cuentas que quieras con el Wolfram; te dirá cuándo te equivocas en las cuentas que hagas tú y te ahorrará mucho tiempo.
si \( (a,b,c) \) son primos entre sí, podemos asegurar que los tres son enteros. O ¿acoso puede haber primalidad si uno de la terna es un real?
Por ejemplo \( (6,7, real) \).
Dicho de otro modo: Si tres números son primos entre sí, seguro que son enteros.
¿Puedes citarme una terna de enteros , no primos entre sí ? ¿Por ejemplo \( (6,7,9) \) ó \( (6,7,8) \) ? Estas dos ternas no son viables.
Y son de números reales. La clave es si USAS realmente que son enteros.
Por ejemplo para razonar que:
\( a^n+b^n?c^n \)
equivale elevando al cuadrado a:
\( (a^n+b^n)^2?c^{2n} \)
\( a^{2n}+2a^nb^n+b^{2n}?c^{2n} \)
NO se USA para NADA que los números enteros; lo que se usa es que si en los términos de una igualdad se elevan ambos al cuadrado entonces la igualdad se sigue cumpliendo. Y eso es una propiedad algebraica cierta para números reales (incluídos los enteros).
Y así con todo.
Si yo afirmo que los términos de todas las ternas con las que trabajo son enteros estoy excluyendo a todos los demás reales.
Citas \( a^n+b^n?c^n \)
\( (a^n+b^n)^2?c^{2n} \)
\( a^{2n}+2a^nb^n+b^{2n}?c^{2n} \)
Y, de repente, afirmas que el \( ? \) es \( = \) sin ninguna justificación.
NO se USA para NADA que los números enteros; lo que se usa es que si en los términos de una igualdad se elevan ambos al cuadrado entonces la igualdad se sigue cumpliendo. Y eso es una propiedad algebraica cierta para números reales (incluídos los enteros).?
Aunque yo diga un millón de veces que sólo trabajo con enteros, primos o no entre sí, tú lo rebates así:
\( (A+B)^2=C^2 \)
\( A^2+2AB+B^2=C^2 \)
y esta igualdad es cierta tanto para enteros como para reales.
Si restamos a los miembros iniciales \( 1105a^n \)
\( c^n-2a^n?b^n-a^n \)
\( c^n-2a^n-1105a^n?b^n-a^n-1105a^n \)
\( (c^n-1107a^n)^2?(b^n-1106a^n)^2 \)
Hola Luis
Aunque yo diga un millón de veces que sólo trabajo con enteros, primos o no entre sí, tú lo rebates así:
\( (A+B)^2=C^2 \)
\( A^2+2AB+B^2=C^2 \)
y esta igualdad es cierta tanto para enteros como para reales.
Saludos.
Hola
Gracias Robinlambada y gracias Feriva.
Las ternas con las que trabajo son TODAS formadas por tres enteros primos entre sí ó multiplos de ellos.
"Pues sí, una terna viable podría venir de otra terna viable proporcional a ella. Si te refieres al problema del Teorema de Fermat uno puede reducir la cuestión a trabajar con números primos entre sí; pues es una simplificación obvia que puede hacerse."
Saludos.
Las ternas con las que trabajo son TODAS formadas por tres enteros primos entre sí ó multiplos de ellos.
"Pues sí, una terna viable podría venir de otra terna viable proporcional a ella. Si te refieres al problema del Teorema de Fermat uno puede reducir la cuestión a trabajar con números primos entre sí; pues es una simplificación obvia que puede hacerse."
Citar\( (A+B)^2=C^2 \)
\( A^2+2AB+B^2=C^2 \)
y esta igualdad es cierta tanto para enteros como para reales.
Si, es un ejemplo donde aunque yo DIGA que \( A,B,C \) son enteros igualmente ambas expresiones son equivalentes para reales.
O por ejemplo:Si restamos a los miembros iniciales \( 1105a^n \)
\( c^n-2a^n?b^n-a^n \)
\( c^n-2a^n-1105a^n?b^n-a^n-1105a^n \)
Que de restando lo mismo a los dos miembros de la igualdad/desigualdad se siguen manteniendo esa igualdad/desigualdad es cierto tanto para enteros como para reales. Entonces ahí NO INFLUYE que los números sean enteros.
Que luego eleves al cuadrado y llegues a:Citar\( (c^n-1107a^n)^2?(b^n-1106a^n)^2 \)
sigue siendo válido tanto para ENTEROS como para REALES y por tanto ahí no influye para nada que hayas dicho que tus números son enteros.
¡Y así con todo!.
Luego siempre hay un paso (o más), al que ocurre lo contrario. Está MAL tanto para enteros como para reales. O a veces simplemente sacas conclusiones incorrectas o disparatadas de tus cuentas.
"Pues sí, una terna viable podría venir de otra terna viable proporcional a ella. Si te refieres al problema del Teorema de Fermat uno puede reducir la cuestión a trabajar con números primos entre sí; pues es una simplificación obvia que puede hacerse."
Entre TODOS los números reales, aparte de los enteros positivos, ¿existe alguna otra terna de reales que puedan ser primos entre sí?
Citar\( (A+B)^2=C^2 \)
\( A^2+2AB+B^2=C^2 \)
y esta igualdad es cierta tanto para enteros como para reales.
Si, es un ejemplo donde aunque yo DIGA que \( A,B,C \) son enteros igualmente ambas expresiones son equivalentes para reales.
O por ejemplo:Si restamos a los miembros iniciales \( 1105a^n \)
\( c^n-2a^n?b^n-a^n \)
\( c^n-2a^n-1105a^n?b^n-a^n-1105a^n \)
Que de restando lo mismo a los dos miembros de la igualdad/desigualdad se siguen manteniendo esa igualdad/desigualdad es cierto tanto para enteros como para reales. Entonces ahí NO INFLUYE que los números sean enteros.
Que luego eleves al cuadrado y llegues a:Citar\( (c^n-1107a^n)^2?(b^n-1106a^n)^2 \)
sigue siendo válido tanto para ENTEROS como para REALES y por tanto ahí no influye para nada que hayas dicho que tus números son enteros.
¡Y así con todo!.
Luego siempre hay un paso (o más), al que ocurre lo contrario. Está MAL tanto para enteros como para reales. O a veces simplemente sacas conclusiones incorrectas o disparatadas de tus cuentas.
Tendría mucho interés que un historiador de Matemáticas, y más concretamente, de la Conjetura de Fermat, evidenciase en qué momento de la demostración de Pierre de Fermat para \( n=4 \), queda patente que se refiere SÓLO a enteros positivos.
y, sin irnos tan lejos, me pongo de rodillas ante mente oscura, autor de una brillante demostración para \( n=4 \) de la misma conjetura de Fermat, nos diga, en que momento de su citada demostración, queda patente el carácter de enteros positivos de los números con los que trabaja y no de otra clase de reales. Sigo de rodillas y le doy las gracias.
Tendría mucho interés que un historiador de Matemáticas, y más concretamente, de la Conjetura de Fermat, evidenciase en qué momento de la demostración de Pierre de Fermat para \( n=4 \), queda patente que se refiere SÓLO a enteros positivos.
El caso n=4 cuenta al principio con las ternas pitagóricas, donde
\( a^{2}+b^{2}=c^{2}
\)
\( a=2nm
\)
\( b=n^{2}-m^{2}
\)
\( c=m^{2}+n^{2}
\)
A estas igualdades se llega haciendo razonamientos suponiendo cosas sobre pares, impares, coprimos...
Te digo sólo cómo se empieza (ya te lo puse entero y debió de aburrirte).
...
Supongamos que existen enteros “a,b,c” coprimos y siendo “b,c” imparesSpoiler
Ser impar supone no ser divisible entre 2, ésta es una propiedad de algunos enteros; propiedad que sólo se ha mencionado, todavía no se ha usado.
Es evidente que si fueran los tres pares, en ese caso, no serían coprimos, pues al menos compartirían el factor 2 todos ellos. Por tanto, es bastante fácil deducir que dos de ellos tendrán que ser impares y uno par en caso de que existan esos enteros. Al hacer esta deducción se usa, aunque de forma muy simple, que se ha supuesto que son coprimos, pues, si no, no se podría haber hecho la hipótesis de que los tres no pueden ser pares.[cerrar]
Despejando:
\( a^{2}=c^{2}-b^{2}=(c+b)(c-b)
\)
(aquí no se usa nada especial para enteros; es simplemente escribir la famosa igualdad notable).
...
Dado que “b” y “c” son impares, tenemos que \( (c+b)
\) y \( (c-b)
\) son pares.Spoiler
Aquí sí se usa el hecho de que sean impares para deducir que, entonces, \( c+b \) es par y \( c-b \) es par; ya que, los pares son de la forma “par más uno”, \( 2n+1
\), con lo que al sumar dos de ellos tendrmos un número de la forma
\( (2x+1)+(2y+1)=2x+2y+2=2\cdot(x+y+1)
\), que evidentemente siempre es par; ya ves el factor 2.
Y análogamente para la resta también es par.
La igualdad anterior, \( a^{2}=c^{2}-b^{2}=(c+b)(c-b)
\), nos va a ser útil aunque sirva para todos los reales, pero esto es así porque añadimos lo dicho sobre los impares y, con más cosas que vienen después, vamos deduciendo poco a poco cómo tendrían que ser esos números en el caso de que verdaderamente fueran enteros.
Y, así, se siguen haciendo los razonamientos que hagan falta hasta estar seguros de que existen dichos enteros (o no existen, según el problema).[cerrar]
feriva en NADA de lo que has escrito es trascendente que los números sean enteros; todo eso vale igual para reales. No tengo claro si ya eres consciente de ello. Pero si ya eres consciente, nada de eso contesta a la pregunta de minette. Entonces... mmmm... ¿no crea más bien todavia más confusión?.
Saludos.
Es que es sólo el principio de una demostración que hay (que no es mía) para deducir los cambios que se usan en n=4, \( a=2nm
\), \( b=n^{2}-m^{2}
\), \( c=m^{2}+n^{2}
\).
Pensé que a ella le podría servir para seguir mejor la demostración, para saber de dónde salen esos cambios y también para ver el tipo de razonamiento.
Ya; pero en esos pasos no influye que los números sean enteros. Si lo que se trata es de que vea la demostración del caso \( n=4 \) basta darle el enlace; y si hay dudas y/o hay que hacer aclaraciones que pregunte allí.
Saludos.
Os pido a todos que me citéis una terna de reales que, para \( n=3 \), se cumpla
\( r_1^3+ r_2^3 + r_3^3 \)
Gracias y cordiales saludos.
Espero y deseo que, a quienes les haya ocurrido como a mí con respecto al coronavirus, lo hagan superado como lo he superado yo.
Se ignora -yo al menos lo ignoro- si Pierre de Fermat era consciente de que su conjetura es falsa para números reales. Pero, dada la categoría de Fermat como matemático, apuesto porque lo sabía.
Ya, en otro terreno, afirmo con contundencia que \( (a,b,c) \) son enteros (aunque Luis diga que no es suficiente con decirlo) y apelo, al mejor lógicomatematico que exista, para que confirme, en mi apoyo, que sí es válido afirmar que \( (a,b,c) \) son enteros positivos y que puedo operar con ellos.
Y, si pudiera, apelaría también a Gottlob Frege, padre de la Lógicomatematica.
También afirmo que se cumple, aunque ello sea falso, que \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \). Y, asímismo y en consecuencia, que \( c^{n}-2a^{n}=b^{n}-a^{n} \) .
Veamos qué ocurre si elevamos al cuadrado los dos miembros anteriores:
\( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
\( c^{n}(c^{n}-4a^{n})?b^{n}(b^{n}-2a^{n})-3a^{2n} \)
Traspongo los términos de miembro:
\( b^{n}(2a^{n}-b^{n})+3a^{2n}?c^{n}(4a^{n}-c^{n}) \)
\( b^{n}(2a^{n}-b^{n})+3a^{2n}?c^{n}(3a^{n}-b^{n}) \)
HolaIgual que Luis espero que estés bien.
Espero y deseo que, a quienes les haya ocurrido como a mí con respecto al coronavirus, lo hagan superado como lo he superado yo.
Se ignora -yo al menos lo ignoro- si Pierre de Fermat era consciente de que su conjetura es falsa para números reales. Pero, dada la categoría de Fermat como matemático, apuesto porque lo sabía.Dado arbitrariamente un valor cualquiera a \( x \) e \( y \) se obtiene \( z \), sin más que sustituir en \( z=\sqrt[ n]{x^n+y^n} \)
Ya, en otro terreno, afirmo con contundencia que \( (a,b,c) \) son enteros (aunque Luis diga que no es suficiente con decirlo) y apelo, al mejor lógicomatematico que exista, para que confirme, en mi apoyo, que sí es válido afirmar que \( (a,b,c) \) son enteros positivos y que puedo operar con ellos.No solo lo dice Luis que no es suficiente, lo digo yo y cualquier persona que tenga cierto conocimiento ( no muy elevado) en demostraciones matemáticas.
Y, si pudiera, apelaría también a Gottlob Frege, padre de la Lógicomatematica.
También afirmo que se cumple, aunque ello sea falso, que \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \). Y, asímismo y en consecuencia, que \( c^{n}-2a^{n}=b^{n}-a^{n} \) .Entiendo que más que afirmar, supones que se cumple el teorema, (supongo para llegar a un absurdo). Pues no tiene sentido sino dar algo como verdadero y falso a la vez. Esto es un ejemplo perfecto para que entiendas lo que te digo.
Al fin y al cabo, si la Conjetura de Fermat es falsa para números reales en general, centrémonos exclusivamente en los reales que son enteros positivos tal como, con seguridad, afirmaba Fermat.
Tendría mucho interés que un historiador de Matemáticas, y más concretamente, de la Conjetura de Fermat, evidenciase en qué momento de la demostración de Pierre de Fermat para \( n=4 \), queda patente que se refiere SÓLO a enteros positivos.
Es muy sencillo. La demostración de Pierre de Fermat (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=18414.msg76066#msg76066) se basa en el "descenso infinito" y éste esencialmente en que no existe una sucesión estrictamente decreciente infinita de números enteros positivos; pero sin embargo SI existe una sucesión estrictamente decreciente infinita de números reales positivos. Luego ahí y de manera troncal y decisiva se usa el carácter entero de las variables.Citary, sin irnos tan lejos, me pongo de rodillas ante mente oscura, autor de una brillante demostración para \( n=4 \) de la misma conjetura de Fermat, nos diga, en que momento de su citada demostración, queda patente el carácter de enteros positivos de los números con los que trabaja y no de otra clase de reales. Sigo de rodillas y le doy las gracias.
En la demostración de mente oscura (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=76985.0), esencialmente lo mismo: se basa en considerar que existe una determinada solución con una de sus variables siendo el mínimo impar que la cumple. Es decir se basa en que todo conjunto de números enteros positivos tiene mínimo. Pero de nuevo esto no es cierto para reales, no es cierto que todo conjunto de números reales positivos tenga mínimo. De nuevo de manera troncal y decisiva está usando el carácter entero de las variables.
Por favor, tú y robinlambada contestar a este párrafo:
"Al fin y al cabo, si la Conjetura de Fermat es falsa para números reales en general, centrémonos exclusivamente en los reales que son enteros positivos tal como, con seguridad, afirmaba Fermat."
HolaNo hay pregunta.
Luis, quien calla otorga, en aquel momento y ahora.
Por favor, tú y robinlambada contestar a este párrafo:
"Al fin y al cabo, si la Conjetura de Fermat es falsa para números reales en general, centrémonos exclusivamente en los reales que son enteros positivos tal como, con seguridad, afirmaba Fermat."
Saludos y gracias Feriva.
Se ignora -yo al menos lo ignoro- si Pierre de Fermat era consciente de que su conjetura es falsa para números reales. Pero, dada la categoría de Fermat como matemático, apuesto porque lo sabía.Dado arbitrariamente un valor cualquiera a \( x \) e \( y \) se obtiene \( z \), sin más que sustituir en \( z=\sqrt[ n]{x^n+y^n} \)
¿Realmente piensas que se necesita una cierta "categoría como Matemático" para darse cuenta de este detalle?
Por tanto yo podría afirmar que los números que usas en tu intento de demostración son reales no enteros y ¿ ahora como pruebas que miento?
HolaSi, claro que puedo hacer un comentario a tú párrafo y con esto te estoy contestando a tu pregunta.
A Luis y también a robinlambada os digo que es cierto que el párrafo que os he citado no contiene ninguna pregunta. Me permito que aceptéis ahora la pregunta siguiente que acompaño al párrafo:
¿podéis hacer algún comentario al citado párrafo?
Saludos.
A Luis y también a robinlambada os digo que es cierto que el párrafo que os he citado no contiene ninguna pregunta. Me permito que aceptéis ahora la pregunta siguiente que acompaño al párrafo:
¿podéis hacer algún comentario al citado párrafo?
Una vez más: nadie dice que esté mal que digas que trabajas con enteros. La cuestión es que "decirlo" no llega; en algún momento de una buena demostración debería de ser decisivo que efectivamente trabajamos con enteros.
Mensajes atrás y por petición tuya te puse un par de ejemplos de demostraciones con pasos en los que es decisivo el carácter entero de los números implicados:Tendría mucho interés que un historiador de Matemáticas, y más concretamente, de la Conjetura de Fermat, evidenciase en qué momento de la demostración de Pierre de Fermat para \( n=4 \), queda patente que se refiere SÓLO a enteros positivos.
Es muy sencillo. La demostración de Pierre de Fermat (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=18414.msg76066#msg76066) se basa en el "descenso infinito" y éste esencialmente en que no existe una sucesión estrictamente decreciente infinita de números enteros positivos; pero sin embargo SI existe una sucesión estrictamente decreciente infinita de números reales positivos. Luego ahí y de manera troncal y decisiva se usa el carácter entero de las variables.Citary, sin irnos tan lejos, me pongo de rodillas ante mente oscura, autor de una brillante demostración para \( n=4 \) de la misma conjetura de Fermat, nos diga, en que momento de su citada demostración, queda patente el carácter de enteros positivos de los números con los que trabaja y no de otra clase de reales. Sigo de rodillas y le doy las gracias.
En la demostración de mente oscura (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=76985.0), esencialmente lo mismo: se basa en considerar que existe una determinada solución con una de sus variables siendo el mínimo impar que la cumple. Es decir se basa en que todo conjunto de números enteros positivos tiene mínimo. Pero de nuevo esto no es cierto para reales, no es cierto que todo conjunto de números reales positivos tenga mínimo. De nuevo de manera troncal y decisiva está usando el carácter entero de las variables.
Pero no sé; no pareces reaccionar ni siquiera ante los ejemplos.
Luis, quien calla otorga, en aquel momento y ahora.
\( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
\( c^{2n}+4a^{2n}-4a^{n}c^{n}?b^{2n}+a^{2n}-2b^{n}a^{n} \)
\( c^{2n}+4a^{2n}-4a^{n}c^{n}-c^{n}?b^{2n}+a^{2n}-2b^{n}a^{n}-a^{n}-b^{n} \)
\( 4a^{2n}>a^{2n}-a^{n} \)
\( c^{n}(c^{n}-4a^{n}-1)?b^{n}(b^{n}-2a^{n}-1) \)
\( c^{n}>b^{n} \)
\( c^{n}-4a^{n}-1?b^{n}-2a^{n}-1 \)
\( c^{n}-2a^{n}?b^{n} \)
\( a^{n}+b^{n}-2a^{n}?b^{n} \)
\( b^{n}-a^{n}<b^{n} \)
\( c^{n}>b^{n} \)
\( (b^{n}-a^{n})(b^{n}+a^{n})?b^{2n} \)
\( b^{2n}-a^{2n}<b^{2n} \)
\( -a^{2n}<0 \)
\( 4a^{2n}>a^{2n}-a^{n} \)
\( 3a^{2n}>a^{2n}-a^{n} \)
\( 2a^{2n}>-a^{n} \); \( (c^{n}-2a^{n})^{2}>(b^{n}-a^{n})^{2} \)
A tu primera pregunta te contesto diciendo que me conformo con que sea válida para enteros. como esto:
Si \( a^2+b^2< c^2\rightarrow{}a^n+b^n<c^n \) si \( n>2 \)
sI \( a^2+b^2=c^2\rightarrow{}a^n+b^n< c^n \) si \( n>2 \)
.
Si \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
entonces \( c^{n}-2a^{n}=b^{n}-a^{n} \)
Veamos que ocurre si elevamos al cuadrado los dos miembros: \( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
\( c^{2n}+4a^{2n}-4a^{n}c^{n}?b^{2n}+a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
sumo al primer miembro \( -c^{n} \) y al segundo \( -a^{n}-b^{n} \)
\( c^{2n}+4a^{2n}-4a^{n}c^{n}-c^{n}?b^{2n}+a^{2n}-2b^{n}a^{n}-a^{n}-b^{n} \)
El término \( 4a^{2n} \) del primer miembro es mayor que los términos \( a^{2n}-a^{n} \) del segundo miembro:
\( 4a^{2n}>a^{2n}-a^{n} \)
De los términos que quedan escribo:
\( c^{n}(c^{n}-4a^{n}-1)?b^{n}(b^{n}-2a^{n}-1) \)
el factor \( c^{n} \) del primer miembro es mayor que \( b^{n} \) del segundo
\( c^{n}>b^{n} \)
comparo el factor \( (c^{n}-4a^{n}-1) \) con el factor \( (b^{n}-2a^{n}-1) \) :
\( c^{n}-4a^{n}-1?b^{n}-2a^{n}-1 \)
\( c^{n}-2a^{n}-1?b^{n}-1 \)
\( a^{n}+b^{n}-2a^{n}-1?b^{n}-1 \)
\( b^{n}-a^{n}<b^{n} \)
factor \( c^{n} \) por factor \( (b^{n}-a^{n}) \) ? factor \( b^{n} \) por factor\( b^{n} \)
\( c^{n}(b^{n}-a^{n})?b^{n}\cdot b^{n} \)
\( (b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})b^{2n} \)
\( b^{2n}-a^{2n}<b^{2n}\rightarrow-a^{2n}<0 \)
Ahora sumo al primer miembro \( 4a^{2n} \) y al segundo \( a^{2n}-a^{n} \) y queda \( 3a^{2n}>a^{2n}-a^{n} \) ; \( 2a^{2n}>-a^{n} \)
Entonces \( (c^{n}-2a^{n})^{2}>(b^{n}-a^{n})^{2} \)
Ahora, ¿entiendes que si TODOS los pasos de un argumento son válidos para números reales, y esos pasos probasen que la ecuación \( a^n+b^n=c^n \) no tiene solución, estarían probando que no tiene solución para números reales? Me gustaría que contestases. Si no lo entiendes o si no estás de acuerdo, explica tu duda. Si simplemente no quieres contestar a eso, dilo también.
Siendo \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) y \( n \) el mayor valor que cumple esta desigualdad con signo\( > \). Entonces, si la conjetura de Fermat es cierta, se llega a \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \) ; y así sucesivamente, con \( (n+2) \) y etc.
Si la conjetura no es cierta se llega a \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) y, a partir de aquí, \( a^{n+1}+b^{n+1}<c^{n-1} \) , y así sucesivamente con \( (n+2) \) y etc.
La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) la podemos presentar así:
\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n} \) (1)
Estamos ante una ecuación diofántica. Y siendo \( a^{n-1} \), \( b^{n-1} \) primos entre sí, su \( m.c.d \) es 1. Esta ecuación tiene infinitas soluciones pues \( 1\mid c^{n} \) . Por la identidad de Bèzout: \( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \) . Siendo \( b>a\rightarrow x_{0}>y_{0} \) (valores absolutos). Entonces uno de ellos ha de ser positivo y el otro negativo para que se cumpla Bèzout.
\( \frac{x_{0}=negativo; y_{0}=positivo}{a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n}} \)
Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtiene así:
\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1}=b\rightarrow K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
Conviene recordar la exigencia de que cada valor de \( K \) ha de ser el mismo en las dos fórmulas anteriores; y, además entero en el caso presente.
\( a^{n}=a^{n-1}\centerdot a \) ;\( b^{n}=b^{n-1}\centerdot b \) sustituyendo \( a,b \) por las igualdades antes citadas se llega a
\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)
Siendo el paréntesis \( =1 \) ; si la conjetura de Fermat es cierta, los valores de \( K \) han de ser distintos.
Antes de seguir espero vuestra conformidad de que sólo opero con ENTEROS positivos .
Las ecuaciones diofánticas sólo admiten enteros positivos,
y el \( m.c.d \) sólo se puede obtener de enteros positivos.
Creo, Luis, que todas las observaciones que me dedicas en tu anterior respuesta, cabría que las aplicases a las palabras tuyas antes citadas.
De tu autoría:
Dada la ecuación: \( ax+by=c \)
con \( a,b,c \) enteros se trata de calcular todos los pares de enteros \( (x,y) \) que verifican la ecuación.
TEOREMA:
La ecuación \( ax+by=c \) anterior tiene solución si y sólo si \( m.c.d. \) \( (a,b) \) divide \( a \) \( c \).
1) Calcular números enteros \( x\prime,y\prime \) tales que \( ax\prime+by\prime =m.c.d (a,b) \). Para ello podemos usar el algorítmo extendido de euclides que nos da al mismo tiempo el \( mc.d (a,b) \) y los números \( x\prime, y\prime \).
2) Si \( c \) no es múltiplo de \( m.c.d (a,b) \) no tien solución.
Etcétera
Creo, Luis, que todas las observaciones que me dedicas en tu anterior respuesta, cabría que las aplicases a las palabras tuyas antes citadas.
Hasta ahí correcto.
Son diofánticas si las consideras como tales; las mismas ecuaciones pueden ser consideradas como ecuaciones con números reales en general.
En realidad se podría hablar de m.c.d de reales igualmente; lo que pasa que todo par de reales sería coprimo, en cuanto que en un cuerpo no hay divisores que no sean unidades. Esto es una cuestión técnica.
Dada la ecuación: \( ax+by=c \)
con \( a,b,c \)enterosreales, se trata de calcular todos los pares deenterosreales \( (x,y) \) que verifican la ecuación.
TEOREMA:
La ecuación \( ax+by=c \) anterior tiene solución si y sólo si \( m.c.d. \) \( (a,b) \) divide \( a \) \( c \).
1) Calcular númerosenterosreales \( x\prime,y\prime \) tales que \( ax\prime+by\prime =m.c.d (a,b) \). Para ello podemos usar el algorítmo extendido de euclides que nos da al mismo tiempo el \( mc.d (a,b) \) y los números \( x\prime, y\prime \).
2) Si \( c \) no es múltiplo de \( m.c.d (a,b) \) no tien solución.
Tendría mucho interés que un historiador de Matemáticas, y más concretamente, de la Conjetura de Fermat, evidenciase en qué momento de la demostración de Pierre de Fermat para \( n=4 \), queda patente que se refiere SÓLO a enteros positivos.
Es muy sencillo. La demostración de Pierre de Fermat (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=18414.msg76066#msg76066) se basa en el "descenso infinito" y éste esencialmente en que no existe una sucesión estrictamente decreciente infinita de números enteros positivos; pero sin embargo SI existe una sucesión estrictamente decreciente infinita de números reales positivos. Luego ahí y de manera troncal y decisiva se usa el carácter entero de las variables.
Lo que quiero decirte es si sería conveniente que, en el hilo Ecuación diofántica lineal: \( ax+by=c \) , iniciado por tí, expusieras el caso para números reales. Aunque no lo he visto en ningún libro de matemáticas.
Que pasa, que en el caso de los reales el teorema es una trivialidad poco útil
P.D. En el caso de los reales lo más sencillo para resolver \( ax+by=c \) con, por ejemplo, \( a\neq 0 \) es simplemente despejar:
\( x=\dfrac{c-by}{a},\qquad y\in \Bbb R \) es el conjunto de soluciones
Hola LuisNo tengo del todo claro lo que quieres decir con esta cita, pero creo que esta en la línea en la que te ha respondido Carlos. Que por cierto aunque no te haya hecho preguntas directas, me da la sensación (solo es una sensación) que con tu respuesta tan escueta, no te interesa lo expuesto por el.
De tu autoría:
Dada la ecuación: \( ax+by=c \)
con \( a,b,c \) enteros se trata de calcular todos los pares de enteros \( (x,y) \) que verifican la ecuación.
TEOREMA:
La ecuación \( ax+by=c \) anterior tiene solución si y sólo si \( m.c.d. \) \( (a,b) \) divide \( a \) \( c \).
1) Calcular números enteros \( x\prime,y\prime \) tales que \( ax\prime+by\prime =m.c.d (a,b) \). Para ello podemos usar el algorítmo extendido de euclides que nos da al mismo tiempo el \( mc.d (a,b) \) y los números \( x\prime, y\prime \).
2) Si \( c \) no es múltiplo de \( m.c.d (a,b) \) no tien solución.
Etcétera
Creo, Luis, que todas las observaciones que me dedicas en tu anterior respuesta, cabría que las aplicases a las palabras tuyas antes citadas.
Saludos.
HolaLo digo porque a mi juicio es una respuesta muy esclarecedora a tu objeción ( que ahora responderé , al menos con mi interpretación de tu objeción).
Gracias Carlos Ivorra. Gracias feriva.
Saludos.
Vamos a probar que la ecuación 6x+15y=23 no tiene soluciones enteras.
***Paso en el que es decisivo que \( x \) e \( y \) son eneros***
Como \( x \) e \( y \) son enteros, también es entero \( m = 2x+5y \).
En este paso es decisiva la hipótesis de que son enteros porque si \( x \) e \( y \) no fueran enteros, ya no podría asegurar que \( m \) lo es. Y esto es a su vez decisivo en el paso siguiente, que consiste en observar que hemos llegado a que \( 3m=23 \), con \( m \) entero.
Esto significa que \( 3 \) es un divisor de \( 23 \), lo cual es imposible, porque \( 23 \) es primo y no tiene más divisores que \( \pm 1 \) y \( \pm 23 \).
Hola
Un millón de gracias Carlos Ivorra.
Saludos.
Hola Luis
Lo que quiero decirte es si sería conveniente que, en el hilo Ecuación diofántica lineal: \( ax+by=c \) , iniciado por tí, expusieras el caso para números reales. Aunque no lo he visto en ningún libro de matemáticas.
¿El interrogante (igual, mayor ó menor) entre estas dos fracciones:
\( \dfrac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}?\dfrac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)
es el mismo que el que relaciona a estas otras dos fracciones:
\( \dfrac{x_0c^na^{n-1}+a^n}{b^{n-1}\cdot{}a^{n-1}}?\dfrac{y_0c^nb^{n-1}-b^n}{a^{n-1}\cdot{}b^{n-1}} \)?
Las dos fracciones de la izquierda son equivalentes. Y las dos de la derecha también.
Dadas las fracciones
\( \frac{x_0c^na^{n-1}+a^n}{b^{n-1}\cdot{}a^{n-1}}?\frac{y_0c^nb^{n-1}-b^n}{b^{n-1}\cdot{}a^{n-1}} \)
siendo los denominadores iguales, el interrogante lo determinan los numeradores:
\( x_0c^na^{n-1}+a^n?y_0c^nb^{n-1}-b^n \)
\( a^n+b^n?y_0c^nb^{n-1}-x_0c^na^{n-1} \)
dividiendo por \( c^n \):
\( 1?y_0b^{n-1}-x_0a^{n-1} \)
con lo cual el \( ? \) es \( = \) y las fracciones son iguales.
Ahora bien, si elevamos al cuadrado los numeradores y operando, se llega a
\( x_0a^{n-1}(c^n+2a^n)+y_0b^{n-1}(c^n+2b^n)?b^n-a^n \)
Las dos primeras partes de mi intento de demostración son
\( a^2+b^2<c^2 \) y \( a^2+b^2=c^2 \)
en ambos casos si \( n\geq{}3 \), entonces
\( a^n +b^n <c^n \). Cuando \( c>b>a \) y son enteros positivos.
Yo me permito preguntar, el hecho de que estas demostraciones son válidas para unas ternas muy escogidas de números reales ¿las invalida cuando \( a,b,c \) son enteros positivos?
En esas dos partes de mi demostración afirmo que \( c>b>a \) son enteros positivos.
En más de una ocasión me dices que no basta con decir que se trata de enteros positivos.
Confírmame Luis por favor que para estas dos partes de mi demostración SÍ BASTA con decir que \( c,b,a \) son enteros positivos.
Que si \( c^2\geq a^2+b^2 \) entonces \( c^n\geq a^n+b^n \) para \( n>2 \) es cierto para números reales positivos y en particular para enteros positivos.
Gracias por tu extensa respuesta pero observo que no me respondes en concreto a lo que te había preguntado:
"Confírmame, Luis, por favor que para estas dos primeras partes de mi demostración, sí basta con decir que \( c,b,a \) son enteros positivos.
Ciñete por favor a las dos primeras partes de mi intento de demostración.
Que si \( c^2\geq a^2+b^2 \) entonces \( c^n\geq a^n+b^n \) para \( n>2 \) es cierto para números reales positivos y en particular para enteros positivos.
Encaja en el punto (9) y NO ENCAJA, en los puntos (5),(6),(7),(8).
Es un resultado válido para reales y enteros y lo que digas o dejes de decir de si los números son enteros o reales es indiferente. Lo que hay que ver es si la demostración que haces es correcta. No recuerdo ahora mismo cual era tu demostración; pero supongo que estará bien. Es un resultado bastante sencillo, válidos para números positivos cualesquiera sean o no enteros.
Cuando \( a^2+b^2=c^2 \)
Si el exponente es \( n\geq{3} \) entonces \( a^n+b^n<c^n \)
Para demostrarlo basta con aplicar una pizca de sentido común. Consideremos el caso
\( 3^2+4^2=5^2 \). Para \( n=3 \) resulta que en la igualdad citada multiplicamos en el primer miembro el término por \( 3^2 \) por 3 y el segundo término por 4. Mientras que el segundo miembro lo multiplicamos por 5.
Pero es que si incluso multiplicamos todo el primer miembro por \( 4 \): \( (3^2+4^2)4<5^2\cdot5 \): \( 100<125 \)
Esta diferencia va aumentando para \( n>3 \).
Son muchas las veces que afirmo \( c>b>a \).
Perdóname, Luis, si mi anterior respuesta ta ha incomodado.
\( (K_{1})\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}}(K_{2}) \) Elevamos al cuadrado, multiplicamos en cruz y dividimos por \( c^{n} \) :
(1) \( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1}?\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \) \( (Positivo) \)
Dividimos por \( 2x_{0}a^{2n-1}\centerdot2y_{0}b^{2n-1} \):
\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}}? Positivo \)
\( +\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?-\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}} \) ; \( 1(Positivo)<\frac{c^{n}}{2a^{n}}(Negativo) \)
\( +\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}?-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}} \) ; \( 1(Positivo)>\frac{c^{n}}{2b^{n}}(Negativo) \)
\( \frac{c^{n}}{2a^{n}}-\frac{2a^{n}}{2a^{n}}=\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \) ; diferencia a favor Negativo.
\( \frac{2b^{n}}{2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2b^{n}}=\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} \) ; diferencia a favor Positivo.
Si \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \), los numeradores de las fracciones son iguales. Entonces \( \frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}}>\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} \)
Conclusión: El primer miembro de (1) es negativo \( \neq \) al segundo miembro positivo entero o no entero .
Por favor dime que paso de mi respuesta 712 está mal.
Conclusión: El primer miembro de (1) es negativo \( \neq \) al segundo miembro positivo entero o no entero .
Gracias Luis por tu respuesta 715.
Te pido que me concretes por favor que paso de mi respuesta 712 está mal.
Por favor dime que paso de mi respuesta 712 está mal.
Ya te lo dije. La conclusión está mal:Conclusión: El primer miembro de (1) es negativo \( \neq \) al segundo miembro positivo entero o no entero .
Hay las siguientes clases de números reales:
Racionales
Irracionales
Enteros
Fraccionarios
Naturales
Enteros negativos
A todos cuantos afirman que la conjetura de Fermat es falsa para números reales, les ruego por favor que me digan y concreten a qué clase de números reales se refieren.
A todos cuantos afirman que la conjetura de Fermat es falsa para números reales, les ruego por favor que me digan y concreten a qué clase de números reales se refieren.Ya te respondí hace poco a esa pregunta en el mensaje 662
Gracias y saludos.
En el que solo hay que despejar por ejemplo la variable z:Se ignora -yo al menos lo ignoro- si Pierre de Fermat era consciente de que su conjetura es falsa para números reales. Pero, dada la categoría de Fermat como matemático, apuesto porque lo sabía.Dado arbitrariamente un valor cualquiera a \( x \) e \( y \) se obtiene \( z \), sin más que sustituir en \( z=\sqrt[ n]{x^n+y^n} \)
Hola
Perdona mi pesadez. Lo que quiero es esto:
De mi respuesta 712:
\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}}? Positivo \)
esta línea está bien; o está mal por esto y por esto.
Otra línea y etcétera.
Saludos.
Conclusión: El primer miembro de (1) es negativo \( \neq \) al segundo miembro positivo entero o no entero .
P.D. También puedes ver que para \( a=1, b=2, c^3=9, x_0=3, y_0=1,\color{red}n=1 \) se cumple la igualdad, y por tanto en ningún caso puede estar bien un argumento como el que intentabas para probar que no puede darse esa igualdad.Si te hubieras molestado en comprobar el contra-ejemplo que te puso Luis ( aunque tiene una pequeña errara, se sobreentiende que es n=3), te habrías y le habrías ahorrado a Luis mucha perdida de tiempo.
Perdona mi pesadez. Lo que quiero es esto:
De mi respuesta 712:
\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}}? Positivo \)
esta línea está bien; o está mal por esto y por esto.
Conclusión: El primer miembro de (1) es negativo \( \neq \) al segundo miembro positivo entero o no entero .
Lo que haces es tener en cuenta que:
\( \dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\dfrac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\dfrac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\dfrac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}}=
-\dfrac{1}{2y_0b^{2n-1}}\underbrace{\left(\dfrac{c^n}{2a^n}-1\right)}_U+\dfrac{1}{2x_0a^{2n-1}}\underbrace{\left(1-\dfrac{c^n}{2b^n}\right)}_W \)
Es cierto que \( U>W \), pero no puedes deducir por ello que la expresión anterior sea negativa ya que todavía \( U \) está multiplicado por \( \dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}} \) y \( V \) por \( \dfrac{1}{2x_0a^{2n-1}} \), donde \( \dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}<\dfrac{1}{2x_0a^{2n-1}} \)
En el spoiler de tu respuesta 713, \( x_0 \) debe ser negativo.
La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) la podemos presentar así:
\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n} \) (1)
Estamos ante una ecuación diofántica. Y siendo \( a^{n-1} \), \( b^{n-1} \) primos entre sí, su \( m.c.d \) es 1. Esta ecuación tiene infinitas soluciones pues \( 1\mid c^{n} \) . Por la identidad de Bèzout: \( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \) . Siendo \( b>a\rightarrow x_{0}>y_{0} \) (valores absolutos). Entonces uno de ellos ha de ser positivo y el otro negativo para que se cumpla Bèzout.
\( \frac{x_{0}=negativo; y_{0}=positivo}{a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n}} \)
Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtiene así:
\( x=\color{red}(-x_{0})\color{black}c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K=\dfrac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1}=b\rightarrow K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
Tú afirmas que también pueden ser reales. Yo te pido que cumpliendo el carácter eminéntemente didáctico de Rincon Matemático trates de explicar las ecuaciones diofánticas con números reales.
Hola Luis
Creo que no me has entendido.
Dime por favor en que respuestas de robinlambada, Carlos Ivorra o feriva se explican las ecuaciones diofánticas con números reales.
Cuando pongo en la barra Google rincón matematico y pincho en https://www.rinconmatematico.com me sale el Menú principal y al pinchar en éste Foros y en Información General: Teoría de números me sale enseguida: Ecuación diofántica lineal: \( ax+by=c \); Iniciado por Luis Fuentes.
Inicias así el hilo: Dados dos números naturales \( a,b \) si \( d=m.c.d \) \( (a,b) \) es su máximo común divisor, existen enteros \( x \), \( y \) tales que:
\( ax+by=d \). Etcétera
Pues bien, Luis, lo que no encuentro, por ningún lado, es lo mismo pero para números reales.
Saludos.
Pues bien, Luis, lo que no encuentro, por ningún lado, es lo mismo pero para números reales.Ni lo has encontrado ni lo encontrarás pues no hay casas rosas que sean azules.
Simplemente dada cualquier ecuación, por ejemplo, \( 2x^2+3y^2=1 \), uno puede plantearse:
1) ¿Tiene soluciones entre los números reales?.
2) ¿Tiene soluciones entre los números enteros?.
En el segundo caso se dice que la estamos considerando como ecuación diofántica.
Para analizar cualquiera de las dos posibilidades uno puede hacer manipulaciones que son válidas en ambos casos. Por ejemplo para la ecuación que dije:
\( 2x^2+3y^2=1 \)
equivale a:
\( 2x^2=1-3y^2 \)
equivale a:
\( x^2=\dfrac{1-3y^2}{2} \)
Como \( y^2\geq 0 \) se tiene que:
\( x^2=\dfrac{1-3y^2}{2}\leq \dfrac{1}{2} \)
Es decir tanto para si trabajamos en los reales como en los enteros, sabemos que si existe alguna solución, la variable \( x \) tiene que cumplir \( x^2\leq \dfrac{1}{2} \).
Ahora si particularizo para \( x \) entero, sabemos que el único número entero que cumple \( x^2\leq \dfrac{1}{2} \) es \( x=0 \). Pero si \( x=0 \) y \( 2x^2+3y^2=1 \) tendríamos \( 3y^2=1 \), es decir, \( y^2=1/3 \). Pero no existe ningún número entero cumpliendo \( y^2=1/3 \). Por tanto no existen soluciones en los enteros.
Entonces hemos visto que como ecuación diofántica \( 2x^2+3y^2=1 \) no tiene soluciones. En la demostración he usado algunos pasos que son válidos tanto para enteros como para reales; y al final un paso que SOLO es válido para enteros.
Por otra parte la ecuación \( 2x^2+3y^2=1 \) SI tiene soluciones en los reales. Por ejemplo \( x=1/2 \) e \( y=\sqrt{1/6} \).
Entonces si yo en la demostración de que como ecuación diofántica no tiene soluciones NO hubiese usado en algún sitio algún argumento SOLO válido para ENTEROS, sería un síntoma de que la demostración tiene algún error. El caso es que no ha sido si, y si hemos usado un paso donde es decisivo que las variables sean enteras: que el único número cumpliendo \( x^2\leq \dfrac{1}{2} \) sea el cero, es cierto para enteros pero no para reales.
Saludos.
Creo que no me has entendido.
Dime por favor en que respuestas de robinlambada, Carlos Ivorra o feriva se explican las ecuaciones diofánticas con números reales.
En cuantos libros de matemáticas que he leido, cuando tratan de las ecuaciones diofánticas, todos se refieren a enteros.
Tú afirmas que también pueden ser reales. Yo te pido que cumpliendo el carácter eminéntemente didáctico de Rincon Matemático trates de explicar las ecuaciones diofánticas con números reales.
Cuando pongo en la barra Google rincón matematico y pincho en https://www.rinconmatematico.com me sale el Menú principal y al pinchar en éste Foros y en Información General: Teoría de números me sale enseguida: Ecuación diofántica lineal: \( ax+by=c \); Iniciado por Luis Fuentes.
Inicias así el hilo: Dados dos números naturales \( a,b \) si \( d=m.c.d \) \( (a,b) \) es su máximo común divisor, existen enteros \( x \), \( y \) tales que:
\( ax+by=d \). Etcétera
Pues bien, Luis, lo que no encuentro, por ningún lado, es lo mismo pero para números reales.
Pero si realmente quieres aprender algo, no deberías de cuestionar todo lo que se te dice y pedir mil explicaciones sobre esto, aquello y lo de más alla.
Hola Feriva
Gracias por tu cuento.
Pero no veo la moraleja por ninguna parte.
Dime cual es la moraleja por favor.
Saludos.
He tardado lo suficiente en contestarte para ver si alguien comentaba algo.
Pero si consideramos la terna \( (1,2,9) \), ésta no es viable porque \( 1+2\ngtr 9 \)
En el spoiler de tu respuesta 713 me citas una terna \( (1,2,c^3=9) \) en la que te apartas por completo de los números enteros contestándome a respuestas mías en las que sabes que no me aparto nunca de los enteros.
Hola LuisNo es cuestión de probar ternas, por supuesto que debe haber ternas que cumplan tu conclusión del mensaje 712, pero basta con que una no la cumpla para que sea falsa, pero como dice Luis el contra-ejemplo es un añadido totalmente válido para demostrar que tu conclusión es errónea, pero ya te lo hizo ver antes tu error con este argumento sobre el que no dices nada.
Prueba con la terna \( (a=5,b=6,c=7) \) ; \( n=3 \)
\( x_{0}=+13 \) ; \( y_{0}=-9 \)
\( 5^{2}\cdot{}13+6^{2}(-9)=1 \)
\( K_{1}=\frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}} \) ;\( K_{2}=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
Salen dos valores de \( K \) distintos.
Sin salir de los enteros. Un millón de gracias a todos.
Saludos.
P.D. No te extrañes de que la diferencia es pequeña, pues \( 7^{3}-5^{3}-6^{3}=2 \) .
El motivo es este:Lo que haces es tener en cuenta que:
\( \dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\dfrac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\dfrac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\dfrac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}}=
-\dfrac{1}{2y_0b^{2n-1}}\underbrace{\left(\dfrac{c^n}{2a^n}-1\right)}_U+\dfrac{1}{2x_0a^{2n-1}}\underbrace{\left(1-\dfrac{c^n}{2b^n}\right)}_W \)
Es cierto que \( U>W \), pero no puedes deducir por ello que la expresión anterior sea negativa ya que todavía \( U \) está multiplicado por \( \dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}} \) y \( V \) por \( \dfrac{1}{2x_0a^{2n-1}} \), donde \( \dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}<\dfrac{1}{2x_0a^{2n-1}} \)
Simplemente dada cualquier ecuación, por ejemplo, \( 2x^2+3y^2=1 \), uno puede plantearse:
1) ¿Tiene soluciones entre los números reales?.
2) ¿Tiene soluciones entre los números enteros?.
En el segundo caso se dice que la estamos considerando como ecuación diofántica.
Para analizar cualquiera de las dos posibilidades uno puede hacer manipulaciones que son válidas en ambos casos. Por ejemplo para la ecuación que dije:
\( 2x^2+3y^2=1 \)
equivale a:
\( 2x^2=1-3y^2 \)
equivale a:
\( x^2=\dfrac{1-3y^2}{2} \)
Como \( y^2\geq 0 \) se tiene que:
\( x^2=\dfrac{1-3y^2}{2}\leq \dfrac{1}{2} \)
Es decir tanto para si trabajamos en los reales como en los enteros, sabemos que si existe alguna solución, la variable \( x \) tiene que cumplir \( x^2\leq \dfrac{1}{2} \).
Ahora si particularizo para \( x \) entero, sabemos que el único número entero que cumple \( x^2\leq \dfrac{1}{2} \) es \( x=0 \). Pero si \( x=0 \) y \( 2x^2+3y^2=1 \) tendríamos \( 3y^2=1 \), es decir, \( y^2=1/3 \). Pero no existe ningún número entero cumpliendo \( y^2=1/3 \). Por tanto no existen soluciones en los enteros.
Entonces hemos visto que como ecuación diofántica \( 2x^2+3y^2=1 \) no tiene soluciones. En la demostración he usado algunos pasos que son válidos tanto para enteros como para reales; y al final un paso que SOLO es válido para enteros.
Por otra parte la ecuación \( 2x^2+3y^2=1 \) SI tiene soluciones en los reales. Por ejemplo \( x=1/2 \) e \( y=\sqrt{1/6} \).
Entonces si yo en la demostración de que como ecuación diofántica no tiene soluciones NO hubiese usado en algún sitio algún argumento SOLO válido para ENTEROS, sería un síntoma de que la demostración tiene algún error. El caso es que no ha sido si, y si hemos usado un paso donde es decisivo que las variables sean enteras: que el único número cumpliendo \( x^2\leq \dfrac{1}{2} \) sea el cero, es cierto para enteros pero no para reales.
P.D. robinlambada te ha dicho:CitarPero si realmente quieres aprender algo, no deberías de cuestionar todo lo que se te dice y pedir mil explicaciones sobre esto, aquello y lo de más alla.
Pues aún digo más. ¡Ojalá cuestionases y pidieses explicaciones sobre lo que se te dice!. Lo más desconcertante y en parte desmoralizante para establecer un diálogo contigo y ayudarte es que NO cuestionas lo que se te dice. O repites muchas veces la misma pregunta sin la más mínima referencia a las respuestas que te dan; o de repente parece que te aburres de preguntar eso y sales por otro lado que no se sabe muy bien a que viene. Sinceramente, mi sensación es que no te detienes a analizar en detalle las respuestas que te damos.
Prueba con la terna \( (a=5,b=6,c=7) \) ; \( n=3 \)
\( x_{0}=+13 \) ; \( y_{0}=-9 \)
\( 5^{2}\cdot{}13+6^{2}(-9)=1 \)
\( K_{1}=\frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}} \) ;\( K_{2}=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
Salen dos valores de \( K \) distintos.
Sin salir de los enteros. Un millón de gracias a todos.
Si te he puesto el ejemplo de la terna \( (5,6,7) \) es porque tú, en tu respuesta 713 has puesto el ejemplo \( (1,2,\sqrt[3 ]{a}) \). Nada más que por eso.
Robinlambada, tiene toda la razón del mundo cuando dice que "No es cuestión de probar ternas".
Robinlambada, tiene toda la razón del mundo cuando dice que "No es cuestión de probar ternas".
Pienso que yo voy a comprar en una tienda pelotas de tenis de la marca "entero" y el vendedor se empeña en convencerme de que la marca "real" es mucho mejor que la marca "entero".
Yo voy a seguir con las pelotas de la marca "entero".
Hola Luis
Pienso que yo voy a comprar en una tienda pelotas de tenis de la marca "entero" y el vendedor se empeña en convencerme de que la marca "real" es mucho mejor que la marca "entero".
Yo voy a seguir con las pelotas de la marca "entero".
Teorema en spoiler (porque una imagen vale más que mil palabras, dicen)Ese ejemplo no me agrada demasiado y puede resultar confuso.Spoiler
Teorema: \( a+b
\) es igual a \( a\cdot b
\).
Demostración:
El vendedor trata de que compremos pelotas de distintas marcas, pero sólo compramos de la marca “dos”; entonces:
\( 2+2=2\cdot2
\).
Que era lo que queríamos demostrar.
Y en ese momento entra Luis en la tienda y dice:
“Pero, señora, entonces qué pasa con esto \( 3+3\neq3\cdot3
\)”
Y la señora insiste, “Luis, que te he dicho que yo sólo uso la marca “2”, que es la que me gusta, y tú me estás poniendo un ejemplo con una marca que yo no compro”.
[/sopiler][cerrar]
¿Alguien puede seguir estos pasos para una terna con reales?
En cuanto a la terna \( (1,2\sqrt[3]{a}) \) para \( n=3 \) , estamos en el caso \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \) pero para \( n=3 \) : \( 1^{3}+2^{3}=(\sqrt[3]{a)^{3}} \) entonces para \( n>3 \) :\( 1^{n}+2^{n}<9^{n} \)
Proponedme una terna de reales en la que se pueda seguir todo el camino que he seguido para la terna \( (5,6,7) \) : Calculando el valor de \( n \) y calculando la identidad de Bèzout. Yo creo que es imposible.
P.D. También puedes ver que para \( a=1, b=2, c^3=9, x_0=3, y_0=1,\color{red}n=3\color{black} \) se cumple la igualdad, y por tanto en ningún caso puede estar bien un argumento como el que intentabas para probar que no puede darse esa igualdad.
HolaTeorema en spoiler (porque una imagen vale más que mil palabras, dicen)Ese ejemplo no me agrada demasiado y puede resultar confuso.Spoiler
Teorema: \( a+b
\) es igual a \( a\cdot b
\).
Demostración:
El vendedor trata de que compremos pelotas de distintas marcas, pero sólo compramos de la marca “dos”; entonces:
\( 2+2=2\cdot2
\).
Que era lo que queríamos demostrar.
Y en ese momento entra Luis en la tienda y dice:
“Pero, señora, entonces qué pasa con esto \( 3+3\neq3\cdot3
\)”
Y la señora insiste, “Luis, que te he dicho que yo sólo uso la marca “2”, que es la que me gusta, y tú me estás poniendo un ejemplo con una marca que yo no compro”.
[/sopiler][cerrar]Spoilerminette se queja de que, pretendiendo probar algo para enteros yo le ponga un contraejemplo para reales. Su marca es "entero" y la marca que se sale de ahí son "reales".
Pero en tu ejemplo, confrontas la propiedad para el número \( 2 \) con la propiedad para número \( 3 \). Pareciera que el \( 2 \) juega el papel de los enteros y el \( 3 \) de los reales. Pero si realmente quisiese probar el Teorema que enuncias sólo para el conjunto de números \( \{2\} \), la prueba que escribes sería correcta y el contraejemplo del \( 3 \) no vendría a cuento.
Creo que simplemente quería decir que para probar un teorema no vale con dar un ejemplo concreto donde se cumple. Pero pretendiendo unirlo con la metáfora de las "marcas" creo que has liado más la madeja.
El problema de minette, es que aún intentando probar un teorema para enteros, por en medio usa (y lo hace mal) argumentos generales de números enteros y reales; mi contraejemplo es a esos argumentos, no al teorema que pretende probar.
La metáfora de Carlos, por el contrario es muy atinada.[cerrar]
Saludos.
supongamos que \( a+b= a \cdot{b} \)
\( \displaystyle\frac{a}{a}+\displaystyle\frac{b}{a}=b \) ; \( 1+\displaystyle\frac{b}{a}=b \)
\( 1=b-\displaystyle\frac{b}{a} \) ; \( \displaystyle\frac{b}{b}=b-\displaystyle\frac{b}{a} \)
\( b=b^2-\displaystyle\frac{b^2}{a} \) ; \( b=\displaystyle\frac{b^2a}{a}-\displaystyle\frac{b^2}{a} \)
\( b=\displaystyle\frac{b^2(a-1)}{a} \) ; \( 1=\displaystyle\frac{b(a-1)}{a} \)
entonces \( b(a-1)=a \)
sólo si \( b=a \) ; \( a(a-1)=a \)
\( a-1=1 \) ; \( a=2 \) ; \( b=2 \)
supongamos que \( a+b= a \cdot{b} \)
\( \displaystyle\frac{a}{a}+\displaystyle\frac{b}{a}=b \) ; \( 1+\displaystyle\frac{b}{a}=b \)
\( 1=b-\displaystyle\frac{b}{a} \) ; \( \displaystyle\frac{b}{b}=b-\displaystyle\frac{b}{a} \)
\( b=b^2-\displaystyle\frac{b^2}{a} \) ; \( b=\displaystyle\frac{b^2a}{a}-\displaystyle\frac{b^2}{a} \)
\( b=\displaystyle\frac{b^2(a-1)}{a} \) ; \( 1=\displaystyle\frac{b(a-1)}{a} \)
entonces \( b(a-1)=a \)
¿Alguien puede decir qué clase de números reales se admitían cuando vivía Fermat y formuló su famosa conjetura?
Saludos.
Cuando llego al tercer caso, cuando \( a^2+b^2>c^2 \) se me advierte de que mis razonamientos no son válidos porque aunque demuestre la desigualdad \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \) para tres enteros positivos, resulta, así lo afirman, que pueden elegir tres números reales cualesquiera en los que se produce la igualdad.
Hola
En mi anterior respuesta 753 me limitaba a preguntar:
¿Alguien puede decir qué clase de números reales se admitían cuando vivía Fermat y formuló su famosa conjetura?
Saludos.
En mi anterior respuesta 753 me limitaba a preguntar:
¿Alguien puede decir qué clase de números reales se admitían cuando vivía Fermat y formuló su famosa conjetura?