Autor Tema: Integral de respecto a la medida de lebesque

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14 Junio, 2022, 01:59 am
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Gabriel Alejandro

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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Estoy checando esta demostración en el libro de Ash y me causa duda en el último paso como llega a una integral de riemman cuando tenía una integral con respecto a la medida de lebesque. Cualquier comentario me ayudaría.



Moderación: insertada imagen en el mensaje.

14 Junio, 2022, 03:40 am
Respuesta #1

Héctor Manuel

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Como $$\mu\ll m$$, entonces $$\textcolor{red}{\mu(A)=\int_A g(t)\,\mathrm{d}m(t)}.$$

Ahora, recuerda que $$\mu$$ es la medida de Lebesgue-Stieljes asociada a $$f$$, por lo que $$\mu([u,v])=f(v)-f(u)$$ para cualquier intervalo $$[u,v]$$. Luego, tomas $$A=[a,x]$$ en $$\textcolor{red}{\mathrm{rojo}}$$ y obtienes lo pedido.

Saludos, Héctor.

14 Junio, 2022, 01:27 pm
Respuesta #2

Gabriel Alejandro

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Muchas gracias Héctor, cuando pone $$dt$$ entonces se está refiriendo a la integral con resepcto a la medida de lebesque $$m$$ o la integral de riemann?,Gracias, sigo pendiente

14 Junio, 2022, 02:42 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Muchas gracias Héctor, cuando pone $$dt$$ entonces se está refiriendo a la integral con resepcto a la medida de lebesque $$m$$ o la integral de riemann?,Gracias, sigo pendiente

Sí, es usual utilizar \( dt \) para referirse a la medida de Lebesgue también, especialmente cuando se quiere hacer hincapié en la variable (muda) sobre la que se integra. Es decir, todas estas notaciones son equivalentes para una función \( f:A\to B \) Lebesgue integrable:

\( \displaystyle{
\int f\, d\lambda =\int_{A}f(x)\,d x=\int_A f(x)\lambda (dx)
} \)

y variaciones parecidas. Ahí \( \lambda  \) representaría la medida de Lebesgue. Si se integra sobre todo el espacio se suele omitir el dominio, es decir escribir \( \int  \) en vez de \( \int_{A} \).