Ah, pero si la discusión es sobre infinitésimos,
desde ya que podemos adelantar que está todo mal.
No obstante, hay que discernir qué es lo que está bien y qué es lo que está mal.
Los cocientes incrementales no están "tan mal".
Es decir, simplificar un dx es correcto,
ya que \(dx = \Delta x\).
Recordemos que las derivadas se pueden pensar como transformaciones lineales,
en cuyo caso \(dy= T(dx)\), donde \(T\) es la derivada, que es una transformación lineal actuando sobre el escalar \(dx\).
Lo que no se puede hacer es reemplazar \(dy\) por \(\Delta y\),
porque el diferencial \(dy\) es una aproximación del incremento \(\Delta y\),
y viceversa.
Así que, hasta cierto punto, es válido escribir cosas como \(dy = f'(x)\,dx\).
Lo importante es que este tipo de cosas se usen sólo
entendiendo por qué es válido y en qué contexto es válido.
También es válido cuando se pasa de derivada a integral,
pero las justificaciones son más rigurosas, y no puede hacerse a la ligera.
La justificación definitiva sería usar la derivada de Radón-Nikodym,
que permite "cancelar" diferenciales, ya que ahora el diferencial denota una cierta medida,
como una presentación como la siguiente ilustra:
https://wiki.math.ntnu.no/_media/ma3105/2016v/l-r-n.pdfEn todo caso, es una cuestión de mera notación.
Pero es importante usar esa notación con el rigor debido.
Y si no, mejor no usarla, porque las bases rigurosas de esa notación son teóricamente complejas.
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Entonces ahí tendré que coincidir con Luis,
ya que si un concepto matemático se usar sin el rigor, o al menos, sin el cuidado que es debido,
se obtienen resultados distintos si los resultados se interpretan de una forma u otra,
con lo cual directamente el modelo no sirve para nada.
Yo ni loco me subo a un avión construido bajo esas condiciones,
ni paso por un puente armado de esa manera.
Con respecto a aproximar, digamos, velocidades con cocientes incrementales,
estaría bien hacerlo siempre que uno sea conciente de que está usando una aproximación a la realidad.
Lo "falso" o "mentiroso" no es eso, sino el olvidarse de que un modelo siempre es aproximado, ideal.
Un ejemplo sencillo es este.
Supongamos que uso el modelo de Fibonacci para saber cuántos conejos hay tras un tiempo t.
En ciertos instantes de tiempo el modelo predice que voy a tener, por ejemplo, 7.38 conejos,
lo cual es ridículo, porque la cantidad de conejos es siempre entera.
Eso no significa que el modelo está mal, sino que se lo está usando mal.
Un ejemplo más vívido lo hemos tenido hace poco con la pandemia.
Hay modelos que predicen el número de personas contagiadas en cierto tiempo.
Esos modelos nunca dan un valor exacto, aún si se los redondea a enteros,
porque hay muchas variables que son desconocidas o muy complejas de introducir en el modelo (por ejemplo, no se puede predecir cómo se va a trasladar cada persona individualmente de una región a otra, ni con quiénes se va a cruzar, etc.).
Así que, mi conclusión es que hay dos problemas con los modelos:
1. Usar mal el modelo.
2. Usar mal la matemática al confeccionar el modelo.
Si una persona habla de infinitésimos, soy capaz hasta de negarle el saludo,
porque asumo que hay una alta probabilidad de que todo lo que diga a partir de ahí es falaz.
Mejor conviene hacer el siguiente ejercicio:
procure usted explicar matemáticamente cómo funciona su modelo,
sin usar nunca la palabra "infinitésimo".
Los infinitésimos son una cosa mal definida, que a Newton le funcionaba casi por milagro,
y también porque la Física que él necesitaba justo cuadraba.
Hoy en día eso ya no se puede hacer.
Y si muchos modelos hoy en día funcionan igual, sin preocuparse por tanto detalle de rigor,
entonces es porque esos modelos los confeccionó gente que en su momento sí se preocupó por el rigor,
y los demás se están colgando de algo que ya funciona.
Pero a poco que uno quiera ser el gran hacedor de modelos nuevos,
tendrá que quemarse las pestañas buscando el rigor debido.
Si no, los cálculos van a empezar a dar cualquier cosa sin sentido.
