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Temas - raistlin

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- Otros - / Calcular la velocidad del tiempo
« en: 06 Abril, 2021, 05:52 pm »
Hola, buenos días,

¿Existe algún truco matemático para calcular la velocidad del tiempo?
 
Es obvio que dt/dt no tiene mucho sentido.

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Trigonometría y Geometría Analítica / Trocear una esfera
« en: 17 Enero, 2021, 10:31 pm »
Hola, buenos dias,

Tengo un problema y me gustaría saber si la solución obtenida es correcta:

Una esfera sólida se trocea en varias esferas huecas de espesor dr cada una con la misma densidad de masa que las demás y luego se vuelve a trocear longitudinalmente en circulos de espesor dx (cilindros). Calcular la masa de cada cilindro.

Lo que he hecho ha sido:

1- Calcular el volumen de la esfera, pero con 2 integrales, como el radio de la esfera es \( r^2 = x^2 + y^2 + z^2 \) y el radio del circulo es \( r_c^2 = y^2 + z^2 \) puedo poner el radio de la esfera como \( r^2 = x^2 + r_c^2 \) y hacer:

\( Vol = 16\displaystyle\int_{0}^{r}\displaystyle\int_{0}^{r}\sqrt[ ]{r^2-x^2} dx dr = 4\displaystyle\int_{0}^{r}(4\displaystyle\int_{\pi/2}^{0}-r^2 sen^2\theta d\theta) dr \)

Ya que \( x = r cos\theta \) y \( dx = -r sen\theta d\theta \)

La integral interior me da la superficie del circulo y luego con la integral exterior me da el volumen de la esfera, asi que diría que voy bien..

2- Ahora cambio otra vez a dx, y me queda:

\( 4\displaystyle\int_{0}^{r}(4\displaystyle\int_{0}^{r}r sen\theta dr) dx \)

Dividiendo la masa por el volumen y luego multiplicando por los diferenciales obtenidos creo que tendria la masa de cada esfera hueca:

\( dM_1 = \displaystyle\frac{3}{4 \pi r^3}M (16 r sen\theta dr dx) \)

3- Ahora cambio a dy para resolver solo una integral y que me quede en función de dx (\( y = r sen \theta \), \( dr = \displaystyle\frac{1}{sen \theta}dy \))

\( dM_2 = \displaystyle\frac{3}{4 \pi r^3}M (4\displaystyle\int_{0}^{r}(4\displaystyle\int_{0}^{r sen\theta}\displaystyle\frac{y}{ sen\theta} dy) dx) \)

\( dM_2 = \displaystyle\frac{3}{4 \pi r^3}M (16\displaystyle\int_{0}^{r}(\displaystyle\frac{r^2}{2}sen \theta) dx) \)

4- Y me queda:

\( dM_2 = \displaystyle\frac{6}{ \pi r}Msen \theta dx \)

¿Es correcto el resultado?





3
Hola a todos,

He encontrado que el gradiente en un campo eléctrico esférico se puede aproximar de su forma común:

\( \nabla\cdot{}A = \frac{1}{r^2} \frac{{\partial (r^2 A_r)}}{{\partial r}}+\frac{1}{r \sin \theta}\frac{{\partial (A_\theta \sin \theta)}}{{\partial \theta}}+\frac{1}{r \sin \theta}\frac{{\partial A_\phi}}{{\partial \phi}} \)

a:

\( \triangledown{}\cdot{} \vec{A} = \frac{{\partial A_r}}{{\partial r}} \)

(http://www.upv.es/antenas/Documentos_PDF/Notas_clase/Fundamentos_radiacion.pdf) (pag. 15)

¿Alguien me podría explicar cómo se llega a esa aproximación?

Gracias y saludos

4
Hola, buenos dias.

Un desplazamiento infinitesimal en 3 dimensiones se representa como:

\( dr = \displaystyle\frac{dr}{du} du + \displaystyle\frac{dr}{dv} dv + \displaystyle\frac{dr}{dw} dw \)

Con lo que, ese desplazamiento, lo podemos representar como un vector:

\( d\vec{r} = e_u du + e_v dv+ e_w dw \)

O como un gradiente:

\( \triangledown{r} = \displaystyle\frac{dr}{du} e^u + \displaystyle\frac{dr}{dv} e^v + \displaystyle\frac{dr}{dw} e^w \)

Sin embargo, en casi todo los sitios, el gradiente se representa usando vectores de base unitarios y factores de escala (\( \hat{e_u} = \displaystyle\frac{e_u}{h_u} \)) como:

\( \triangledown{r} =\displaystyle\frac{1}{h_u} \displaystyle\frac{dr}{du} \hat{e_u} + \displaystyle\frac{1}{h_v} \displaystyle\frac{dr}{dv} \hat{e_v} + \displaystyle\frac{1}{h_w} \displaystyle\frac{dr}{dw} \hat{e_w} \)

¿Podemos deducir entonces que \( \displaystyle\frac{1}{h_u} \hat{e_u} = e^u \)?

¿Como se escribiria el rotacional (\( \triangledown{}\times{}\vec{A} \)) con los vectores \( e^u \)?

Gracias y saludos

5
Hola,

Si la velocidad al cuadrado en coordenadas Euclídeas pasa a cualquier superficie como:

\( v^2=g_{ab}dx^adx^b \)

¿Como pasaria la inversa de esa velocidad al cuadrado de Euclídeas a cualquier superfície? \( \displaystyle\frac{1}{v^2} \)??

Gracias y saludos

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Geometría Diferencial - Variedades / Duda con vectores de base
« en: 02 Julio, 2018, 09:46 pm »
Hola, buenos dias,

Tengo un vector de posición \( \vec{s} \) en un espacio Euclideo plano de 3 dimensiones (x, y, z) que apunta a una superficie de 2 dimensiones \( (\theta, \phi) \) la velocidad sería: \( \frac{d\vec{s}}{dt} = \frac{{\partial x}}{{\partial t}}e_x+\frac{{\partial y}}{{\partial t}}e_y+\frac{dz}{dt}e_z \) siendo en este caso los vectores base \( e_x = e_y = e_z = 1 \) al ser un espacio plano.

Si lo paso a los vectores base de la superficie tendría: \( \frac{d\vec{s}}{dt}=\frac{{\partial \vec{s}}}{{\partial \theta}}\frac{{\partial \theta}}{{\partial t}}+\frac{{\partial \vec{s}}}{{\partial \phi}}\frac{{\partial \phi}}{{\partial t}} \) o lo que es lo mismo, la velocidad expresada con los vectores base de la superficie \( \frac{d\vec{s}}{dt}=\frac{{\partial \theta}}{{\partial t}}e_\theta+\frac{{\partial \phi}}{{\partial t}}e_\phi \)

Mi duda es: ¿Que pasa si quiero hacer lo mismo pero con las componentes de la velocidad por separado? o sea, si quiero pasar \( V_x \) a la superficie, ¿Como lo hago?

\( \frac{{\partial x}}{{\partial t}}e_x = \frac{{\partial x}}{{\partial \theta}}\frac{{\partial \theta}}{{\partial t}}+\frac{{\partial x}}{{\partial \phi}}\frac{{\partial \phi}}{{\partial t}} \)

¿Seria \( \frac{{\partial x}}{{\partial \theta}} = e_\theta \) y \( \frac{{\partial x}}{{\partial \phi}} = e_\phi \) ?

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Hola, buenos dias, saludos a todos

Necesito poner la siguiente expresión con el convenio de suma de Einstein, son 4 índices que se repiten todo el rato, pero claro según el convenio no se pueden poner los 4 iguales.. ¿como sería entonces?

\( \displaystyle\frac{E_1E_1}{V_1V_1}g^{11}g^{11}+\displaystyle\frac{E_1E_2}{V_1V_2}g^{12}g^{12}+\displaystyle\frac{E_1E_3}{V_1V_3}g^{13}g^{13}+ \)
\( \displaystyle\frac{E_2E_1}{V_2V_1}g^{21}g^{21}+\displaystyle\frac{E_2E_2}{V_2V_2}g^{22}g^{22}+\displaystyle\frac{E_2E_3}{V_2V_3}g^{23}g^{23}+ \)
\( \displaystyle\frac{E_3E_1}{V_3V_1}g^{31}g^{31}+\displaystyle\frac{E_3E_2}{V_3V_2}g^{32}g^{32}+\displaystyle\frac{E_3E_3}{V_3V_3}g^{33}g^{33} \)

Muchas gracias  :)

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Temas de Física / Nueva teoría universo luz relatividad
« en: 19 Diciembre, 2017, 03:52 pm »
Hola, Buenos días,
He acabado la teoría en la que he estado trabajando, ahora solo me queda mandarla a los 4 vientos y cruzar los dedos..  :P


Me gustaría que pudiera echar un vistazo a mi teoría y distribuirla a quien considere si lo encuentra apropiado

TEORÍA COMPLETA:
https://mega.nz/#!5voEETrB!neKD-DqmN6Oefi4QAt0iRN_22FVhPQQ9VpnVrhivFio

VIDEOS (no muy bien grabados e incompletos, pero los iré mejorando)
https://m.youtube.com/channel/UCUrcqRad97TmTSHt3uioBZg

Muchas gracias y saludos

9
Tengo bastante confusión para deducir si esta relación es correcta:

\( g^{ba}\delta^a_il_{aa}l^i_b=g^{ba}l_{ai}l^i_b \)

ya que en el índice a, ya me quedo claro que no se puede contraer con delta porque hay índices repetidos, pero claro, ahora aplicando la convección de sumación para índices repetidos (que antes no la aplicaba y por eso me confundía) el índice i esta repetido con lo cual, haciendo el sumatorio me sale que es correcto.

Aparte que como el delta indica que a debe ser igual a que i para que de 1 y si no, da 0, a priori me da que pensar que podría ser tanto \( g^{ba}l_{ai}l^i_b \) como \( g^{ba}l_{ii}l^i_b \) en esa parte

pero claro, al actuar con un índice repetido 3 veces (el índice a) ya me entran las dudas..

Gracias y saludos


10
Hola,

Una relación entre la segunda forma fundamental y tensor métrico es:

\( l^j_i=l_{ir}g^{rj} \)

Como se deduce esa relación?

y luego supongo entonces que estas relaciones también sean correctas no?

\( l_{ik}=l^j_ig_{jk} \)
\( l_{ij}=l^i_jg_{ii} \)

Gracias y saludos

11
Hola,

Si yo tengo la inversa del tensor métrico y lo multiplico por la segunda forma fundamental \( g^{ij}l_{ij} \), ¿qué da esa operación?

Gracias y saludos.

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Hola, sigo un poco liado con el tema de los vectores,

Cualquier vector, por ejemplo el de velocidad en coordenadas cartesianas normales 2 dimensiones x y, \( \overrightarrow{v}=\frac{{\partial r}}{{\partial t}} \) puede expresarse en forma covariante o contravariante
\( \overrightarrow{v}=v^x\overrightarrow{e}_x+v^y\overrightarrow{e}_y \) y como \( \frac{{\partial r}}{{\partial t}}=\frac{{\partial r}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial t}} \) por la regla de la cadena tenemos \( v^x=\frac{{\partial x}}{{\partial t}} \) y \( \vec{e}_x=\frac{{\partial r}}{{\partial x}}=(\frac{{\partial x}}{{\partial x}},\frac{{\partial y}}{{\partial x}}) \)

Mi pregunta es: en el caso covariante \( \overrightarrow{v}=v_x\overrightarrow{e}^x+v_y\overrightarrow{e}^y \) cuales seria los componentes \( v_x \) y \( \overrightarrow{e}^x \)?

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Hola,

Hay una cosa que no entiendo, el determinante de la segunda forma fundamental es \( l_{11}l_{22}-l_{12}l_{21} \) pero si cambiamos los coeficientes de la segunda forma fundamental por sus valores, o sea:

\( l_{11}=r_1N_1  \)
\( l_{12}=r_1N_2  \)
\( l_{21}=r_2N_1  \)
\( l_{22}=r_2N_2  \)

Entonces el determinante queda: \( r_1N_1r_2N_2-r_1N_2r_2N_1 \) Con lo que siempre seria cero  ??? como se explica eso?

Gracias y saludos

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Temas de Física / Vector normal unitario con una Fuerza
« en: 25 Octubre, 2017, 01:22 pm »
Hola,
Tengo un problema medio físico, medio matemático, a ver si alguien me puede ayudar..

Si yo tengo un globo perfectamente esférico y quiero sacar un vector normal unitario en un punto de su superficie podría hacerlo si utilizo el vector fuerza (se supone que en cada punto desde el centro me ha costado hincharlo un trabajo igual a fuerza por distancia W=F d y es un vector normal a la superficie) entre la distancia (ya que la distancia seria \( d=\sqrt[ ]{x^2+y^2+z^2} \))?

Osea el vector normal unitario en un punto de la superficie podría ser \( N_p=\displaystyle\frac{F}{d} \) ?

Gracias y saludos

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Geometría y Topología / Duda con el tensor métrico
« en: 19 Octubre, 2017, 01:01 pm »
Hola,

Si yo tengo esta operación \( g^{12}g_{21} \) que da?

A primera vista teniendo en cuenta que \( g^{ab}g_{ba}=\delta^a_a \) debería dar 1 no?

Pero claro, teniendo en cuenta que si el tensor métrico es diagonal y los otros valores fuera de esa diagonal son cero, entonces \( g^{11}g_{11}+g^{12}g_{21}=1 \) y  \( g^{21}g_{12}+g^{22}g_{22}=1 \) con lo que  \( g^{12}g_{21} \) debería ser 0 no?

Y luego, si de casualidad ese tensor métrico no es diagonal, como por ejemplo ds² = 5(dx1)² + 3(dx2)² + 4(dx3) - 6(dx1)(dx2) + 4(dx2)(dx3) sacado de aquí: http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com.es/2009/03/20-el-tensor-metrico.html ya podría dar cualquier valor

Con lo que: Cual seria el resultado correcto de esta operación \( g^{12}g_{21} \) y por que?

Gracias y saludos



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Geometría y Topología / Ecuaciones de Gauss-Codazzi
« en: 18 Octubre, 2017, 11:11 am »
En geometría diferencial clásica, tenemos un triedro móvil sobre la superficie {\( \vec{r_1},\vec{r_2},\vec{N} \)} si sacamos las derivadas segundas de los vectores r y las igualamos, nos da una ecuación que tiene como componentes de \( \vec{r_n} \) las ecuaciones de Gauss-Codazzi y como componentes de \( \vec{N} \) las ecuaciones de Codazzi-Mainardi

las ecuaciones de Gauss-Codazzi se utilizan por ejemplo, para sacar la curvatura seccional con el tensor \( R_{1212} \) Lo que no entiendo es porque se relacionan así tan alegremente con el tensor de Riemann (hay mas casos, como por ejemplo, el que el escalar de Ricci R sea el doble de la curvatura de Gauss) sin tener en cuenta las componentes \( \vec{N} \) ( ecuaciones de Codazzi-Mainardi ) de la ecuación original  ???

pag. 5 y 6 de  http://casanchi.com/mat/egregium01.pdf

Gracias y saludos

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Hola,
en teoría el tensor de Ricci define completamente la curvatura de un punto en 3 dimensiones.

Pero aplicando las simetrías \( R^a_{bcd}=-R^a_{bdc} \) y \( R^a_{bcd}+R^a_{cdb}+R^a_{dbc}=0 \)

consigo relacionar todos los componentes del tensor de Riemann con los de Ricci (en 3D) excepto  \( R^2_{131}, R^2_{113}, R^3_{121}, R^3_{112}, R^3_{221}, R^3_{212}, R^2_{331}, R^2_{313}, R^1_{232}, R^1_{223}, R^1_{332}, R^1_{323}  \)

Como se relaccionan esos términos con los del tensor de Ricci?

Gracias y saludos

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Hola,

Si consideramos un "cuadrado diferencial" pegado a una superficie curva, de lados a,b,c,d las componentes del tensor de Riemann se podrían definir como el transporte paralelo b,a - d,c o sea \( \triangledown{}_1\triangledown{}_2-\triangledown{}_2\triangledown{}_1 \) en derivadas covariantes, que seria \( R^i_{k12} \) contando 1, 2 como las dimensiones del "cuadrado" claro.

Mi pregunta es, entonces las componentes \( R^i_{kgg} \) del tensor deberían ser siempre cero no? ya que digamos que el transporte paralelo ( \( \triangledown{}_1\triangledown{}_1-\triangledown{}_1\triangledown{}_1 \) y  \( \triangledown{}_2\triangledown{}_2-\triangledown{}_2\triangledown{}_2 \)) se hace sobre la misma dimensión

Gracias y saludos

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Geometría y Topología / ¿Cómo calculo la curvatura seccional?
« en: 01 Septiembre, 2017, 02:47 am »
Tengo una esfera, y al ser 3 dimensiones su curvatura viene totalmente determinada por el tensor de Ricci no?

Pues bien, intento calcular la curvatura seccional de cada par de bases de vectores con el tensor de Rieman covariante y \( K=\displaystyle\frac{R_{2323}}{9_{22} g_{33}-(g_{23})^2} \) para los vectores base 2 y 3 y no me concuerda, sin embargo cuando pruebo lo mismo para la curvatura de la superficie de una esfera si.

Como seria la manera de sacar la curvatura seccional en cada uno de los planos en un objeto de 3 dimensiones? algun ejemplo?

Gracias y saludos

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Hola,

Para llegar al tensor de Riemann, la curvatura en una superficie se puede definir como \( lim_{a,b\rightarrow{0}}\displaystyle\frac{P_4P_3P_2P_1(\vec{v})-\vec{v}}{ab} \) siendo P los transportes paralelos de un vector a lo largo de las 4 curvas que forman un "paralelogramo" cerrado (alguna explicación sobre eso?)

El operador derivada cruzada se puede definir como \( R(\partial{}_1,\partial{}_2)=\triangledown{}_\partial{}_1|_p\triangledown{}_\partial{}_2 - \triangledown{}_\partial{}_2|_p\triangledown{}_\partial{}_1 \)

definimos un campo V con \( \vec{v}=V|_p \)

hacemos que en el "paralelogramo" la curva c2 sea una geodésica para que \( \triangledown{}_\partial{}_2V=0 \) con lo que quedaría:



\( R(\partial{}_1,\partial{}_2)= - \triangledown{}_\partial{}_2|_p\triangledown{}_\partial{}_1V=-lim_{b\rightarrow{0}}\displaystyle\frac{P_4(\triangledown{}_\partial{}_1|_{p4}V)-\partial{}_1|_pV}{b} \)

No entiendo en ese paso el porque del termino \( \partial{}_1|_pV \) y por que se anula en el siguiente paso:

\( R(\partial{}_1,\partial{}_2)=-lim_{ab\rightarrow{0}}\displaystyle\frac{P_4(P_3(V|_{p3}))-V|_{p4})}{ab}  \)

Si alguien me lo puede explicar x favor? también agradecería la explicación completa con dibujitos si alguien tiene tiempo..

Gracias y saludos


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