[thadeu]

Hola a todos
Les propongo este problema que está bien entretenido.
Determine el número de naturales $$n$$ tales que. $$100<\sqrt[ ]{n}+\sqrt[ ]{n+1}+\sqrt[ ]{n+2}<101$$

[Pie]

Muy poco elegante ya que he tenido que hacer un poco de tanteo pero bueno.

Spoiler

Como:

\[ 3 \sqrt{n} < \sqrt{n} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} < 3\sqrt{n+2} \]

Si \( 3 \sqrt{n} > 100 \) y \( 3\sqrt{n+2}<101 \), \( n \) tiene que cumplir la desigualdad. Entonces:

\[ 3\sqrt{n} > 100 \Rightarrow{} 9n > 10000 \Rightarrow{} n > 1111 \]

\[ 3\sqrt{n+2} < 101 \Rightarrow{} 9(n+2) < 10201 \Rightarrow{} n < 1131 \]

Como \( n = 1110  \) ya no cumple la desigualdad y \( n = 1133 \) tampoco, los naturales que la cumplen son: \( 1110 < n < 1133 \)

[cerrar]

Saludos.

[thadeu]

Hola Pie,
¿Y como verificas por ejemplo que $$n=1110$$
No cumple ?
Me parece que esa es la dificultad del problema
(Verificar sin el uso de una calculadora u otro similar)

[Pie]

Hola Pie,
¿Y como verificas por ejemplo que $$n=1110$$
No cumple ?
Me parece que esa es la dificultad del problema
(Verificar sin el uso de una calculadora u otro similar)

Pues si no se puede usar calculadora, etc.. no sabría cómo rematarlo.. Seguiré pensando.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola a todos
Les propongo este problema que está bien entretenido.
Determine el número de naturales $$n$$ tales que. $$100<\sqrt[ ]{n}+\sqrt[ ]{n+1}+\sqrt[ ]{n+2}<101$$

Spoiler

1) Veamos que \( \sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}< \sqrt{9n+9}=3\sqrt{n+1} \)

 Equivale a \( \sqrt{n}+\sqrt{n+2}<2 \sqrt{n+1} \). Elevando al cuadrado ambos términos y simplificando equivale a:

 \( \sqrt{n(n+2)}<n+1 \)

 que a su vez elevado al cuadrado equivale a:

 \( n^2+2n<n^2+2n+1 \)    ¡Ok!

 1) Veamos que \( \sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}> \sqrt{9n+8}=3\sqrt{n+8/9} \)

 Se tiene que \( \sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}>\sqrt{n}+\sqrt{n+8/9}+\sqrt{n+2} \). Probemos que:

\( \sqrt{n}+\sqrt{n+8/9}+\sqrt{n+2}>3\sqrt{n+8/9} \)

\( \sqrt{n}+\sqrt{n+2}>2\sqrt{n+8/9} \)

Elevando al cuadrado y simplificando:

\( \sqrt{n(n+2)}>n+7/9 \)

Elevando al cuadrado:

\( n^2+2n>n^2+\dfrac{14}{9}n+\dfrac{49}{81} \)

\( n>49/36 \) (OK para \( n\geq 2 \))

 3) Entonces si \( 100<\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}<101 \) tiene que cumplirse que:

 \( 100<\sqrt{9n+9}\quad \Rightarrow{}\quad n>\dfrac{100^2-9}{9}>1110 \)
 \( 101>\sqrt{9n+8}\quad \Rightarrow{}\quad n<\dfrac{101^2-8}{9}<1132.6 \)

 Por tanto una condición suficiente para que se cumpla la ecuación es que \( 1111\leq n\leq 1132 \).

 4) Por otra parte \( \sqrt{9n+8}<\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}<\sqrt{9n+9} \), si \( \sqrt{9n+9}\leq 101 \) y \( \sqrt{9n+8}\geq 100 \) tenemos garantizada la desigualdad. Esto equivale a:

 \( n\leq \dfrac{101^2-9}{9}<1132.5 \)
 \( n\geq \dfrac{100^2-8}{9}>1110 \)

 es decir \( 1111\leq n\leq 1132 \) es una condición suficiente para que se cumpla las desigualdades.

 5) De (3) y (4) se deduce que el rango de naturales que cumple la desigualdad es exactamente \( 1111\leq n\leq 1132 \), es decir, \( 22 \) valores posibles.

[cerrar]

Saludos.