[Fernando Moreno]

Hola,

Se puede demostrar que en el UTF3, el factor " \( 3 \) " divide siempre a la variable " par ". Con lo cual no sería necesario el " CASO 2 " de la demostración de arriba.

Supongo en  \( \mathbb{Z[\omega]} \)  que:  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros de la forma  “ \( a\omega+b \) “  en los que la componente  “ \( a \) “  es cero; y que son coprimos 2 a 2. Supongo también que:  \( 3\nmid z \) ,  y esta es la única suposición particular que voy a hacer.

Sabemos que:  \( -z^3=(x+y)\,((x+y)^2-3xy) \) .  Y que:  \( (x+\omega y)\cdot(x+\omega^2 y)=x^2-xy+y^2 \) .  Luego:  \( -z^3=(x+y)\,(x+\omega y)\,(x+\omega^2 y) \) .  Como  \( 3\nmid z \) ;  entonces estos factores serán coprimos y terceras potencias.

De esta manera:  \( x+\omega y=\epsilon\,(s+\omega t)^3 \) ;  para:  \( \epsilon \) ,  una de las unidades de  \( \mathbb{Z[\omega]} \)   \( \wedge \)   \( s,t \)  enteros usuales y coprimos.

Caso 1: La unidad es:  \( \pm 1 \)

\( x+\omega y=\pm\,(s^3+3s^2\omega t+3s\omega^2 t^2+\omega^3 t^3)\,=\,\pm\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Y :  \( x=\pm\,(s^3+t^3-3st^2) \)   \( \wedge \)   \( y=\pm\,(3st(s-t)) \)

Caso 2: La unidad es:  \( \pm\omega \)

\( x+\omega y=\pm\omega\,(s^3+3s^2\omega t+3s\omega^2 t^2+\omega^3 t^3)\,=\,\pm\omega\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Ahora divido entre  \( \omega \) .  Luego:  \( x\omega^2+y=-x\omega+y-x\,=\,\pm\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Y :  \( y-x=\pm\,(s^3+t^3-3st^2) \)   \( \wedge \)   \( -x=\pm\,(3st(s-t)) \)

Caso 3: La unidad es:  \( \pm\omega^2 \)

\( x+\omega y=\pm\omega^2\,(s^3+3s^2\omega t+3s\omega^2 t^2+\omega^3 t^3)\,=\,\pm\omega^2\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Ahora divido entre  \( \omega^2 \) .  Luego:  \( x\omega+y\omega^2=(x-y)\omega-y\,=\,\pm\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Y :  \( -y=\pm\,(s^3+t^3-3st^2) \)   \( \wedge \)   \( x-y=\pm\,(3st(s-t)) \)

Sólo el Caso 3 no puede darse, pues  “ \( 3 \) “  dividiría á  “ \( x-y \) “  y esto significa que no divide ni á  “ \( x \) “  ni á  “ \( y \) “ ;  lo que no puede ser.

Y observamos que tanto en el Caso 1 como en el Caso 2, la variable a la que divide  “ \( 3 \) “ ;  sea  “ \( x \) “  ó  “ \( y \) “ ,  tiene que ser par; pues tanto si  \( s,t \)  son los 2 impares, como si son uno par y otro impar, el resultado es par y  “ \( 2 \) “  dividirá á  “ \( x \) “  ó á  “ \( y \) “ .
 

Un saludo,
         

PD. Gracias a las correcciones de geómetracat Aquí, he podido darle forma a esta idea que tenía. 

[Fernando Moreno]

Hola, simplifico la demostración:


Supongo en  \( \mathbb{Z}[\omega] \) ,  para  \( \omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}\,=\,e^{\frac{2\pi i}{3}} \) ,  los enteros de Eisenstein, que:  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ;  siendo  \( x,y,z \)  enteros de  \( \mathbb{Z}[\omega] \)  y coprimos 2 a 2.

" \( 3 \) "  en  \( \mathbb{Z}[\omega] \)  es:  \( -\omega^2\lambda^2 \) ;  para  \( \lambda=\omega-1 \)   -y-   " \( \lambda \) "  \( \wedge \)  " \( 2 \) "  son primos en  \( \mathbb{Z}[\omega] \) .  Además, las unidades de  \( \mathbb{Z}[\omega] \)  son 6:  \( \pm 1 \)  ,  \( \pm\omega \)  \( \wedge \)  \( \pm\omega^2 \)  .   

Lema 1:  Si  " \( \lambda \) "  no divide a un entero de Eisenstein que es un cubo perfecto, entonces es congruente con  \( \pm 1 \)  Módulo 9 .

Lema 2:  Si  " \( 2 \) "  no divide a un entero de Eisenstein que es un cubo perfecto, entonces es congruente con  \( 1 \)  Módulo 2 .

Lema 3:  Dado:  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ;  \( \lambda \)  solamente divide a la variable que es par.

Demostración del Lema 1:

Me basaré en cómo lo hace Carlos Ivorra aquí.

Supongamos que  \( \lambda \)  no divide a un entero de Eisenstein de la forma  \( a+\omega b \) ,  para  \( a,b \)  enteros. Módulo 3, será el resultado de reducir  \( a,b \)  módulo 3. Y tendré:  \( 1+\omega \)  ,  \( -1-\omega \)  ,  \( 1-\omega \)  ,  \( -1+\omega \)  ,  \( \pm 1 \)  ,  \( \pm\omega \)  \( \wedge \)  \( 0 \) .  Como hemos dicho que  \( \lambda \)  no divide á  \( a+\omega b \) ,  no será congruente con:  \( 1-\omega \)  ,  \( -1+\omega \)  \( \wedge \)  \( 0 \) .  Y lo que me queda ya entonces son "unidades", pues:  \( 1+\omega=-\omega^2 \)  \( \wedge \)  \( -1-\omega=\omega^2 \) .  Luego tenemos que:  \( a+\omega b\equiv\,\epsilon\,\,mod\,\,3 \) .  Pero esto es lo mismo que decir que:  \( a+\omega b-\epsilon=3\alpha \) ,  para  \( \alpha \)  un entero de Eisenstein. Por lo tanto:  \( a+\omega b=3\alpha+\epsilon \)   \( \wedge \)   \( (a+\omega b)^3=(3\alpha+\epsilon)^3\,=\,27\alpha^3+27\alpha^2\epsilon+9\alpha\epsilon^2+\epsilon^3 \) .  Por lo que:  \( (a+\omega b)^3\equiv\,\epsilon^3\,\,mod\,\,9 \)   \( \wedge \)   " \( \epsilon^3 \) "  es siempre igual á  \( \pm 1 \) , sea cuál sea la unidad de  \( \mathbb{Z}[\omega] \) .

Demostración del Lema 2:

Al igual que con el Lema 1, supongamos que  \( 2 \)  no divide a un entero de Eisenstein de la forma  \( a+\omega b \) ,  para  \( a,b \)  enteros. Módulo 2, será el resultado de reducir  \( a,b \)  módulo 2. Y tendré:  \( 1+\omega \)  ,  \( 1 \)  ,  \( \omega \)  -y-  \( 0 \) .  Como hemos dicho que  \( 2 \)  no divide á  \( a+\omega b \) ,  no será congruente con  \( 0 \) .  Y lo que me queda son "unidades", pues:  \( 1+\omega=-\omega^2 \) .  Luego tenemos que:  \( a+\omega b\equiv\,\epsilon\,\,mod\,\,2 \) .  Ó lo que es lo mismo:  \( a+\omega b-\epsilon=2\beta \) ,  para  \( \beta \)  un entero de Eisenstein. Por lo tanto:  \( a+\omega b=2\beta+\epsilon \)   \( \wedge \)   \( (a+\omega b)^3= (2\beta+\epsilon)^3\,=\,8\beta^3+12\beta^2\epsilon+6\beta\epsilon^2+\epsilon^3 \) .  Por lo que:  \( (a+\omega b)^3\equiv\,\epsilon^3\,\,mod\,\,2 \)   \( \wedge \)   \( \epsilon^3 \)  es siempre igual á  \( \pm 1 \) ;  pero ocurre que tanto  \( 1 \)  como  \( -1 \)  son congruentes con  \( 1 \)  Módulo 2.

Demostración del Lema 3:

Por el Lema 1 sabemos que si  \( \lambda \)  no divide á  \( x^3,y^3,z^3 \) ,  entonces estas variables son congruentes con  \( \pm 1 \)  módulo 9. Pero:  \( \pm 1\pm 1\pm 1\not\equiv\,0\,\,mod\,\,9 \) .  Luego por fuerza  \( 9 \)  \( \wedge \)  \( \lambda^4 \)  (pues:  \( 9=\omega\lambda^4 \))  divide a una y sólo una de ellas. De esta misma manera, por el Lema 2 sabemos que si  \( 2 \)  no divide á  \( x^3,y^3,z^3 \) ,  entonces serán congruentes con  \( 1 \)  módulo 2. Pero:  \( 1+1+1\not\equiv\,0\,\,mod\,\,2 \) .  Luego por fuerza  \( 2 \)  divide a una y sólo una de estas variables.

Supongamos, sin perder generalidad, que  \( z^3 \)  no es múltiplo de 3. Luego:  \( -z^3=x^3+y^3\,=\,(x+y)(x+\omega y)(x+\omega^2 y) \)  -y-  " \( x+\omega y \) "  será un cubo tal que:  \( \epsilon(p+\omega q)^3=x+\omega y \) ;  para  \( \epsilon \)  una unidad de  \( \mathbb{Z}[\omega] \)  y  \( p,q \)  enteros y coprimos. 

Como existen 6 unidades en  \( \mathbb{Z}[\omega] \)  que se pueden agrupar de 2 en 2, tendremos 3 casos posibles:   

Caso 1. Las unidades son:  \( \pm 1 \) .

\( \pmb{x+\omega y}=\pm\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\,(p^3+q^3+(3p^2q-3pq^2)\omega-3pq^2)\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \)   \( \Rightarrow \)   \( x=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2) \)   \( \wedge \)   \( y=\pm\,(3pq (p-q)) \) .

Caso 2. Las unidades son:  \( \pm\omega \) .

\( \pmb{x+\omega y}=\pm\omega\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\omega\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\omega\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \) .  Si ahora divido a ambos lados de la igualdad entre  \( \omega \) .  Tendré:  \( x\omega^2+y=-x\omega+y-x\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \)   \( \Rightarrow \)   \( y-x=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2) \)   \( \wedge \)   \( -x=\pm\,(3pq(p-q)) \) .

Caso 3: Las unidades son:  \( \pm\omega^2 \) .

\( \pmb{x+\omega y}=\pm\omega^2\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\omega^2\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\omega^2\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \) .  Y si ahora divido a ambos lados de la igualdad entre  \( \omega^2 \) .  Tendré:  \( x\omega+y\omega^2=(x-y)\omega-y\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \)   \( \Rightarrow \)   \( -y=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2) \)   \( \wedge \)   \( x-y=\pm\,(3pq(p-q)) \) .

En el Caso 1,  " \( 3 \) "  divide á  " \( y \) "  -y-  " \( y \) "  es par puesto que  \( p \)  ó  \( q \)  debe ser par; o si son los dos impares, es par:  \( p-q \) .

En el Caso 2,  " \( 3 \) "  divide á  " \( x \) "  -y-  " \( x \) "  es par puesto que  \( p \)  ó  \( q \)  debe ser par; o si son los dos impares, es par:  \( p-q \) .

El Caso 3  no podría darse. Pues si  \( x-y \)  es múltiplo de 2 y 3, significa que no lo son ni  \( x \) ,  ni  \( y \)  -y- tampoco  \( z \) ;  puesto que no podría serlo:  \( x+y \) .



Partamos ahora de:  \( -z^3=x^3+y^3 \) . Y supongamos sin perder generalidad que la variable múltiplo de 2 es  " \( -z^3 \) " .  Entonces  " \( \lambda^4 \) "  dividirá á  \( -z^3 \) ;  pero como  \( -z^3 \)  es un cubo, deberá ser, como mínimo:  " \( \lambda^6 \) " .

Establezcamos que:  \( x+y=2s \)  \( \wedge \)  \( x-y=2t \) ;  pues  \( x\,\wedge\,y \)  son ambos congruentes con 1 Módulo 2 al serlo:  \( x^3\,\wedge\,y^3 \) .  Como  \( x+y \)  \( \wedge \)  \( x-y \)  son coprimos salvo por  " \( 2 \) " ;  entonces:  \( s=\dfrac{x+y}{2} \)  \( \wedge \)  \( t=\dfrac{x-y}{2} \)  serán coprimos; siendo además una de estas letras divisible entre 2; pues si  \( 2s\,\vee\,2t \)  es congruente con 2 Módulo 4, el otro será divisible entre 4. Si despejo  " \( x \) "  e  " \( y \) " ,  tendré que:  \( x=s+t \)  \( \wedge \)  \( y=s-t \) .  Y de esta manera:  \( -z^3=(s+t)^3+(s-t)^3 \)   \( \Rightarrow \)   \( -z^3=2s(s^2+3t^2) \) .

Como  \( \lambda^6\mid-z^3 \) .  Esto significará que:  \( \lambda^4\mid 2s \)  \( \wedge \)  \( \lambda^2\mid s^2+3t^2 \) .  Y como  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) ;  entonces:  \( \lambda^2\mid s^2-\omega^2\lambda^2t^2 \) .  Tenemos además que:  \( s^2=\lambda^8\cdot s’\,^2 \) .  Luego si dividimos ahora en ambos lados de la igualdad entre  \( \lambda^6 \) ;  tendremos que:   \( -z’\,^3=2s’(\lambda^6s’\,^2-\omega^2t^2) \)   .  Como  " \( 2s’ \) "   \( \wedge \)   " \( \lambda^6s’\,^2-\omega^2t^2 \) " ,  serán ahora coprimos; son terceras potencias. Y existirán unos:  \( v^3=2s’ \)  \( \wedge \)  \( u^3=\lambda^6s’\,^2-\omega^2t^2 \) .

Tenemos también que  \( 2 \)  divide á  \( z \)  y que es primo en  \( \mathbb{Z}[\omega] \) .  Entonces  \( 4 \)  divide como mínimo á  \( s \)  -y- á  " \( s’ \) "  -y-  " \( t \) "  será congruente con 1 Módulo 2. De esta forma también será congruente con 1 Módulo 2:  " \( u^3 \) " ;  que es un cubo que no es múltiplo de 2.

Así:  \( u^3=\lambda^6s’\,^2-\omega^2t^2\,=\,\left({\lambda^3s'+\omega t}\right)\,\left({\lambda^3s'-\omega t}\right) \) .  Y como:  " \( \lambda^3s'+\omega t \) "   \( \wedge \)   " \( \lambda^3s'-\omega t \) "  son coprimos; pues su suma y su diferencia son, respectivamente:  \( 2\lambda^3s’ \)  \( \wedge \)  \( 2\omega t \)   -y-   " \( 4 \) "  no es factor de  " \( u^3 \) " ;  serán a su vez terceras potencias.

Esto es, tendremos:  \( 2s'\lambda^3=\lambda^3s'+\omega t+\lambda^3s'-\omega t \) .

Y si:  \( -z’\,^3=2s'\lambda^3 \) ;  \( x'\,^3=\lambda^3s'+\omega t \)  \( \wedge \)  \( y'\,^3=\lambda^3s'-\omega t \) .  Entonces:  \( x’\,^3+y'\,^3+z'\,^3=0 \)  -y-  sólo  " \( \lambda^3 \) "  por lo menos divide ahora á  \( -z’\,^3 \) ,  cuando antes era  " \( \lambda^6 \) "  el que dividía como mínimo á  \( -z^3 \) .


Un saludo,      (Editado)


PD. (25-julio-2021) Le doy la forma definitiva a esta demostración aquí: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=117596.new#new .