[zpalas]

Oposicion Aragon 2021 opcion II ejercicio 1:

a) Demuestre que \( x^{2n}-y^{2n} \) es divisible por \( x+y \), \( \forall n\in \mathbb{N} \).

b) Calcule: \( S=\sum_{k=1}^n \log \left(\frac{k+1}{k}\right)^k \)

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[ani_pascual]

Hola:
Bienvenido al foro. 
Te sugiero echar un vistazo a las reglas del foro y al uso del \( \LaTeX \)

Oposicion Aragon 2021 opcion II ejercicio 1

Para el b) tienes

Spoiler

\( S=(\log 2-\log 1)+2(\log 3-\log 2)+3(\log 4-\log 3)+\cdots +n(\log(n+1)-\log n)=-\log 1
-\log 2-\log 3-\cdots -\log n+n\log(n+1)=\\\log(n+1)^n-(\log 1+\log 2+\cdots +\log n)=\log\dfrac{(n+1)^n}{n!} \)

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Para el a), si no me he equivocado...

Spoiler

\( x^{2n}-y^{2n}=(x^n)^2-(y^n)^2=(x^n-y^n)(x^n+y^n) \). Si \( n \) es par, \( (x+y) \) divide a \( (x^n-y^n) \) y si  \( n \) es impar, \( (x+y) \) divide a \( (x^n+y^n) \), en cualquier caso \( (x+y) \) divide a \( (x^{2n}-y^{2n}) \)

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Saludos

[Faramalla]

Para la parte b) ¿seria posible aplicar el teorema del resto?
 Si hacemos  $$x+y=0$$
$$\Rightarrow{x=-y}$$
$$\Rightarrow{x^{2n}-y^{2n}=(-y)^{2n}-y^{2n}=0}$$ y como se tiene resto $$0$$ implicaria que $$x+y$$ es divisor de $$x^{2n}-y^{2n}$$
Corríjanme si es errado mi razonamiento.

[Masacroso]

Para el a):

Spoiler

Se tiene en general que \( a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=1}^n a^{n-k}b^{k-1} \), como se puede comprobar fácilmente, por tanto:

\( \displaystyle{
\begin{align*}
x^{2n}-y^{2n}&=(x^2)^n-(y^2)^n\\
&=(x^2-y^2)\sum_{k=1}^n (x^2)^{n-k}(y^2)^{k-1}\\
&=(x-y)(x+y)\sum_{k=1}^n (x^2)^{n-k}(y^2)^{k-1}
\end{align*}
} \)

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

Para la parte b) ¿seria posible aplicar el teorema del resto?
 Si hacemos  $$x+y=0$$
$$\Rightarrow{x=-y}$$
$$\Rightarrow{x^{2n}-y^{2n}=(-y)^{2n}-y^{2n}=0}$$ y como se tiene resto $$0$$ implicaria que $$x+y$$ es divisor de $$x^{2n}-y^{2n}$$
Corríjanme si es errado mi razonamiento.

Para el (a) quieres decir.

¡Totalmente correcto y elemental!. Un polinomio \( p(x) \) es divisible por \( x-a \) si y sólo si \( p(a)=0 \).

Saludos.

[zpalas]

Para la parte b) ¿seria posible aplicar el teorema del resto?
 Si hacemos  $$x+y=0$$
$$\Rightarrow{x=-y}$$
$$\Rightarrow{x^{2n}-y^{2n}=(-y)^{2n}-y^{2n}=0}$$ y como se tiene resto $$0$$ implicaria que $$x+y$$ es divisor de $$x^{2n}-y^{2n}$$
Corríjanme si es errado mi razonamiento.

¿Podemos asegurar que $$x+y=0$$ ? ¿Por que?

[Masacroso]

Para la parte b) ¿seria posible aplicar el teorema del resto?
 Si hacemos  $$x+y=0$$
$$\Rightarrow{x=-y}$$
$$\Rightarrow{x^{2n}-y^{2n}=(-y)^{2n}-y^{2n}=0}$$ y como se tiene resto $$0$$ implicaria que $$x+y$$ es divisor de $$x^{2n}-y^{2n}$$
Corríjanme si es errado mi razonamiento.

¿Podemos asegurar que $$x+y=0$$ ? ¿Por que?

La idea de Faramalla es que si \( p(x,y)=(x+y)q(x,y) \) para polinomios \( p,q\in \mathbb{R}[x,y] \) entonces al hacer \( x+y=0 \) nos queda que \( p(x,-x)=0 \). Para que el argumento en la dirección contraria sea correcto es suficiente con que \( \mathbb{R}[x,y] \) sea un dominio euclídeo, pero en este caso no lo es, así que no tengo muy clara la argumentación en la demostración (aunque me fio de Luis ).

[Luis Fuentes]

Hola

La idea de Faramalla es que si \( p(x,y)=(x+y)q(x,y) \) para polinomios \( p,q\in \mathbb{R}[x,y] \) entonces al hacer \( x+y=0 \) nos queda que \( p(x,-x)=0 \). Para que el argumento en la dirección contraria sea correcto es suficiente con que \( \mathbb{R}[x,y] \) sea un dominio euclídeo, pero en este caso no lo es, así que no tengo muy clara la argumentación en la demostración (aunque me fio de Luis

Para cualquier anillo conmutativo \( A \) dado un polinomio \( p(x)\in A[x] \) y \( a\in A \) se puede dividir \( p(x) \) entre \( x-a \), de manera que queda:

\( p(x)=q(x)(x-a)+r \) con \( r\in A \)

En nuestro caso \( A=\Bbb R[y] \) e \( a=-y \).

Saludos.

[Masacroso]

Hola

La idea de Faramalla es que si \( p(x,y)=(x+y)q(x,y) \) para polinomios \( p,q\in \mathbb{R}[x,y] \) entonces al hacer \( x+y=0 \) nos queda que \( p(x,-x)=0 \). Para que el argumento en la dirección contraria sea correcto es suficiente con que \( \mathbb{R}[x,y] \) sea un dominio euclídeo, pero en este caso no lo es, así que no tengo muy clara la argumentación en la demostración (aunque me fio de Luis

Para cualquier anillo conmutativo \( A \) dado un polinomio \( p(x)\in A[x] \) y \( a\in A \) se puede dividir \( p(x) \) entre \( x-a \), de manera que queda:

\( p(x)=q(x)(x-a)+r \) con \( r\in A \)

En nuestro caso \( A=\Bbb R[y] \) e \( a=-y \).

Saludos.

¡Ostras, menudo truco! Claro, tomando una de las variables (y la otra como constante) tienes el teorema de división por un polinomio mónico. Y en este caso además como \( A=\mathbb{R} \) se tiene que \( \mathbb{R}[y] \) es un dominio euclídeo (o euclidiano). Ups, había interpretado mal la demostración. Ahí simplemente usas el isomorfismo entre \( \mathbb{R}[y][x] \) y \( \mathbb{R}[x,y] \).

No me sabía ese truco de "fijar" todas las variables menos una y considerar un anillo polinómico de una variable. El truco del almendruco  

Corrección.