Solo un apunte, porque al menos a mi el enunciado me ha confundido: toda superfície compacta que sea subvariedad riemanniana de \( \Bbb R^3 \). Lo digo porque, por ejemplo, un doble toro (que es superfície compacta) admite métricas con curvatura constante \( -1 \). Lo que sucede es que no hay manera de embeber isométricamente esa superfície en \( \Bbb R^3 \), como prueba el argumento del hilo que enlaza Luis.

Por lo mismo, es imposible demostrar esto usando Gauss-Bonnet, que solo depende de propiedades intrínsecas de la superficie.

Es un tema un tanto off-topic, pero por alusiones contesto.

Pues, sin saber absolutamente nada del tema (con lo que igual estoy completamente equivocado), pero por el nombre del lenguaje y una búsqueda rápida en Wikipedia parece estar basado en el cálculo lambda. Lo que ya no sé es si este está directamente relacionado con la teoría de categorías

Haskell es, grosso modo, la implementación de un cálculo lambda tipado, es decir, una teoría de tipos. Las teorías de tipos y la teoría de categorías están muy estrechamente ligadas. La idea es que ciertos tipos de categorías proporcionan modelos de las teorías de tipos y por tanto la teoría de categorías es la contrapartida semántica de las teorías de tipos, que son puramente sintácticas.

Esto es muy claro en el caso de Haskell o de otros lenguajes de programación funcional, donde tienes unos tipos básicos (del estilo entero, número de coma flotante, etc) y todo lo demás son funciones entre tipos. Puedes interpretar cada tipo básico como un objeto en una categoría y cada función entre tipos como un morfismo en la categoría. Y todas las construcciones que puedes hacer en Haskell con los tipos (productos de tipos, uniones de tipos, etc) corresponden a la correspondiente operación categorial (producto de objetos, coproductor de objetos, etc).

Además, en Haskell tienes construcciones "de orden superior" como funtores o mónadas, que no son más que la traducción al lenguaje de programación de los correspondientes conceptos categoriales. Por poner un ejemplo, si denotamos por \( Hask \) a la categoría que representa al lenguaje (cuyos objetos corresponden con los tipos que puedes definir en Haskell), un functor tal como se define e implementa en Haskell no es más que un endofuntor \( Hask\to Hask \) de los de toda la vida de teoría de categorías.

Vuelvo una vez más a este hilo pues quiero escribir la segunda parte "formalmente".
El modelo que utilizare para \( \mathbb{PR}^2 \) es \( \mathbb{D}^2 \) con sus puntos antipodales del borde identificados.

Mi idea era considerar \( CS^1 \sqcup S^1 \) que podemos identificar con \( \mathbb{D}^2\sqcup S^1 \) y luego definir el mapa \( f: \mathbb{D}^2\sqcup S^1 \to \mathbb{PR}^2 \) que sería simplemente la proyección en cada parte de la unión disjunta. El problema es que aquí estoy identificando puntos de más, ¿no?

¿Alguien me podría ayudar a encontrar la función correcta?

Normal que no encuentres la función correcta porque metí la pata. El cono de \( f \) no es un plano proyectivo sino un disco. Ahora sí, tomas:
\( p:D^2 \sqcup S^1 \to D^2 \)
de manera que es la identidad en el primer factor y en el segundo \( p(x)=-x \). Esto desciende a una aplicación continua biyectiva \( \tilde{p}:Cf \to D^2 \), y como el espacio de salida es compacto y el de llegada Hausdorff es un homeomorfismo.

PD: un tanto offtopic pero por curiosidad, ¿qué pasó al final con aquel seminario de categorías/topos?

Buenas noches,

Tengo una lista de las siguientes implicaciones:

Convexo \( \Rightarrow{} \) estrellado \( \Rightarrow{} \) contráctil \( \Rightarrow{} \) conexo por arcos \( \Rightarrow{} \) conexo

Me gustaría probar que si \( X \subset \Bbb R^n \) es estrellado entonces es contráctil, y que todo espacio contráctil es conexo por arcos.

Las definiciones y propiedades que tengo en mis apuntes de teoría son las siguientes:
(1) Se dice que un espacio \( X \) es contráctil si tiene el tipo de homotopía de un punto, por tanto \( X \) es contráctil si y solo si la aplicación constante \( ct_{\ast}: X \to \{ \ast \} \) es una equivalencia de homotopía, siendo \( \{ \ast \} \) un espacio que consta de un solo punto.
(2) Un subconjunto \( X \subset \Bbb R^n \) es estrellado si \( \exists x_0 \in X \) tal que \( \forall y \in X \), el segmento \( S = \{ tx_0 + (1-t)y \mid t \in [0,1] \} \) está contenido en \( X \).
(3) \( X \) es contráctil si y solo si \( \exists x_0 \in X \) tal que las aplicaciones \( id_X, ct_{{x}_0} : X \to X \) son homotópicas.

Para probar que estrellado implica contráctil, tenemos (2) como hipótesis, luego dado ese \( x_0 \in X \) había pensado definir \( F: X \times [0,1] \to X \) dada por \( F(y,t) = (1-t)id_X(y) + tct_{{x}_0}(y) \), que es continua ya que \( id_X \) y \( ct_{{x}_0} \) lo son, y ver que es homotopía (diría que \( F \) que está bien definida pues por hipótesis esa imagen se queda dentro de \( X \) pero corregidme si me equivoco). Para todo \( y \in Y \) tendríamos que \( F(y,0) = id_X(y) = y \), \( F(y,1) = ct_{{x}_0}(y) = x_0 \), con ver eso tendríamos ya que \( F \) es homotopía, ¿no? Luego \( id_X, ct_{{x}_0} : X \to X \) son homotópicas y por (3) tendríamos que el subconjunto \( X \) es contráctil, no?

Sí, está bien.

Para probar que contráctil implica conexo por arcos, no tengo muy claro qué razonamiento seguir, ya que tendría que ver que dado \( y \in X \) cualquiera, \( \forall x \in X \) existe un arco que va de \( x \) a \( y \). Entiendo que para lo del arco tendré que encontrar una homotopía, mi idea es ver que para cada \( x \in X \), el arco que una a \( x = id_X (x) \) e \( y = ct_y(x) \) sea \( F_x: [0,1] \to X \) dada por \( F_x(t) = F(x,t) \). Pero no lo sé porque para llegar a eso tengo que partir de que \( X \) es contráctil, es decir la aplicación constante \( ct_{\ast}: X \to \{ \ast \} \) tiene una equivalencia de homotopía, lo que implica que existe una \( g:\{ \ast \} \to X \) continua tal que \( g \circ ct_{\ast} \sim id_X \). Y de ahí debería pasar a que \( id_X \sim ct_y(x) \) para ver lo de arriba, es decir, encontrar una \( g \) tal que \( g \circ ct_{\ast} = ct_y \). Pero la \( y \) es arbitraria, así que aunque esté fija esa aplicación iría variando para cada \( y \), ¿no?. Me estoy liando un poco, no sé cómo juntar todo eso y que salga una demostración coherente.

La idea está bien, pero hay que fijar un punto. Es decir, por ser \( X \) contráctil tienes que \( id_X \) es homótopa a \( ct_{x_0} \) para algún punto \( x_0\in X \) (esto es tu propiedad (3)). Sí \( F:X\times I \to X \) es una homotopía, para cada \( x\in X \) tienes que \( F_x:I\to X \) definida por \( F_x(t):=F(x,t) \) es un camino que une \( x \) con \( x_0 \).
Ahora si tienes dos puntos distintos \( x,y \in X \) sabemos que hay un camino \( \gamma \) que une \( x \) con \( x_0 \) y otro \( \gamma' \) que une \( y \) con \( x_0 \). Pero entonces \( \gamma \gamma'^{-1} \) (la concatenación de \( \gamma \) con \( \gamma' \) recorrido en sentido contrario, es decir, de \( x_0 \) a \( y \)) es un camino que une \( x \) con \( y \).

El espacio que te dan es como la recta con dos orígenes, pero con un círculo en vez de con una recta. Para calcular el grupo fundamental puedes usar Seifert-Van Kampen. Toma dos abiertos \( U,V \) donde \( U=s \setminus \{[1,1]\} \) y \( V=s \setminus \{[1,-1]\} \). Es decir, cada uno es todo el espacio menos uno de los dos puntos especiales. Por tanto, tanto \( U \) como \( V \) son homeomorfos a un círculo, y tienen grupo fundamental \( \Bbb Z \). Además, su intersección \( U \cap V \) es homeomorfa a un círculo menos un punto, que es homeomorfo a un intervalo abierto y es contráctil, por lo que su grupo fundamental es trivial. Por Seifert-Van Kampen, te acaba quedando que \( \pi_1(s, [-1]) \cong \Bbb Z * \Bbb Z \), el producto libre de dos \( \Bbb Z \).

Ahora puedes pensar la segunda parte. ¿Qué espacio conoces con grupo fundamental  \( \Bbb Z * \Bbb Z \)? ¿Puedes demostrar que ese espacio no es homotópicamente equivalente al que te dan? Fíjate que como ambos tienen grupo fundamental no trivial no te basta con ver que uno es contráctil y el otro no (ninguno lo es). Te dejo que lo pienses y si no te sale dilo.

Si \( X \) es finito y \( f:X \to Y \) es exhaustiva, entonces \( Y \) es finito.

Pues depende del autor o de la convención que consideres. Si tomas la definición estricta que dice Masacroso, es conexo. Si tomas alguna variante de la definición, como por ejemplo "\( X \) es conexo si para todo par de abiertos \( A, B \) con \( X=A \cup B \) y \( \emptyset = A \cap B \) entonces exactamente uno de los conjuntos \( A,B \) es vacío", entonces el vacío no es conexo.

Yo diría que la convención más extendida en cursos de topología general es tomar la definición que te ha dado Masacroso y considerarlo conexo. Pero en algunos contextos conviene considerarlo como no conexo. Además, si consideras el vacío conexo tienes el problema de que, estrictamente hablando, no hay unicidad en la descomposición de un espacio topológico como unión de sus componentes conexas.

En realidad considerar el vacío conexo o no es un problema parecido a considerar el \( 1 \) primo o no. Fíjate que si lo consideráramos primo, estrictamente hablando tampoco habría unicidad en la factorización de un número natural como producto de primos. Esto es un fenómeno que ocurre con más propiedades, y es un ejemplo de lo que se llama "too simple to be simple".

Como se te ocurre la idea de transformar \( cos^2(t) \) en \( \dfrac{1}{1+tan^2(t)} \) ?

Si no te parece evidente o crees que no se te hubiera ocurrido ese paso, también se puede proceder de la siguiente forma:
\[ y=2a\cos^2(t) = 2a\frac{x^2}{r^2} \]
Y ahora usando que \( r^2=x^2+y^2 \):
\[ y = 2a\frac{x^2}{x^2+y^2} = 2a\frac{1}{1+(y/x)^2} \]

Que una variedad diferenciable sea orientable es pedir que exista un atlas orientado, es decir, que exista un conjunto de cartas locales de la estructura diferenciable que cubran la variedad de manera que las funciones de transición sean difeomorfismos (entre abiertos de \( \Bbb R^n \) estándar) que preservan la orientación, es decir, que tienen determinante jacobiano positivo. Esto tiene sentido para cualquier variedad diferenciable, sea un \( \Bbb R^4 \) exotico o no.

No entiendo qué quiere decir que no hay definición diferenciable que alcance a la topológica. Pero el teorema que mencionaba vale siempre, para absolutamente cualquier variedad diferenciable.

Lo decía porque tales variedades con métrica de Lorentz a menudo además de temporalmente orientables, lo son también espacialmente en el resto de dimensiones y si la variedad es simplemente conexa y no compacta, la orientabilidad a la vez espacial y temporal coincide con la topológica de tal manera que una variedad diferenciable admitiendo tal métrica es por un lado orientable como variedad topológica y también como variedad diferenciable según la métrica lorentziana que en el caso plano Minkowskiano será tanto homeomorfa como difeomorfa a \( \mathbb{R^4} \).

Con esto estoy de acuerdo, y se puede resumir en lo siguiente. Cualquier variedad diferenciable homeomorfa a \( \Bbb R^4 \) es orientable, y además cualquier variedad lorentziana homeomorfa a \( \Bbb R^4 \) es orientable tanto temporalmente como espacialmente.

Se me pasó comentar esto. Primero que por supuesto tomada como variedad topologica si es homeomorfa a  \( \Bbb R^4 \)  será orientable se le ponga la estructura diferenciable que se le ponga. Pero yo hablo de orientabilidad definida diferencialmente. Hay  \( \Bbb R^4 \) exóticos, los llamados "large exotic  \( \Bbb R^4 \) ", que no tienen smooth embedding  en  \( \Bbb R^4 \), y dado que no habría difeomorfismo entre las distintas posibles cartas coordenadas diferenciables(cada una tendría una estructura diferenciable no difeomorfa a las demás) no veo que en este sentido se pudiera obtener una definición diferenciable única para toda la variedad. Es decir no es la misma situación que la esfera en este sentido,  en esta última todas las cartas lo son de una estructura diferenciable única.

Pero es que no hay dos conceptos distintos de orientabilidad, solamente hay uno. Si una variedad diferenciable es orientable "topológicamente" también lo es "diferenciablemente" y viceversa. Todo \( \Bbb R^4 \) exótico o no es orientable, y puedes probar que lo es con la definición que quieras, topológica o diferenciable, porque corresponden exactamente al mismo concepto. Vamos, que una variedad diferenciable cumple la definición de orientabilidad topológica si y sólo si cumple la definición de orientabilidad diferenciable.

Lo de los \( \Bbb R^4 \) exóticos grandes es que no admiten un embedding (global) en el \( \Bbb R^4 \) estándar. Pero las cartas de su atlas son difeomorfas a (abiertos de, si quieres) \( \Bbb R^4 \) estándar, al igual que cualquier otra variedad diferenciable. Que no exista un embedding global en \( \Bbb R^4 \) estándar lo único que te dice es que no lo puedes verlo como una subvariedad de \( \Bbb R^4 \) estándar, pero eso no tiene nada que ver con cómo son las cartas coordenadas del \( \Bbb R^4 \) exótico, que como he dicho son todas difeomorfas a abiertos de \( \Bbb R^4 \) estándar. Y tampoco tiene ninguna implicación sobre la orientabilidad de la variedad.