[luis]

Si admites que \( 0.\widehat{3}=\dfrac13 \), que \(  0.\widehat{9}=1 \) y que \( 3\cdot\dfrac13=1 \), entonces tienes que admitir que \( 3 \cdot  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9} \), por los resultados básicos sobre sustitución de términos idénticos. La lógica no entiende de armonía.

El problema es que usas el mismo signo para dos cosas que yo distingo. La duda original es acerca de las representaciones de naturales, no acerca de los naturales. Y en ese sentido, usando dos notaciones diferentes para representar el algoritmo del producto para dos representaciones distintas, cae la sustitución de términos idénticos. Es  decir...

admito que \( 0.\widehat{3}=\dfrac13 \), y que \(  0.\widehat{9}=1 \), por una suerte de equivalencia entre representaciones; y que \( 3\cdot\dfrac13=1 \) por un algoritmo del producto en la representación de los racionales como fracciones... pero \( 3 \times  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9} \), donde \( \times \) (que no es \( \cdot \)) me habla de un algoritmo del producto en la representación de los racionales como tiras (eventualmente infinitas) de dígitos. Desconozco este último algoritmo.

Creo que la pregunta se centra en la representación, y por lo tanto en el algoritmo sobre esa representación. Me parece que si lo que se escribe al poner \( 3 \times  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9} \) es... "traduzca a fracciones, y ahí haga el producto anterior", no se aclara la duda original.

saludos

luis

[Raúl Aparicio Bustillo]

Son iguales. Eso lo que hace es poner de relieve que la definición de número real requiere una formalización más allá de un número con infinitos decimales que no se repiten , pero la hay. Ten en cuenta 1-0,999999.........=0,000000..............1, pero, ¿cuál es el último decimal? No tiene sentido, no hay final en las posiciones que se cuentan con los naturales, y si nos extendemos a numeros transfinitos ya no tiene ninguna conexión puesto que hay números que no tienen un anterior inmediato. Es una opinión personal mía, pero ahí es donde (entre otros) se ve la necesidad de una formalización de la matemática.

[Carlos Ivorra]

admito que \( 0.\widehat{3}=\dfrac13 \), y que \(  0.\widehat{9}=1 \), por una suerte de equivalencia entre representaciones; y que \( 3\cdot\dfrac13=1 \) por un algoritmo del producto en la representación de los racionales como fracciones... pero \( 3 \times  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9} \), donde \( \times \) (que no es \( \cdot \)) me habla de un algoritmo del producto en la representación de los racionales como tiras (eventualmente infinitas) de dígitos. Desconozco este último algoritmo.

Pero es que las igualdades no tienen historia. Cuando dos expresiones representan lo mismo, no puedes decir "este igual es de esta clase" y "este otro igual es de otra clase". Todos los iguales son iguales. Una igualdad no te habla de ningún algoritmo en absoluto.

Por otro lado, tendrías que precisar mucho el concepto de algoritmo para dar sentido a la objeción que planteas. El algoritmo que desconoces es: "transforma los números en fracciones y luego multiplícalos". ¿Tienes algún criterio objetivo para no considerar a eso un algoritmo?

Cuando consideras la igualdad \( \sen\dfrac \pi3=\dfrac{\sqrt 2}2 \) ¿a qué algoritmo la vinculas?

[luis]

El algoritmo que desconoces es: "transforma los números en fracciones y luego multiplícalos". ¿Tienes algún criterio objetivo para no considerar a eso un algoritmo?

Lo considero un algoritmo. Pero entonces, tomando la explicación dada antes

\(  1 = \frac{3}{3} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9}    \)

me resulta que es circular. Creo que JuanPablo Intenta justificar que \( 1 = 0.\widehat{9} \) armando la siguiente secuencia de ecuaciones:

\( 1 = \frac{3}{3} \), por ser fracciones

\( \frac{3}{3} = 3 \cdot \frac{1}{3} \), por saber multiplicar fracciones

\( 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot  0.\widehat{3} \), por saber relacionar fracciones y decimales

\( 3 \cdot  0.\widehat{3} = 3 \cdot  \frac1{3} \), aplicando el algoritmo que sugieres

\( 3 \cdot \frac{1}{3} = 0.\widehat{9} \), ¿por saber multiplicar fracciones?

La explicación funciona si ya se que 1 y \( 0.\bar9 \) representan el mismo racional, la que justamente era la duda inicial.

saludos

luis

ps. me tengo que ir a votar. volveré. me interesa afinar esto

[Carlos Ivorra]

Lo considero un algoritmo. Pero entonces, tomando la explicación dada antes

\(  1 = \frac{3}{3} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9}    \)

me resulta que es circular. Creo que JuanPablo Intenta justificar que \( 1 = 0.\widehat{9} \) afirmando que...

El argumento de JuanPablo es lógicamente impecable, y en particular no es circular. Pero tú has omitido una de sus líneas, en la que demuestra que \( 0.\widehat 3=\dfrac13 \) sumando la serie geométrica. La línea que en tu versión de su algoritmo explicas como "el algoritmo que sugieres" es en realidad la línea que has omitido del argumento de JuanPablo seguida de la regla lógica de sustitución de términos idénticos.

Desde tu planteamiento, tendrías que afirmar que esto:

\( \forall xyab(x=3y\land x=a \land y=b\rightarrow a=3b) \)

no es un teorema lógico, porque falla cuando \( x=1 \), \( y=1/3 \), \( a=0.\widehat 9 \), \( b=0.\widehat 3 \). Pero seguro que si vieras la sentencia anterior en cualquier otro contexto admitirías que es un teorema lógico.

[luis]

Pero tú has omitido una de sus líneas, ...

Tienes razón, me encerré en un fragmento. A la vuelta me fijo con más detalle, pero parece que me encapriché.

saludos

luis

(agrego... seguramente no presté adecuada atención esa última línea del correo de juan pablo, que era en realidad la relevante. saludos y gracias.)

[elcristo]

¿Esto también valdría?

Supongamos que son distintos.
\( 0.\hat{9} \) es un número racional, \( 1 \) es un número racional, luego existe un número racional tal que si le sumamos a \( 0.\hat{9} \) nos de 1.
Ese número tiene que ser menor que 0.1, porque sino la suma es mayor que 1. También menor que 0.01. Si seguimos así, resulta que llegamos a que el número tiene la forma \( 0.00\ldots0001 \), que no es un número racional. Luego \( 0.\hat{9} \) y \( 1 \) tienen que ser iguales.

[Juan Pablo Sancho]

A Cada paso te garantiza un cero más, creo que el número tendría la forma \(  0.\widehat{0}  \)

Tienes que ese \(  \delta = 1-0.\widehat{9}  \) es menor que \(  0.1  \) y que \( 0.01  \) así que lo estás montando dígito a dígito.

Otra forma usando tu método:

\( \displaystyle 1-0.\widehat{9} < 1 - \sum_{i=1}^n \frac{9}{10^i} = \frac{1}{10^n} < \frac{1}{n}  \) entonces \(  1-0.\widehat{9} = 0  \) directamente por límites.

Por reducción al absurdo:

Sea \( \displaystyle 0 \neq  \alpha = 1-0.\widehat{9} < 1 - \sum_{i=1}^n \frac{9}{10^i} = \frac{1}{10^n} < \frac{1}{n}  \) entonces \(  \mathbb{N}  \) acotada por \(  \dfrac{1}{\alpha}  \), absurdo.


\( \color{red} Editado\; 2  \).

\( \displaystyle 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^n \frac{9}{10^i}  = \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{9}{10^i} = 0.\widehat{9}  \)

\( \displaystyle  \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{9}{10^i} = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} =  1  \), como advirtió Tanius.


\(  \color{red} Editado\;3 \)

\(  x = 0.\widehat{9}  \)
\(  10 \cdot x = 9.\widehat{9}  \)

Queda:

\(  10\cdot x -  x = 9  \)

\(  9 \cdot x = 9  \)

\(  x = 1  \)

Una nota:

\(  \displaystyle 0.\widehat{3} = \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{3}{10^i} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i}  \)

\(  \displaystyle 3 \cdot 0.\widehat{3} = 3 \cdot \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{3}{10^i} = 3 \cdot \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i} =  \)

\(  \displaystyle =  \lim_{n \to +\infty}  3 \cdot \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i} = \lim_{n \to +\infty}   \sum_{i=1}^n \frac{9}{10^i} = 0.\widehat{9}  \)