Autor Tema: Valor esperado de normal multivariante

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06 Enero, 2022, 03:01 am
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razielcero

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Hola a todos

Estoy realizando una actividad sobre procesos estocásticos, en la que debo mostrar que \( \displaystyle E[W(t_2) | W(t_1)=x_1,W(t_3)=x_3] = x_1 + \left( \frac{x_3 - x_1}{t_3-t_1}\right)(t_2 - t_1) \), donde \(  W(t)  \) es un proceso estocástico de Wiener, y por tanto gaussiano, es decir que la distribución de un vector de este proceso es normal multivariante. Dicho esto, sé que para la normal bivariante se tiene la siguiente igualdad

\(
\displaystyle
E[X_1|X_2=x_2] = \mu_1 + \rho \frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_2 - \mu_2) \)

Sin embargo, no sé cómo extender este resultado al caso de otra variable (i.e., ¿cómo determino la expresión para \( E[X_1|X_2=x_2,X_3=x_3]  \)) para poderlo usar en mi ejercicio.

Les agradezco cualquier orientación que me puedan dar  :D

Saludos,

06 Enero, 2022, 10:22 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola a todos

Estoy realizando una actividad sobre procesos estocásticos, en la que debo mostrar que \( \displaystyle E[W(t_2) | W(t_1)=x_1,W(t_3)=x_3] = x_1 + \left( \frac{x_3 - x_1}{t_3-t_1}\right)(t_2 - t_1) \), donde \(  W(t)  \) es un proceso estocástico de Wiener, y por tanto gaussiano, es decir que la distribución de un vector de este proceso es normal multivariante. Dicho esto, sé que para la normal bivariante se tiene la siguiente igualdad

\(
\displaystyle
E[X_1|X_2=x_2] = \mu_1 + \rho \frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_2 - \mu_2) \)

Sin embargo, no sé cómo extender este resultado al caso de otra variable (i.e., ¿cómo determino la expresión para \( E[X_1|X_2=x_2,X_3=x_3]  \)) para poderlo usar en mi ejercicio.

Les agradezco cualquier orientación que me puedan dar  :D

Saludos,

Asumiendo que \( t_1\leqslant t_2,t_3 \) entonces si definimos \( Z_{t_2-t_1}:=W_{t_2}-W_{t_1} \) tenemos que \( Z_{t_2-t_1} \) es independiente de \( W_{t_1} \), por tanto te queda la expresión

\( \displaystyle{
\mathrm{E}[W_{t_2}|W_{t_1}=x_1,W_{t_3}=x_3]=\mathrm{E}[Z_{t_2-t_1}|W_{t_1}=x_1,W_{t_3}=x_3]+x_1=\mathrm{E}[Z_{t_2-t_1}|Z_{t_3-t_1}=x_3-x_1]+x_1
} \)

Ahora bien, \( Z_t \), condicionado a \( W_{t_1}=x_1 \), es un movimiento browniano estándar, es decir, con \( Z_0\equiv 0 \). Si \( t_3>t_2 \) entonces para calcular lo que te queda puedes invertir \( Z \), es decir, defines \( V_t:=tZ_{1/t} \) para \( t>0 \) y \( V_0:= 0 \), eso define otro movimiento browniano estándar aunque con el tiempo invertido, quedándote entonces

\( \displaystyle{
\mathrm{E}[Z_{t_2-t_1}|Z_{t_3-t_1}=x_3-x_1]+x_1=(t_2-t_1)\mathrm{E}\left[V_{1/(t_2-t_1)}\Big|V_{1/(t_3-t_2)}=\frac{x_3-x_1}{t_3-t_1}\right]+x_1
} \)

de donde la solución es inmediata.

06 Enero, 2022, 06:20 pm
Respuesta #2

razielcero

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Masacroso, gracias por tu pronta y oportuna respuesta. No se me habría ocurrido el método de solución que expusiste. Gracias de nuevo!

Saludos.