Autor Tema: Demostración convergencia en probabilidad

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18 Octubre, 2021, 01:06 am
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mg

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Hola,

Quería que le echarán un vistazo a la siguiente demostración que he hecho para corroborar que voy bien encaminado.

Si \( X_n\xrightarrow{P}X \)(en probabilidad) y \( X_n\xrightarrow{P}Y \) demuestra que \( P(X=Y)=1 \).

Demostración:

El enunciado equivale a probar \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{P(\left\{{w:\left |{X(w)-Y(w)}\right |>\epsilon}\right\}}=0 \) pero tenemos que:

\( \displaystyle{
\begin{align*}
0&\leq\lim_{n \to{+}\infty}{P(\left\{{w:\left |{X(w)-Y(w)}\right |>\epsilon}\right\}}\\
&=\lim_{n \to{+}\infty}{P(\left\{{w:\left |{X_n(w)-X_n(w)+X(w)-Y(w)}\right |>\epsilon}\right\}}\\
&\leq\lim_{n \to{+}\infty}{P(\left\{{w:\left |{X_n(w)-X(w)}\right |+\left |{X_n(w)-Y(w)}\right |)>\epsilon}\right\})}\\
&=\lim_{n \to{+}\infty}{P(w:\left |{X_n(w)-X(w)}\right |>\epsilon)}+\lim_{n \to{+}\infty}{P(w:\left |{X_n(w)-Y(w)}\right |>\epsilon)}\\
&=0
\end{align*}
} \)

Un saludo.

\( \LaTeX \) corregido por la moderación.

18 Octubre, 2021, 03:32 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola,

Quería que le echarán un vistazo a la siguiente demostración que he hecho para corroborar que voy bien encaminado.

Si \( X_n\xrightarrow{P}X \)(en probabilidad) y \( X_n\xrightarrow{P}Y \) demuestra que \( P(X=Y)=1 \).

Demostración:

El enunciado equivale a probar \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{P(\left\{{w:\left |{X(w)-Y(w)}\right |>\epsilon}\right\}}=0 \) pero tenemos que:

\( \displaystyle{
\begin{align*}
0&\leq\lim_{n \to{+}\infty}{P(\left\{{w:\left |{X(w)-Y(w)}\right |>\epsilon}\right\}}\\
&=\lim_{n \to{+}\infty}{P(\left\{{w:\left |{X_n(w)-X_n(w)+X(w)-Y(w)}\right |>\epsilon}\right\}}\\
&{\color{blue}{\leq}}\lim_{n \to{+}\infty}{P(\left\{{w:\left |{X_n(w)-X(w)}\right |+\left |{X_n(w)-Y(w)}\right |)>\epsilon}\right\})}\\
&{\color{red}{=}}\lim_{n \to{+}\infty}{P(w:\left |{X_n(w)-X(w)}\right |>\epsilon)}+\lim_{n \to{+}\infty}{P(w:\left |{X_n(w)-Y(w)}\right |>\epsilon)}\\
&=0
\end{align*}
} \)

Un saludo.

\( \LaTeX \) corregido por la moderación.


Lo marcado en rojo "está mal" o, al menos, necesita de una explicación detallada. Y lo de azul quizá deberías justificarlo (aunque es bastante trivial). Para que me entiendas: no es cierto que

\( \displaystyle{
\{\omega :|f(\omega )|+|g(\omega )|>\epsilon \}\subset \{\omega :|f(\omega )|>\epsilon \}\cup \{\omega : |g(\omega )|>\epsilon \}
} \)

o que

\( \displaystyle{
P(\{\omega :|f(\omega )|+|g(\omega )|>\epsilon \})\leqslant P( \{\omega :|f(\omega )|>\epsilon \})+P( \{\omega : |g(\omega )|>\epsilon \})
} \)

P.D.: sobre el uso de \( \LaTeX \), no es necesario poner el \displaystyle más que una vez, y encerrar todo lo que escribas después entre corchetes, es decir, escribir algo como

Código: [Seleccionar]
[tex]\displaystyle{ las matemáticas van aquí }[/tex]
para que el estilo "display" afecte a todas las expresiones. Por otra parte para escribir cosas de mucha longitud tienes que partir las expresiones en columnas, es lo que se suele hacer en todos los libros de matemáticas, así queda todo más claro y es legible. Eso se puede hacer con algo como

Código: [Seleccionar]
\begin{align*}
 & línea1 \\
 & línea2 \\
 & etc...
\end{align*}

donde los símbolos & son las marcas de alineado, es decir, que en la expresión final quedan uno justo debajo del otro (aunque no sean visibles), y el símbolo \\ es para terminar una línea y empezar otra nueva.

18 Octubre, 2021, 07:46 pm
Respuesta #2

mg

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La desigualdad de azul se sigue fácilmente de la desigualdad triangular. Y en cuanto a lo de rojo pues entiendo lo que dices, de hecho bueno eso me arruina mi idea porque claro, serían tres conjuntos. Notemosles informalmente como \( \left\{{w:\left |{f(w)}\right |}>\epsilon\right\} \), \( \left\{{w:\left |{g(w)}\right |}>\epsilon\right\} \), y otro conjunto el cual no sé como se describiría pero del cual no podría determinar si converge en probabilidad a 0. ¿cierto no?

Bueno en realidad el tercer conjunto sería  \( \left\{{w:\left |{f(w)}\right |}+\left |{g(w)}\right |>\epsilon,\left |{f(w)}\right |\leq{}\epsilon,\left |{g(w)}\right |\leq{}\epsilon\right\} \)

Voy a darle otra vuelta.

Un saludo.

18 Octubre, 2021, 10:04 pm
Respuesta #3

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La desigualdad de azul se sigue fácilmente de la desigualdad triangular. Y en cuanto a lo de rojo pues entiendo lo que dices, de hecho bueno eso me arruina mi idea porque claro, serían tres conjuntos. Notemosles informalmente como \( \left\{{w:\left |{f(w)}\right |}>\epsilon\right\} \), \( \left\{{w:\left |{g(w)}\right |}>\epsilon\right\} \), y otro conjunto el cual no sé como se describiría pero del cual no podría determinar si converge en probabilidad a 0. ¿cierto no?

Bueno en realidad el tercer conjunto sería  \( \left\{{w:\left |{f(w)}\right |}+\left |{g(w)}\right |>\epsilon,\left |{f(w)}\right |\leq{}\epsilon,\left |{g(w)}\right |\leq{}\epsilon\right\} \)

Voy a darle otra vuelta.

Un saludo.

Te dejo una pista para que no vayas dando palos de ciego.

Spoiler
Busca un \( \delta >0 \) tal que si \( a,b>0 \) y \( a+b>\epsilon  \) entonces te asegure que o bien \( a>\delta  \), o bien \( b>\delta  \).
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19 Octubre, 2021, 08:01 pm
Respuesta #4

mg

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Hola,

Digamos que estamos trabajando en el espacio de probabilidad \( (P,F,\Omega) \)
Definamos \( f(w)=\left |{X_n(w)-X(w)}\right | \) y \( g(w)=\left |{X_n(w)-Y(w)}\right | \). \( g,f:\Omega\longrightarrow{}\mathbb{R} \)
bien, entonces si \( \delta=max(f(w),g(w))-\displaystyle\frac{\left |{f(w)-g(w)}\right |}{2} \) dado \( w\in\Omega \). Entonces si \( f(w)+g(w)>\epsilon \),
se tiene que o bien \( f(w)>\delta \) o bien \( g(w)>\delta \) o bien \( g(w)=f(w)=\delta \).
Suponiendo (1) \( f(w)\neq g(w) \) tenemos retomando la demostración que:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{P(w:f(w)+g(w)>\epsilon)}=\lim_{n \to{+}\infty}{P(\left\{{w:f(w)>\delta}\right\}\cup{}\left\{{w:g(w)>\delta}\right\})} \)

Ahora bien usando que los conjuntos en la última igualdad son disjuntos (por (1) ) y que \( P \) es función de probabilidad tenemos que, el límite anterior equivale a:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{P(\left\{{w:f(w)>\delta}\right\})+P(\left\{{w:g(w)>\delta}\right\})} \)

Y este último límite es 0, porque por hipótesis \( X_n\xrightarrow{P}X,Y \)

¿Eso está bien? Yo no le veo fallo.


Ahora me queda ver que pasa si \( f(w)=g(w) \) en ese caso, y eso no se me ocurre como resolverlo.

20 Octubre, 2021, 03:26 am
Respuesta #5

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Hola,

Digamos que estamos trabajando en el espacio de probabilidad \( (P,F,\Omega) \)
Definamos \( f(w)=\left |{X_n(w)-X(w)}\right | \) y \( g(w)=\left |{X_n(w)-Y(w)}\right | \). \( g,f:\Omega\longrightarrow{}\mathbb{R} \)
bien, entonces si \( \delta=max(f(w),g(w))-\displaystyle\frac{\left |{f(w)-g(w)}\right |}{2} \) dado \( w\in\Omega \).

Pero ahí \( \delta  \) depende de cada \( w \), por lo que no puedes elegirlo universalmente para definir un conjunto. Además \( \delta  \) debe depender de \( \epsilon  \). Por si no lo ves claro simplificando tienes que \( \delta =\frac1{2}(f(w)+g(w)) \). Te dejo una posible solución, por si te cansas de dar palos de ciego:

Spoiler
Para \( \epsilon >0 \) puedes tomar \( \delta :=\epsilon /2 \).
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20 Octubre, 2021, 04:49 pm
Respuesta #6

mg

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Muchas gracias, masacroso. Ya entiendo la demostración. Solo por puntualizar una duda.



El enunciado equivale a probar \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{P(\left\{{w:\left |{X(w)-Y(w)}\right |>\epsilon}\right\}}=0 \) pero tenemos que:


Esto yo lo escribí, y reflexionando me doy cuenta de que intuitivamente lo entiendo pero en realidad no sabría probarlo. No sé si puede deducirse directamente de la definición de convergencia en probabilidad.

20 Octubre, 2021, 08:32 pm
Respuesta #7

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Muchas gracias, masacroso. Ya entiendo la demostración. Solo por puntualizar una duda.



El enunciado equivale a probar \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{P(\left\{{w:\left |{X(w)-Y(w)}\right |>\epsilon}\right\}}=0 \) pero tenemos que:


Esto yo lo escribí, y reflexionando me doy cuenta de que intuitivamente lo entiendo pero en realidad no sabría probarlo. No sé si puede deducirse directamente de la definición de convergencia en probabilidad.

Si \( P(X=Y)=P(|X-Y|=0)=1 \) entonces \( P(|X-Y|> 0)=0 \) (y viceversa), y en particular \( P(|X-Y|>\epsilon )=0 \) para todo \( \epsilon >0 \), ya que

\( \displaystyle{
\{\omega :|X(\omega )-Y(\omega )|>\epsilon \}\subset \{\omega :|X(\omega )-Y(\omega )|> 0\}
} \)

Ahora bien, si demuestras que \( P(|X-Y|>\epsilon )=0 \) para todo \( \epsilon >0 \) entonces se tiene que \( P(|X-Y|>0 )=0 \), lo que es equivalente a \( P(|X-Y|=0 )=P(X=Y)=1 \). Es decir que

\( \displaystyle{
P(X=Y)=1\iff \forall \epsilon >0: P(|X-Y|>\epsilon )=0
} \)

21 Octubre, 2021, 04:36 pm
Respuesta #8

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