[adrifrigi]

Este problema de inducción me propone demostrar la siguiente formula:

\( 1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2 \)

y asumiendo que A(k) es cierta debemos demostrar \( A(k+1) \)

\( 1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=(1+2+3+...+k+(k+1))^2 \)

Y aquí me quede no se como demostrar que \( A(k+1) \) es cierto , pero he pensado que no lo es ya que

\( (1+2+3+...+n)^2+(k+1)^3\neq(1+2+3+...+k+(k+1))^2 \)

Por favor ayudadme con este problema.
Muchas gracias.
Un saludo.
Mensaje corregido desde la administración.

[feriva]

Este problema de inducción me propone demostrar la siguiente formula:

1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2

y asumiendo que A(k) es cierta debemos demostrar A(k+1)

1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=(1+2+3+...+k+(k+1))^2

Y aquí me quede no se como demostrar que A(k+1) es cierto , pero he pensado que no lo es ya que
(1+2+3+...+n)^2+(k+1)^3/neq(1+2+3+...+k+(k+1))^2

Por favor ayudadme con este problema.
Muchas gracias.
Un saludo.

Hola, muchas gracias por tu confianza, pero publica mejor siempre así, público, así como ahora

Pon la expresión en WolframAlpha (un programa on line muy util) con un doble signo igual; lo que hace con esto es detectar si una igualdad es cierta o falsa; puedes pinhcar en este enlace y verlo directamente, porque te lleva a donde yo se la he puesto:

https://www.wolframalpha.com/input?i=1%C2%B3%2B2%C2%B3%2B3%C2%B3%2B...%2Bn%C2%B3%3D%3D%281%2B2%2B3%2B...%2Bn%29%C2%B2&lang=es

Y dice que es cierta...
Te doy una pisita:
Fíjate en que la expresión de la derecha está entre paréntesis y éste está elevado al cuadrado; toda la suma está elavada al cuadrado.

¿Cuánto vale la suma 1+2+3...n? Pues es la progresión aritmética ( que es la que había que demostrar en el ejercicio que te expliqué) y tiene esta la fórmula \( suma=\dfrac{n(n+1)}{2} \).

Entonces, lo del lado derecho es \( (\dfrac{n(n+1)}{2})^{2}=\dfrac{n^{2}(n^{2}+2n+1)}{4}=\dfrac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4} \).

A ver si con eso puedes.
Si no puedes, lo dices y ya te explicamos.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Y aquí me quede no se como demostrar que \( A(k+1) \) es cierto , pero he pensado que no lo es ya que

\( (1+2+3+...+n)^2+(k+1)^3\neq(1+2+3+...+k+(k+1))^2 \)

Sería:

\( (1+2+3+...+\color{red}k\color{black})^2+(k+1)^3=(1+2+3+...+k+(k+1))^2 \)

Fíjate que:

\( ((1+2+3+\ldots+k)+(k+1))^2=(1+2+3+\ldots+k)^2+(k+1)^2+2(1+2+\ldots+k)(k+1) \)

y

\( (k+1)^2+2(1+2+\ldots+k)(k+1)=(k+1)^2+k(k+1)^2=(k+1)(k+1)^2=(k+1)^3 \)

Saludos.