[petras]

En un triángulo rectángulo ABC en B, se dibuja la mediana AM. También se sabe que BÂC = 2AMB y AC = 27. Calcula la medida del segmento AB.(R:9)

[delmar]

Hola

Suma de los ángulos internos de un triángulo implica \( 2 \theta+ \theta+90=180\Rightarrow{\theta=30, \ 2 \theta=60} \) son ángulos notables, evidentemente la \( Tag (2 \theta)=\sqrt[ ]{3}=\displaystyle\frac{BM}{AB} \), por ser AM mediana se tiene que \( BC=2 BM \) por pitágoras al triángulo ABC :

\( AC^2=BC^2+AB^2\Rightarrow{27^2=(2BM)^2+AB^2}\Rightarrow{27^2=(2\sqrt[ ]{3}AB)^2+AB^2}\Rightarrow{AB=\displaystyle\frac{27}{\sqrt[ ]{13}}\neq 9} \)

La respuesta que te han dado es incorrecta.


Saludos

ESTO ES INCORRECTO CONFUSION

[ani_pascual]

Hola:

En un triángulo rectángulo ABC en B, se dibuja la mediana AM. También se sabe que BÂC = 2AMB y AC = 27. Calcula la medida del segmento AB.(R:9)

Seguro que hay otras formas más sencillas...

Spoiler

\( \left\{\begin{array}{l}\tan(2\theta)=\dfrac{2\overline{BM}}{\overline{AB}}\\\overline{AB}=\overline{BM}\cdot\tan\theta\end{array}\right.\Longrightarrow 2=\tan(2\theta)\cdot\tan\theta\Longrightarrow\cdots \Longrightarrow  \theta=\arctan\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Longrightarrow \overline{AB}=27\cos(2\theta)=9 \)
Añadido:
No hay necesidad de calcular el ángulo \( \theta \), ya que \( \tan^2\theta=\dfrac{1}{2} \) y, por tanto, \( \overline{AB}=27\cos(2\theta)=27(2\cos^2\theta-1)=27\left(\dfrac{2}{1+\tan^2\theta}-1\right)=27\left(\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{2}}-1\right)=9 \)

[cerrar]

Saludos

[delmar]

Disculpa necesito lentes, vi que el \( 2 \theta=\angle BAM \), un error visual.

Saludos

[petras]

Hola:

En un triángulo rectángulo ABC en B, se dibuja la mediana AM. También se sabe que BÂC = 2AMB y AC = 27. Calcula la medida del segmento AB.(R:9)

Seguro que hay otras formas más sencillas...

Spoiler

\( \left\{\begin{array}{l}\tan(2\theta)=\dfrac{2\overline{BM}}{\overline{AB}}\\\overline{AB}=\overline{BM}\cdot\tan\theta\end{array}\right.\Longrightarrow 2=\tan(2\theta)\cdot\tan\theta\Longrightarrow\cdots \Longrightarrow  \theta=\arctan\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Longrightarrow \overline{AB}=27\cos(2\theta)=9 \)
Añadido:
No hay necesidad de calcular el ángulo \( \theta \), ya que \( \tan^2\theta=\dfrac{1}{2} \) y, por tanto, \( \overline{AB}=27\cos(2\theta)=27(2\cos^2\theta-1)=27\left(\dfrac{2}{1+\tan^2\theta}-1\right)=27\left(\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{2}}-1\right)=9 \)

[cerrar]

Saludos

Agradecido

Saludos