Se puede demostrar a partir de un caso base, por ejemplo tomando \( n = 1 \):
\[ (1-1)^3 < \frac{1^4}{4} < 1^3 \checkmark \]
Ahora podemos demostrar las desigualdades por separado, para todo \[ n \geq{1} \]. Suponiendo que se cumple la primera para \( n \), demostramos que se cumple para \( n + 1 \);
\[ 1^3 + 2^3 + ... + (n - 1)^3 + n^3 < \displaystyle\frac{n^4}{4} + n^3 \]
O sea que hay que demostrar que:
\[ \displaystyle\frac{n^4}{4} + n^3 < \displaystyle\frac{(n+1)^4}{4} \]
Operando un poco;
\[ \displaystyle\frac{n^4}{4} + n^3 < \displaystyle\frac{(n+1)^4}{4} \Rightarrow n^4+4n^3 < (n + 1)^4\Rightarrow{} \]
\[ n^4+4n^3 < n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 \Rightarrow{} \]
\[ 0 < 6n^2 + 4n + 1 \checkmark \]
Hacemos ahora lo propio con la segunda desigualdad:
\[ 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 > \displaystyle\frac{n^4}{4} + (n+1)^3 \]
O sea que hay que demostrar que:
\[ \displaystyle\frac{n^4}{4} + (n+1)^3 > \displaystyle\frac{(n+1)^4}{4} \]
Operando..
\[ \displaystyle\frac{n^4}{4} + (n+1)^3 > \displaystyle\frac{(n+1)^4}{4} \Rightarrow{} \]
\[ n^4 + 4(n+1)^3 > (n + 1)^4\Rightarrow{} \]
\[ n^4 + 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4 > n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1\Rightarrow{} \]
\[ 12n^2+12n+4>6n^2+4n+1\Rightarrow{} \]
\[ 6n^2+8n+3 > 0 \checkmark \]
Con lo que hemos demostrado que ambas desigualdades se cumplen para todo \[ n \geq{1} \]. Si no me he liado con nada.
Saludos.
