Ya podemos terminar la demostración.
Recordemos que hemos partido de una solución \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) y de ella hemos obtenido otros números primos entre sí dos a dos tales que \( \eta'_1+\eta'_2+\eta'_3=0 \) y \( \eta'_1\eta'_2\eta'_3=\eta^3 \).
Ahora razonamos como sigue: si \( \rho \) es un primo ciclotómico que divida a un \( \eta'_i \), entonces no puede dividir a los otros \( \eta'_j \) (porque son primos entre sí), luego
\( v_\rho(\eta'_i)=v_\rho(\eta'_1)+v_\rho(\eta'_2)+v_\rho(\eta'_3)=v_\rho(\eta^3)=3v_\rho(\eta) \)
Esto significa que el número de asociados de \( \rho \) que aparecen en la factorización de \( \eta'_i \) es multiplo de tres. Cada asociado de \( \rho \) es de la forma \( \epsilon\rho \), para cierta unidad \( \epsilon \), luego agrupando todos los asociados expresados de esta forma, la factorización queda
\( \eta'_i=\epsilon_i \rho_1^{3k_1}\cdots \rho_n^{3k_n} \),
donde \( \epsilon_i \) es la unidad que resulta de multiplicar todas las unidades que han aparecido al agrupar asociados. Por consiguiente, \( \eta'_i=\epsilon_i\theta_i^3 \), para cierto entero ciclotómico \( \theta_i \). Como los \( \eta'_i \) eran primos entre sí dos a dos, es claro que los \( \theta_i \) también lo son. En definitiva, tenemos:
\( \color{blue} \epsilon_1\theta_1^3+\epsilon_2\theta_2^3+\epsilon_3\theta_3^3=0 \), \( \color{blue} \eta^3=\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3\theta_1^3\theta_2^3\theta_3^3 \).
Sabíamos que \( \pi\mid \eta \), luego \( \pi\mid \theta_i \) para un único \( i \) (no puede haber más de uno porque los \( \theta_i \) son primos entre sí).
Ahora es crucial que el \( \theta_i \) divisible entre \( \pi \) es divisible menos veces que \( \alpha \) (para eso nos hemos preocupado de eliminar un factor \( \pi \) en el proceso). En efecto:
\( v_\pi(\theta_1)=\dfrac13v_\pi(\eta'_i)=\dfrac13(v_\pi(\eta_i)-1)<\dfrac13(v_\pi(\eta_1)+v_\pi(\eta_2)+v_\pi(\eta_3))=v_\pi(\alpha) \).
En efecto, la primera igualdad es porque \( \eta'_i=\epsilon_i\theta_i^3 \), la segunda desigualdad porque \( \eta_i=\pi\eta'_i \) (aquí es donde hemos rebajado la multiplicidad), la tercera es trivial, porque todo son números naturales, y la última igualdad es porque \( -\alpha^3=\eta_1\eta_2\eta_3 \).
Si no estuvieran por medio las unidades \( \epsilon_i \) ya habríamos terminado, pues tendríamos una solución no trivial \( \theta_1^3+\theta_2^3+\theta_3^3=0 \) con la componente divisible entre \( \pi \) divisible menos veces entre \( \pi \), lo cual completaría el descenso infinito. La parte final de la prueba, la eliminación de las unidades, es la más delicada, en el sentido de que requiere argumentos
ad hoc cuya generalización a otros exponentes no es evidente.
De la ecuación en azul a la
derecha deducimos que, para todo primo ciclotómico \( \rho \), se deduce que \( v_\rho(\eta)=v_\rho(\theta_1\theta_2\theta_3) \). Esto significa que ambos números son divisibles entre los mismos primos con las mismas multiplicidades, luego son asociados: \( \eta=\epsilon\theta_1\theta_2\theta_3 \), para cierta unidad \( \epsilon \).
Sustituyendo en esa misma ecuación vemos que \( \epsilon^3=\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3 \), pero las seis unidades ciclotómicas cumplen que elevadas al cubo dan \( \pm 1 \), luego concluimos que \( e=\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3=\pm 1 \).
Resumimos lo que tenemos hasta ahora:
\( \epsilon_1\theta_1^3+\epsilon_2\theta_2^3+\epsilon_3\theta_3^3=0 \), \( e=\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3=\pm 1 \)
donde los \( \theta_i \) son primos entre sí dos a dos y uno de ellos es múltiplo de \( \pi \) con \( v_\pi(\theta_i)<v_\pi(\alpha) \).
En lo que sigue no vamos a usar nada más que esto, y como el papel de los tres \( \theta_i \) en estos hechos es simétrico, no perdemos generalidad si suponemos que \( \pi\mid \theta_3 \).
Entonces \( \pi \) no divide a \( \theta_1 \) y \( \theta_2 \), luego por el lema 3 sabemos que
\( \theta_1^3\equiv f(mod\ 9),\qquad \theta_2^3\equiv g(mod\ 9) \),
donde \( f=\pm 1,\ \ g=\pm 1 \). Por otra parte, \( \pi\mid \theta_3 \), luego \( 3\mid \pi^2\mid \pi^3\mid \theta_3^3 \).
Por lo tanto, tomando congruencias módulo 3 en la ecuación en azul de la izquierda:
\( f\epsilon_1+g\epsilon_2\equiv \epsilon_1\theta_1^3+\epsilon_2\theta_2^3=-\epsilon_3\theta_3^3\equiv 0 (mod\ 3) \).
Así pues, \( f\epsilon_1\equiv -g\epsilon_2 (mod\ 3) \), y por el lema 4 concluimos que \( f\epsilon_1=-g\epsilon_2 \), o sea, \( \epsilon_1=\pm \epsilon_2 \), luego \( e=\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3=\pm\epsilon_1^2\epsilon_3 \).
Por lo tanto, multiplicando por \( \pm\epsilon_1^2 \) la ecuación azul de la izquierda queda:
\( \pm\epsilon_1^3\theta_1^3+\epsilon_1^3\theta_2^3+e\theta_3^3=0 \)
(notemos que la unidad del sumando central es \( \pm\epsilon_1^2\epsilon_2=\pm\epsilon_1^2(\pm\epsilon_1)=\epsilon_1^3 \)). Y así hemos conseguido que todas las unidades sean cubos (pues \( e=\pm 1=e^3) \), luego
\( (\pm\epsilon_1\theta_1)^3+(\epsilon_1\theta_2)^3+(e\theta_3)^3 =0 \)
y llamando \( \alpha'=\pm\epsilon_1\theta_1 \), \( \beta'=\epsilon_1\theta_2 \), \( \gamma'=e\theta_3 \), se cumple
\( \alpha'^3+\beta'^3+\gamma'^3=0 \),
que es una nueva solución de la ecuación de Fermat que cumple lo requerido por el descenso infinito (pues \( v_\pi(\gamma')=v_\pi(\theta_3)<v_\pi(\alpha) \)).
QED
caveat
Ahora sólo falta que el_manco no encuentre ningún fallo.
