Hola,
Supongo que: \( z^4=x^4+y^4 \) ; para \( x,y,z \) enteros, coprimos dos a dos y que \( x\not\equiv \) y mod \( 2 \) .
Por tanto: \( (z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2 \) y sus soluciones en forma de ternas pitagóricas serán:
\( z^2=p^2+q^2 \) , \( x^2=2pq \) , \( y^2=p^2-q^2 \) ; para \( p,q \) coprimos -y- \( q \) par.
Como: \( p^2=y^2+q^2 \) \( \wedge \) \( z^2=p^2+q^2 \) . Serán asimismo soluciones en forma de ternas pitagóricas:
\( p=a^2+b^2 \) , \( y=a^2-b^2 \) , \( q=2ab \) \( \wedge \) \( z= c^2+d^2 \) , \( p=c^2-d^2 \) , \( q=2cd \)
; para \( a,b \) enteros y coprimos \( \wedge \) \( c,d \) enteros y coprimos, uno de cada pareja par.
Y como: \( x^2=2pq \) ; entonces: \( p=p_1^2 \) \( \wedge \) \( q=2q_1^2 \) .
Más aún, tendrán también la forma de soluciones en ternas pitagóricas:
\( \pmb{c^2=p_1^2+d^2} \) : \( c=e^2+f^2 \) , \( p_1=e^2-f^2 \) , \( d=2ef \) ; para: \( e,f \) enteros y coprimos.
\( \pmb{z= c^2+d^2} \) : \( \sqrt{z}=g^2+h^2 \) , \( c=g^2-h^2 \) , \( d=2gh \) ; para: \( g,h \) no enteros ni racionales y coprimos.
Por lo que: \( d=2ef\,=\,2gh \) \( \wedge \) \( ef=gh \) . De donde podemos deducir, sin pérdida de generalidad, que: \( g=g_1g_2 \) , para \( g_1 \) \( \wedge \) \( g_2 \) no racionales y coprimos y: \( h=h_1h_2 \) , para \( h_1 \) \( \wedge \) \( h_2 \) no racionales y coprimos; tales que: " \( g_1h_2=\pmb{e} \) " \( \wedge \) " \( g_2h_1=\pmb{f} \) " .
Estrategia: En el caso del UTF para n = 2, donde es verdadero que: \( z^2=x^2+y^2 \) . Tenemos que para las ternas pitagóricas: \( z=p'^2+q'^2 \) , \( x=2p'q' \) , \( y=p'^2-q'^2 \) ; y las ternas solución a su vez de \( \pmb{z=p'^2+q'^2} \) : \( \sqrt{z}=a'^2+b'^2 \) , \( p’=a’^2-b'^2 \) , \( q’=2a’b’ \) y de \( \pmb{p’^2=y+q’^2} \) : \( p’=c’^2+d’^2 \) , \( \sqrt{y}=c’^2-d’^2 \) , \( q’=2c’d’ \) . Tanto \( a’ \) \( \wedge \) \( b’ \) , como \( c’ \) \( \wedge \) \( d’ \) no son racionales. Esto no es lo que nos hemos encontrado antes. Pues si bien \( g \) \( \wedge \) \( h \) no son efectivamente racionales; \( \pmb{e} \) \( \wedge \) \( \pmb{f} \) sí que lo son. Así que probablemente esto es señal de una contradicción.
“ \( g_1,g_2,h_1,h_2 \) “ son un tipo de irracionales cuadráticos algebraicos. Y como números construibles, esto es, que se obtienen a partir de otros números construibles (los enteros) usando solamente las 4 operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas. Podrán tener básicamente la forma de la raíz cuadrada de un entero (no cuadrado): \( \sqrt{x’} \) ; la de la raíz cuadrada de esta raíz (\( \sqrt{\sqrt{x’}} \)) , pues siempre es posible construir la raíz cuadrada de cualquier número construible; la de una combinación lineal de estas raíces de enteros no cuadrados y de otros que sí pueden serlo: \( m\sqrt{x'}\pm n \) (si pongo la expresión: " \( m\sqrt{x'}\pm n\sqrt{\sqrt{y’}}\pm s \) " , podría ser la de un entero); o la forma de la raíz cuadrada de un irracional que no sea a su vez raíz no cuadrada de otro número: \( \sqrt{\sqrt{m\pm n\sqrt{s\pm t\sqrt{u\pm.\,.}}}} \) ; (para \( m,n,s,t,u \) enteros o racionales -y- \( x’ \) un entero no cuadrado).
Tomemos como referencia: \( \sqrt{z}=g^2+h^2 \) , \( c=g^2-h^2 \) \( \wedge \) \( d=2gh \) . Si construimos: \( g=\sqrt{\sqrt{x’}+m} \) \( \wedge \) \( h=\sqrt{\sqrt{x’}-m} \) ; tendremos que:
1) \( \pmb{c=g^2-h^2}\,=\,\sqrt{x’}+m-\sqrt{x’}+m\,=\,2m \) (si suponemos que “ \( 2m \) “ es un racional entero).
2) \( \pmb{\sqrt{z}=g^2+h^2}\,=\,\sqrt{x’}+m+\sqrt{x’}-m\,=\,2\sqrt{x’} \)
3) \( \pmb{d=2gh}\,=\,2\left( \sqrt{\sqrt{x’}+m}\right)\cdot\left( \sqrt{\sqrt{x’}-m}\right)\,=\,2\sqrt{x-m^2} \) (que será entero siempre y cuando “ \( x-m^2 \) “ sea un cuadrado entero).
Construyamos ahora: \( g_1,g_2,h_1,h_2 \) . Como los 4 son coprimos entre sí, no puedo representarlos como la raíz cuadrada de un entero no cuadrado (\( \sqrt{x’} \)) -ni la raíz cuadrada de su raíz-; pues ninguno de sus productos podrá dar lugar a un cuadrado. Luego sólo podrá ser una combinación lineal de las anteriores raíces y si acaso enteros; siendo esta combinación a su vez una raíz cuadrada (o cuarta..) o no. De esta manera, no pierdo generalidad si establezco lo siguiente:
\( g_1=\sqrt{\sqrt{y’}+m} \)
\( g_2=\sqrt{\sqrt{z’}-n} \)
\( h_1=\sqrt{\sqrt{z’}+n} \)
\( h_2=\sqrt{\sqrt{y’}-m} \)
Para \( y’,z’ \) enteros no cuadrados -y- \( m,n \) enteros.
Efectivamente: \( g_1h_2=\sqrt{y’-m^2} \) . Que será entero si “ \( x’-m^2 \) “ es un cuadrado. Supongamos que sí. Y : \( g_2h_1=\sqrt{z’-n^2} \) . Que será entero si “ \( y’-n^2 \) “ es un cuadrado; cosa que vamos a suponer. Luego sí cumplimos con estas condiciones que pusimos. Que harán que también: “ \( \pmb{d=2gh} \) “ sea entero.
Ya sólo nos queda verificar que: “ \( \pmb{c=g^2-h^2} \) “ \( \wedge \) “ \( \pmb{\sqrt{z}=g^2+h^2} \) “ .
Pues bien, esto no es posible. Veamos por qué:
1) \( \boldsymbol{c=g^2-h^2}\,=\,\left( \sqrt{\sqrt{y’}+m}\right)^2\cdot\left( \sqrt{\sqrt{z’}-n}\right)^2-\left( \sqrt{\sqrt{z’}+n}\right)^2\cdot\left( \sqrt{\sqrt{y’}-m}\right)^2 \)
\( =\,\left(\sqrt{y’}+m\right)\left(\sqrt{z’}-n\right)-\left(\sqrt{z’}+n\right)\left(\sqrt{y’}-m\right) \)
\( =\,\sqrt{y’z’}-n\sqrt{y’}+m\sqrt{z’}-mn-\sqrt{z’y’}+m\sqrt{z’}-n\sqrt{y’}+mn \)
\( =\,2m\sqrt{z’}-2n\sqrt{y’} \) .
Ahora lo elevamos al cuadrado para saber si es racional ó no:
\( 4m^2z’+4n^2y’-8mn\sqrt{y’z’} \) .
Y vemos que podrá ser entero sólo si “ \( y’z’ \) “ es un cuadrado.
2) \( \pmb{\sqrt{z}=g^2+h^2}\,=\,\left( \sqrt{\sqrt{y’}+m}\right)^2\cdot\left( \sqrt{\sqrt{z’}-n}\right)^2+\left( \sqrt{\sqrt{z’}+n}\right)^2\cdot\left( \sqrt{\sqrt{y’}-m}\right)^2 \)
\( =\,\left(\sqrt{y’}+m\right)\left(\sqrt{z’}-n\right)+\left(\sqrt{z’}+n\right)\left(\sqrt{y’}-m\right) \)
\( =\,\sqrt{y’z’}-n\sqrt{y’}+m\sqrt{z’}-mn+\sqrt{z’y’}-m\sqrt{z’}+n\sqrt{y’}-mn \)
\( =\,2\sqrt{y’z’}-2mn \) .
Y vemos que sólo será irracional si “ \( y’z’ \) “ no es un cuadrado; pero que si no lo es, entonces hará irracional á “ c “ .
La conclusión es que si: \( g_1h_2=e \) \( \wedge \) \( g_2h_1=f \) , para \( e,f \) enteros y \( g_1,g_2,h_1,h_2 \) irracionales cuadráticos; no es posible ” construir algebraicamente” (*) : \( \pmb{z=c^2+d^2} \) . Lo que es una contradicción si: << \( \pmb{z^4=x^4+y^4} \) >> .
(*) Por supuesto que sí sería construible mediante regla y compás, al igual que en el caso del UTF2. Puesto que la regla que se utiliza no tiene "medidas". El problema vendría cuando le ponemos medidas y vemos la diferencia entre enteros e irracionales. -EDITADO-
Un saludo,
