Hola.
Supongo que \( z^4=x^4+y^4 \) para \( x,y,z \) enteros, coprimos 2 a 2; \( x\,\vee\,y \) par.
Estrategia:
Demostrar con carácter general que no es posible que se dé a la vez:
\( \pmb{a\cdot b=c\cdot d} \) \( \wedge \) \( \pmb{a^2=b^2+c^2+d^2} \)
Para: \( \pmb{a,b} \) coprimos -y- \( \pmb{c,d} \) coprimos; uno de cada pareja par.Por el principio de factorización única sé que los mismos factores primos que están a la izquierda de la igualdad \( ab=cd \) , deben estar a la derecha; solamente que agrupados de distinta manera. De esta forma si establezco que: \( c=c_1c_2 \) \( \wedge \) \( d=d_1d_2 \) , para \( c_1\,\wedge\,c_2 \) coprimos y \( d_1\,\wedge\,d_2 \) coprimos y " \( b,d \) " , por ejemplo, pares; podré establecer también sin perder generalidad que: \( a=c_1d_2 \) \( \wedge \) \( b=c_2d_1 \) - ( \( d_1 \) par) -. Veámoslo:
Tratamos con 4 variables tomadas de 2 en 2. Podemos suponer que 2 de ellas son iguales, pero no más de 2, pues si no \( a\,\vee\,b\,\vee\,c\,\vee\,d \) serían iguales y partimos de que no lo son. No pierdo generalidad tampoco, por lo tanto, si establezco la siguiente relación de orden entre ellas como sigue: \( d_1\,\leq\,c_2\,<\,d_2\,<\,c_1 \) .
Como: \( a^2=b^2+c^2+d^2 \) ; entonces: \( c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2 \) . Luego:
(1) \( c_1^2=\dfrac{c_2^2(d_1^2+c_1^2)}{d_2^2}+d_1^2 \) . Como \( d_2^2 \) es coprimo con \( c_2^2 \) , entonces debe dividir á " \( d_1^2+c_1^2 \) " . Así: \( c_1^2=k_1\,c_2^2+d_1^2 \) , para un “ \( k_1 \) “ entero.
(2) \( d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2 \) . Como \( c_1^2 \) es coprimo con \( d_1^2 \) , entonces debe dividir á " \( c_2^2+d_2^2 \) " . Así: \( d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2 \) , para un “ \( k_2 \) “ entero.
Y observamos lo siguiente:
(1) \( \dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}\,=\,\dfrac{d_1^2}{d_2^2}+\dfrac{c_1^2}{d_2^2} \) . Si llamamos ahora: \( r^2=\dfrac{d_1^2}{d_2^2} \) \( \wedge \) \( s^2=\dfrac{c_1^2}{d_2^2} \) . Como: \( d_1\,<\,d_2 \) , entonces: \( r^2\,<\,1 \) . Y como: \( c_1\,>\,d_2 \) , entonces: \( s^2\,>\,1 \) \( \wedge \) \( r^2+s^2=k_1 \) .
(2) \( \dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+\dfrac{d_2^2}{c_1^2} \) . Si llamamos ahora: \( t^2=\dfrac{c_2^2}{c_1^2} \) \( \wedge \) \( \dfrac{1}{s^2}=\dfrac{d_2^2}{c_1^2} \) . Como: \( c_2\,<\,c_1 \) , entonces: \( t^2\,<\,1 \) . Y como dijimos antes que: \( s_2\,>\,1 \) , entonces: \( \dfrac{1}{s^2}\,<\,1 \) \( \wedge \) \( t^2+\dfrac{1}{s^2}=k_2 \) .
Y " \( k_1 \) " , por lo menos, no es enteroAnalicemos esto último:
Como \( t^2\,\wedge\,\dfrac{1}{s^2} \) son menores que \( 1 \) , por fuerza \( k_2\,<\,2 \) . Por otra parte como si \( k_2 \) fuera entero sería "par": \( \left({k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,\,\dfrac{(=\,par)}{(=\,impar)}}\right) \) y no puede serlo de ninguna manera; entonces concluimos que será un racional no entero de la forma: " \( \dfrac{A}{B} \) " . Y que ése “
B ” debe dividir á “ \( d_1^2 \) “ de: \( d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2 \) .
Por otra parte, como: \( a^2-c^2=b^2+d^2 \) ; entonces:
\( c_1^2d_2^2-c_1^2c_2^2=c_2^2d_1^2+d_1^2d_2^2 \) \( \wedge \) \( c_1^2(d_2^2-c_2^2)=d_1^2(c_2^2+d_2^2) \) . De donde: \( \dfrac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,k_2 \) \( \wedge \) \( k_2\,d_1^2=d_2^2-c_2^2 \) (que ya conocíamos (2)) \( \wedge \) (ahora:) \( k_2\,c_1^2=c_2^2+d_2^2 \) . Pero esto no puede ser, porque si el denominador de " \( k_2 \) " (
B ) divide á \( d_1^2 \) , no puede dividir a su coprimo: “ \( c_1^2 \) “ . Por lo tanto uno de los dos: “ \( k_2\,d_1^2 \) “ \( \vee \) “ \( k_2\,c_1^2 \) “ no es entero.
Ahora veamos que ocurriría si el UTF 4 fuera falso y se cumpliera la igualdad de la suma de sus dos cuartas potencias:
Como: \( (z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2 \) ; serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:
\( x^2=2pq \) , \( y^2=p^2-q^2 \) , \( z^2=p^2+q^2 \) ; para \( p,q \) coprimos, uno de ellos par.
Por lo que así mismo, serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:
\( z=a'^2+b'^2 \) , \( p=a'^2-b'^2 \) , \( q=2a'b' \) \( \wedge \) \( p=c'^2+d'^2 \) , \( y=c'^2-d'^2 \) , \( q=2c'd' \) ; para \( a',b' \) coprimos \( \wedge \) \( c',d' \) coprimos, uno de cada pareja par.
Y : \( \pmb{a'b'=c'd'} \) \( \wedge \) \( \pmb{a'^2-b'^2=c'^2+d'^2} \) . Ahí lo tenemos.
Y a partir de aquí una Generalización:Dados 4 enteros positivos: \( \pmb{A,B,C,D} \) ; coprimos 2 a 2. No es posible que se dé al mismo tiempo:\( \pmb{C\,k_1=A+B} \)
\( \pmb{D\,k_2=A-B} \)
\( \pmb{A\,k_3=C+D} \)
\( \pmb{B\,k_4=C-D} \)
Para: \( \pmb{k_1,k_2,k_3,k_4} \) enteros.A este tipo de situaciones aritméticas -por razones obvias- las llamo
"supersimétricas". Y por lo menos ésta, no puede darse. Veámoslo a partir del desarrollo de la demostración anterior (
que pasaría a ser un caso particular de esto último):
- A parir de \( a^2=b^2+c^2+d^2 \) , teníamos: \( \color{brown}k_1=\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2} \) \( \wedge \) \( \color{brown}k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2} \) .
- A partir de: \( a^2-d^2=b^2+c^2 \) . Si desarrollamos: \( c_1^2d_2^2-d_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2 \) \( \wedge \) \( d_2^2(c_1^2-d_1^2)=c_2^2(d_1^2+c_1^2) \) . Tendremos: \( \color{brown}k_3=\displaystyle\frac{c_1^2-d_1^2}{c_2^2} \) .
- Y a partir de: \( a^2-c^2=b^2+d^2 \) . Si desarrollamos: \( c_1^2d_2^2-c_1^2c_2^2=c_2^2d_1^2+d_1^2d_2^2 \) \( \wedge \) \( c_1^2(d_2^2-c_2^2)=d_1^2(c_2^2+d_2^2) \) . Tendremos: \( \color{brown}k_4=\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2} \) .
Ahora hago los siguientes nombramientos
sin tener en cuenta la condición de "cuadrados" de las variables:
\( c_1^2=\pmb{a} \) , \( d_1^2=\pmb{b} \) (par) , \( c_2^2=\pmb{c} \) , \( d_2^2=\pmb{d} \)
Tendremos que:
Dados \( a,b,c,d \) enteros distintos, coprimos 2 á 2, uno de ellos par y \( k_1,k_2,k_3,k_4 \) enteros; entonces:
\( a+b=k_1d \)
\( a-b=k_3c \)
\( c+d=k_2a \)
\( c-d=k_4b \)
Y esta situación "supersimétrica" no puede darse con carácter general.
Como son enteros distintos tendrán un orden. Al ser 4, sus permutaciones entre sí darán lugar a 24 combinaciones diferentes:
(1) \( a\,>\,b\,>\,c\,>\,d \)
(2) \( b\,>\,a\,>\,c\,>\,d \)
(3) \( c\,>\,b\,>\,a\,>\,d \)
(4) \( d\,>\,c\,>\,b\,>\,a \)
. . . . . . . Etc.
Y si no me he equivocado en todos los casos hay un " \( k_i \) " que resulta ser un racional no entero. Los casos más características son éstos:
Tipo (1): Como " \( a \) " es mayor que \( c\,\wedge\,d \) \( \wedge \) \( c+d=k_2a \) ; entonces: \( k_2=\dfrac{c}{a}+\dfrac{d}{a} \) . Y " \( k_2 \) " debe ser en consecuencia menor que 2. Pero como si fuera entero debería ser "par" por ser " \( c+d \) " par. Entonces no queda otra que no sea entero.
Tipo (2): Como " \( b \) " es mayor que \( c\,\wedge\,d \) \( \wedge \) \( c-d=k_4b \) ; entonces: \( k_4=\dfrac{c}{b}-\dfrac{d}{b} \) . Y " \( k_4 \) " debe ser en consecuencia menor que 1.
Tipo (3): Como " \( c \) " es mayor que \( a\,\wedge\,b \) \( \wedge \) \( a-b=k_3c \) ; entonces: \( k_3=\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c} \) . Y " \( k_3 \) " debe ser en consecuencia menor que 1 (negativo).
Tipo (4): Como " \( d \) " es mayor que \( a\,\wedge\,b \) \( \wedge \) \( a+b=k_1d \) ; entonces: \( k_1=\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d} \) . Y " \( k_1 \) " debe ser igual á 1 si es entero porque debe ser menor que 2 y puede serlo. Pero entonces, como también: \( c-d=k_4b \) \( \Rightarrow{} \) \( d=c-k_4b \) -y- " \( k_4 \) " es negativo porque \( c\,<\,d \) ; entonces si \( k_4 \) es mayor que 1, tendríamos que \( d=a+b=c+k_4'b \) . Lo que no puede ocurrir por ser \( c \) mayor que " \( a \) " . Luego por fuerza " \( k_4 \) " debe ser menor que 1.
El caso más complejo que me he encontrado (a mi entender) es éste: " \( \pmb{d\,>\,a\,>\,c\,>\,b} \) " ó " \( \pmb{d\,>\,a\,>\,b\,>\,c} \) "
Al ser del tipo (4) siempre tendremos que: \( d=a+b \) . Por otra parte tenemos que: \( a-b=k_3c \) . Luego: \( (a+b)+(a-b)=d+k_3c \) \( \wedge \) \( 2a=d+k_3c \) \( \wedge \) \( k_3=\dfrac{2a-d}{c} \) . Pero si “ \( k_3 \) “ fuera entero sería ahora impar \( \left({\dfrac{impar}{impar}}\right) \) , cuando antes era “par”: \( k_3=\dfrac{a-b}{c} \) . Luego debe ser también un racional no entero.
Un saludo.
Editado (7 octubre) En base a las indicaciones de Luis Fuentes en post posterior.Añadido: Esta demostración no es correcta. Ver respuestas que siguen. 
